Уравнения движения упругого тела в перемещениях для

Первый, кто дал теоретическое объяснение закону Савара, был Коши. В Ме-муаре, представленном Академии наук в 1879 г., он показал, что этот закон следует из линейности уравнений движения. Он рассмотрел общие уравнения движения упругого тела для малых отклонений частиц, не предполагая, что упругие свойства в различных направлениях одинаковы. Эти уравнения служат для определения перемещений ( , ц, ) частицы в функции времени t и координат (х, у, z) частицы в ее невозмущенном положении, и их можно разбить иа два класса. Одни прилагаются ко всем внутренним точкам упругого тела, другие — к точкам его поверхности. Эти уравнения можно найти в любом курсе по упругости, Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти уравнения сохраняются при замене переменных 5, т). i, х, у, г, t на k i, kr, kt,, kx, ky, kz, kt, где k — произвольная постоянная, если только силы изменяются в отношении k 1. Следовательно, если силы отсутствуют, то для того, чтобы период колебаний и перемещения т , изменились в отношении 1 к, достаточно изменить в этом отношении размеры упругого тела и начальные значения 5, т , Таким образом, мы получили обобщение закона Савара, данное Коши. Если высоту тона звучащего тела, пластины или упругого стержня измерять числом колебаний в единицу времени, то она изменяется обратно пропорционально линейным размерам тела, пластины или стержня в предположении, что все размеры меняются в одном и том же отношении. [c.316]

В механике композиционных материалов (КМ) получили развитие два взаимосвязанных и дополняющих друг друга направления исследований. Первое из них базируется на строгом учете структуры материала, второе — на использовании интегральных диаграмм деформирования, которые могут быть получены экспериментально или расчетным путем. Точные решения задач механики в постановке, соответствующей первому направлению, кроме рассмотренных специфических вопросов [1-4], подтвердили применимость методов второго направления к весьма широкому классу композитов, использующихся для изготовления оболочечных конструкций, в связи с этим при разработке методов решения задач статики и динамики оболочек из КМ структурные особенности последних учитываются только при расчете эффективных характеристик анизотропной сплошной среды, имеющей такие же диаграммы деформирования и прочностные характеристики, что и исходный КМ. Построив в таком приближении уравнения состояния КМ, а также используя уравнения движения и соотношения между перемещениями и деформациями теории упругости анизотропного тела, можно получить решение соответствующих задач, хотя это сопряжено со значительными трудностями. [c.105]

Стоячие волны определенной длины образуют моды свободных колебаний ограниченного упругого тела. Если мы рассмотрим, например, полубесконечную среду и потребуем, чтобы перемещения точек границы х = О были равны нулю, то возможные гармонические движения среды не будут произвольными. Для описания движения среды используем уравнение (45), в котором углы y+ и y- выберем так, чтобы одна из узловых точек совпадала с границей д = О, т. е. [c.391]

Для линейно упругого тела уравнения движения (3.35) и силовые граничные условия (3.36) можно записать через перемещения. Для этого необходимо воспользоваться законом Гука (3.18) и связью деформаций с перемещениями (3.4). После подстановки этих выражений в (3.35), получим [c.84]

Подробный вывод этого уравнения дан В. В. Новожиловым 33]. Объемный интеграл берется по всему объему упругого тела, а поверхностный — по всей его поверхности. Если уравнение записать с учетом всех возможных упругих перемещений бы, би и бш, согласовав их с геометрическими связями, наложенными на упругую систему в случае равновесия, и с кинематическими связями в случае движения, то получится вариационное уравнение Лагранжа для упругого равновесия. В развернутом виде оно записывается так [c.159]

Для замыкания уравнений системы (3.5) необходимо найти другой частный случай уравнений совместности деформаций, учитывающий наличие у среды свойства текучести. Такая система уравнений должна содержать щесть уравнений, как и для твердого тела, которыми можно будет дополнить систему уравнений движения жидкости. Таким образом, схема замыкания уравнений движения в жидкости должна быть такой же, как и в другом разделе механики сплощной среды - твердом теле. Аналогично методу рещения задачи теории упругости должны существовать и уравнения пересчета результатов расчета поля давлений в поле (перемещений) или скоростей потока жидкости и обратно. [c.91]

