Эйлера метод в задаче устойчивости

Эйлера метод в задаче устойчивости 99 [c.535]

ЗЛЬ Метод Эйлера в задаче устойчивости [c.99]

Сравните настоящий метод с методом Эйлера в задаче устойчивости, рассмотренной в 3,11. [c.394]

О применении энергетического метода в задаче об устойчивости формы изгиба стержня. Обсуждается применение энергетического метода при определении критической силы и оценке устойчивости прямолинейной формы в классической задаче Эйлера об изгибе [c.174]

Отдельная глава посвящена расчету элементов конструкций с учетом ползучести расширен по сравнению с другими сборниками задач состав задач по вопросам усталостной прочности включен параграф, посвященный расчету тонкостенных стержней замкнутого профиля на стесненное кручение. В отдельные параграфы выделены вопросы нелинейного деформирования элементов конструкций. В главе Устойчивость и продольно-поперечный изгиб стержней помещены задачи, которые помогут студентам приобрести не только навыки расчетов на устойчивость, но и уяснить понятие критического состояния системы и применяемого в исследовании устойчивости метода Эйлера. Креме того, решение этих задач подготовит студентов к более успешному освоению курса устойчивости сооружений. [c.3]

Рекомендуется предварительно решить задачу 12.8. Применяя метод Эйлера, считать, что сила Р, как и в задачах 12.8 и 12.9, остается в процессе потери устойчивости неизменной по значению и направленной вертикально. [c.255]

Если ограничиться случаем, когда метод Эйлера позволяет свести анализ устойчивости к отысканию собственных значений линейной краевой задачи, можно сформулировать условие применимости этого метода. С этой целью нужно установить, в каких случаях все собственные значения линейной краевой задачи. [c.372]

Применяется также и другой метод определения критической нагрузки в случаях, когда наряду с невозмущенной формой равновесия имеется смежная возмущенная форма равновесия. Если существует смежная равновесная конфигурация, то тело может внезапно перейти от одной равновесной конфигурации к другой при воздействии малых внешних возмущений. Мы будем рассматривать задачу устойчивости способом, который иногда называют эйлеровым методой, для тела, нагруженного неконсервативными внешними нагрузками [21, 23]. Заметим, что, как указано в [23], задача устойчивости для консервативных систем должна изучаться не только методом Эйлера, решающим задачу статической устойчивости, но и динамическим методом, который позволяет определить колебательные формы ухода от исходного положения равновесия системы. [c.99]

В России на развитие первых исследований по механике большое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя М. В. Ломоносова (1711 —1765) и творчество Л. Эйлера, долгое вреМй жившего и работавшего в Петербурге. Из многочисленных отечественных ученых, внесших значительный вклад в развитие различных областей теоретической механики, прежде всего должны быть названы М. В. Остроградский (1801 —1861), которому принадлежит ряд важных исследований по аналитическим методам решения задач механики П. Л. Чебышев (1821—1894), создавший новое направление в исследовании движения механизмов С. В. Ковалевская (1850—1891), решившая одну из труднейших задач динамики твердого тела А. М. Ляпунов (1857—1918), разработавший новые методы исследования устойчивости движения И. В. Мещерский (1859—1935), заложивший основы механики тел переменной массы К. Э. Циолковский (1857—1935), сделавший ряд фундаментальных открытий в теории реактивного движения А. Н. Крылов (1863—1945), разработавший теорию корабля и много внесший в развитие теории гироскопических приборов. [c.14]

Блестяще разрешающий ряд задач устойчивости стержней и пластинок метод вариации упругой энергии требует предварительного задания возможной формы отклонения стержня. Таково в главнейшем значение вопроса об определении У. к. Поэтому как сопротивление материалов, так и статика сооружений уделяют большое внимание У. к. и теории перемещений. Галилей, Бернулли, Эйлер, Навье, Коши, Клапейрон, Винклер, Мор, Тимошенко много работали над проблемой теории перемещений. [c.283]

Комбинированные методы и алгоритмы анализа. При решении задач анализа в САПР получило достаточно широкое распространение временное комбинирование численных методов. Наиболее известны рассмотренные выше алгоритмы ФНД для численного интегрирования ОДУ, являющиеся алгоритмами комбинирования формул Гира. Другим примером временного комбинирования методов служат циклические алгоритмы неявно-явного интегрирования ОДУ. В этих алгоритмах циклически меняется формула интегрирования — следом за шагом неявного интегрирования следует шаг явного интегрирования. В базовом алгоритме неявно-явного интегрирования используют формулы первого порядка точности — формулы Эйлера. Такой комбинированный алгоритм оказывается реализацией А-устойчивого метода второго порядка точности, повышение точности объясняется взаимной компенсацией локальных методических погрешностей, допущенных на последовательных неявном и явном шагах. Следует отметить, что в качестве результатов интегрирования принимаются только результаты неявных шагов, поэтому в алгоритме комбинированного неявно-явного интегрирования устраняются ложные колебания, присущие наиболее известному методу второго порядка точности — методу трапеций. [c.247]