Обратимся теперь к исследованию равновесия и движения упругого твердого тела. Общие дифференциальные уравнения для этой задачи, при известных предположениях, уже составлены в 7 одиннадцатой лекции. Сохраним эти предположения и сделаем выводы из приведенных уравнений. Принятые там обозначения применим и здесь, только перемещения I, Л, 5 будем обозначать здесь через и, V, т. Таким образом, представим себе тело, точки которого могут быть приведены в такое относительное положение, что совокупные компоненты давления на них равны нулю. Состояние, в котором тело тогда находится, мы назовем естествгняым. Обозначим через х, у, г координаты точки тела, когда оно находится в каком-нибудь положении в своем естественном состоянии, а через х и, уV, 2 + ш — координаты той же точки в момент Р,и,о, ьу — бесконечно малы. Положим [c.322]

В деформируемом твердом теле малые колебания описываются уравнениями движения pдtдtUj = д (7ij. На поверхностях разрыва (недифференцируемости) свойств среды к ним надо присоединить условия сопряжения, а на граничных поверхностях — граничные условия. При совершенном механическом контакте условия сопряжения на поверхностях разрыва заключаются в непрерывности перемещений и соответствующих напряжений. Для упругих материалов уравнения движения замыкаются материальными соотношениями = = Сг ,тп( т п + п/ т)/2, В которых учтены формулы Коши ДЛЯ деформации. [c.819]

Для корректной формулировки динамических задач теории упругости необходимо задавать граничные и начальные условия. В случае, когда упругая среда занимает неограниченную область, решение уравнений движения (3.1) полностью определяется заданием векторов перемещений и скоростей в начальный йомент времени. Предположим, что при t а ta тело находится в недеформированном состоянии, а перемещения и скорости его точек равны нулю. Тогда начальные условия представим в виде [c.63]

Уравнения движения в Уравнения движения в перемещениях перемещениях для упру- ддд упругого тела, удовлетворяющего за-тых 0 11 аюений" ну Гука в случае м.алых деформаций [c.174]

Для системы из двух упругосоединенных тел, моделирующих массивные сооружения, такие, как одноэтажные здания, здания о первым гибким этажом и др., используя метод статистичеокой линеаризации, получены замкнутые аналитические решения данной нелинейной задачи. Рассматриваемый подход также позволяет рассчитывать параметры упругих пространственных колебаний сооружений при малых перемещениях и углах поворота. Линеаризованные уравнения движения [42] для малых амплитуд колебаний интегрируют в замкнутом виде. Эти решения могут служить основой для построения инженерных алгоритмов определения сейсмической нагрузки в виде главных векторов сейсмических сил и моментов. [c.47]

Здесь Л1у — единичная нормаль к контуру 2, а/у - напряжения, щ - перемещения, и — упругий потенциал единицы объема. Уравнение (6.14) справедливо также для любых неупругих тел (упруго-пластических, вязкоупругих и др.) при квазистационарном движении точки О вдоль оси п со скоростью, значительно меньшей скорости звука в полосе при этом под Uпонимается удельная энергия деформаций. [c.269]

Рассматриваемая задача является периодической с периодом I и относится к типу Л. Поскольку имеет место полный контакт двух тел по плоскости z = О, начальное давление распределено равномерно, т.е. р(а ,0) = Р(0)/1 (а G (—схэ,-Ьсхэ)). При изнашивании имеет место формоизменение первоначально плоской поверхности полупространства и перераспределение контактного давления p x,t). Так как движение происходит в направлении, перпендикулярном плоскости Oxz, можно пренебречь влиянием сил трения на распределение контактных давлений и использовать оператор А в форме (8.4) для определения упругих перемещений границы полупространства. Упругие Uz x, t) и износные Wif x,i) перемещения границы, а также контактное давление р х, t) являются периодическими функциями координаты X. Они могут быть определены из решения системы уравнений (7.18)-(7.20), в которых оператор А имеет вид (8.4), уравнение износа описывается соотношением (8.8), а условие контакта (7.20) примет вид [c.408]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...