Совершенно нелогична методика, по которой предварительно подбирают сечение по формуле Эйлера, а затем ведут уточненный расчет по коэффициентам ф. Экономии времени такая методика не дает, а о существе вопроса в сознании учащихся может возникнуть превратное представление. Кстати, считаем вообще полезным сказать учащимся примерно следующее Вам надо решить задачу, связанную с расчетом на устойчивость. Вы сомневаетесь, каким методом расчета воспользоваться. Вдумайтесь в условия. Если задан или надо определить коэффициент запаса устойчивости, то считайте по формуле Эйлера или по эмпирическим формулам (в зависимости от гибкости стержня). Если же задано допускаемое напряжение, расчет следует вести по коэффициентам продольного изгиба . [c.200]

При решении задачи об устойчивости идеального стержня, основанном на приближенном дифференциальном уравнении (XII.4) (при решении задачи от устойчивости стержня методом Эйлера), число неизвестных, входящих в его общий интеграл, всегда оказывается на единицу больше числа граничных условий, которое можно выписать для их определения из рассмотрения опорных устройств и геометрии стержня. [c.357]

Пример 12.3. Рассмотрим устойчивость стержня постоянного сечения под действием собственного веса. Эта задача сводится к определению критического значения интенсивности q равномерно распределенной сжимающей продольной нагрузки (рис. 12.19). Решение этой задачи методом Эйлера приводит к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами, которое можно проинтегрировать с помощью бесселевых функций. В результате придем к решению [c.392]

Задача об изгибной форме потери устойчивости центрально сжатого гибкого стержня впервые была решена в 1744 г. членом русской Академии наук Л. Эйлером. Рассмотрим решение данной задачи на основе статического. метода. [c.406]

Вариационная задача называется корректно поставленной (устойчивой), если она имеет единственное решение и всякая минимизирующая последовательность сходится к элементу х -В противных случаях вариационная задача называется некорректно поставленной. Однако часто вместо непосредственной минимизации функционала J (х) получают уравнение Эйлера — необходимое условие экстремума функционала J (х) — и из него определяют численными или аналитическими методами решение экстремальной задачи. В связи с этим рассмотрим вопрос о корректности операторных уравнений и их связь с вариационными задачами. [c.32]

Для того чтобы краевая задача была самосопряженной, необходимо выполнение теоремы Бетти о взаимности работ. По сути дела условие самосопряженности краевой задачи можно трактовать как форму записи этой теоремы. Выйолнение теоремы Бетти гарантируется, если силы консервативны. Поэтому достаточным условием применимости метода Эйлера к решению задачи устойчивости равновесия системы является наличие потенциала внешних сил. Граница между консервативными и неконсервативными силами не совпадает точно с границей применимости метода Эйлера в том смысле, что и некоторые проблемы с неконсервативными силами удается решить методом Эйлера. Однако вопрос, каким дополнительным требованиям должны удовлетворять неконсервативные силы, чтобы задача могла быть решена методом Эйлера, остается открытым. [c.373]

История вопроса, насыщенная дискуссиями и порой драматическая, восходит, конечно, к классическим трудам Л. Эйлера [331 ] о выпучивании упругих сжатых стержней. В фундаментальных монографиях и обзорных работах [4, 46, 51, 52, 60, 85, 103, 104, 116, 130, 134, 189, 194, 204, 206, 222, 240,265, 300, 311, 321] можно найти сведения об эвлюции взглядов на проблему устойчивости, обсуждение различных подходов к постановке задачи — статического, энергетического, метода неидеальностей, динамического метода и областей их применимости, сопоставление экспериментальных и расчетных теоретических результатов, обсуждение путей дальнейшего развития теории и т.д. Следует отметить, что большинство глубоких результатов в задаче устойчивости относится к однородным изотропным оболочкам и получено в рамках гипотезы недеформируемых нормалей. Несмотря на значительные достижения [52, 60, 117, 265 и др. ], задача устойчивости слоистых анизотропных композитных оболочек с ограниченной поперечной сдвиговой жесткостью разработана с меньшей полнотой и требует дальнейших исследований. [c.59]

Но особенно важна роль магнитной жесткости в задачах устойчивости. Поскольку магнитные силы потенциальны, матрица симметрична, и критические параметры могут бьпъ найдены статическим методом Эйлера. [c.334]

Ограниченно устойчивыми являются остальные из рассмотренных методов, для них характерно сохранение устойчивости вычислений только при выполнении ограничений, накладываемых на значение шага интегрирования. Так, для явного метода Эйлера при /t= onst в задаче (5.10) условие устойчивости имеет вид неравенства [c.238]

Метод Эйлера особенно удобен, если допустимо пренебречь перемещениями и деформациями в невозмущенном состоянии, т.е. можно отождествлять невозмущенное состояние системы с недеформированным. Если это условие не вьшолнено, то необходимо варьировать состояния системы в окрестности напряженно-деформированных состояний, нахождение которых может представить самостоятельные трудности. Многие задачи устойчивости тонких упругих оболочек принадлежат этому классу. [c.479]

В течение XVII в,, в эпоху формирования классической механики, статические задачи, побуждавшие в той или иной мере заниматься проблемой устойчивости, были оттеснены на задний план задачами динамики. В новых задачах динамики вопрос об устойчивости, принципиально более сложный и гораздо менее наглядный, чем в задачах статики, поначалу вовсе не ставился. В результате в течение примерно столетия в проблему устойчивости не было внесено ничего существенно нового. Обновление приходит вместе с развитием в XVIII в. аналитических методов механики. Новыми существенными успехами учение об устойчивости обязано Л. Эйлеру Стимулом было, как и прежде, исследование проблемы плавания. В 1749 г. в Петербурге была издана двухтомная Корабельная наука (на латинском языке) Леонарда Эй- лера Этот труд был закончен в основном еще в 1740 г. Его третья глава — Об устойчивости, с которой тела, погруженные в воду, упорствуют в положении равновесия ,— начинается с утверждения, что устойчивость, с которой погруженное в воду тело упорствует в положении равновесия, должна определяться величиной момента восстанавливающей силы, когда тело будет наклонено из положения равновесия на данный бесконечно малый угол. Здесь дается обоснованная предыдупщм изложением мера устойчивости, четко введена устойчивость равновесия по отношению к бесконечно малым возмущениям, а в дальнейшем изложении устойчивость равновесия исследуется с помощью анализа малых колебаний плавающего тела около положения равновесия. Дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее эти колебания, составляется в соответствии с введенной мерой устойчивости, путем отбрасывания малых величин порядка выше первого и поэтому оказывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами (без слагаемого с первой производной, так как трение не учитывается, и без правой части). Это позволяет сопоставить его с хорошо изученным к тому времени уравнением малых колебаний математического маятника при отсутствии сопротивления среды. Качественная сторона дела тоже учитывается введенной Эйлером мерой момент восстанавливающей силы зависит от оси, относительно которой он берется, и для одних осей он может быть положителен (устойчивость равновесия), для других отрицателен (неустойчивость), для [c.118]

Классические методы Эйлера и Дирихле исследования устойчивости упругих систем оказались неприменимыми в случае неконсервативных систем. Неконсервативные задачи устойчивости конструкций рассматривали Г. Циглер и В. Б. Болотин . [c.258]

СОНОМ, Лагранжем и др.) и инженерами (Навье, Ламе, Сен-Венаном и др.) теория упругости долгое время рассматривалась как раздел математической физики, а не как инструмент для практических расчетов. Например, решение проблемы устойчивости стержня, полученное Эйлером еще в ХУП веке, считалось математическим парадоксом. Взамен использовались грубо эмпирические формулы Вресса и др. Не находили применения ни теория изгиба пластин и оболочек Лагранжа — Кирхгофа, ни теория пластического течения Сен-Венана — Леви. Для решения практических задач с успехом создавались и использовались элементарные методы сопротивления материалов. [c.6]

В задачах первой группы внешние воздействия отсутствуют, а Гкон выбирается из условия завершения всех переходных процессов в модели. Метод интегрирования должен быть Л-устойчивым, требования по точности не предъявляются. Неявный метод Эйлера первого порядка точности в данном случае будет лучшим 2й= = (и —Ми-1)1Ьь. Область абсолютной устойчивости метода показана на рис. 2.5, а, устойчивость контролировать не надо. Шаг /г выбирается из условия обеспечения сходимости итераций при решении системы НАУ. Например, при 2<1<6 кк==2кк-1 при Ь<2 кк — кк- 12 при >6, где L — число итераций. [c.44]

В задачах второй группы метод интегрирования должен быть Л (а)-устойчивым. К точности интегрирования предъявляются невысокие требования, так как ММ имеют значительно большмо погрешность. Неявный метод Эйлера в этих условиях также будет лучшим. Локальная погрешность метода для каждой переменной на шаге /г ег = 0,5 Ыг(т)/гй , =1, 2..... п 1к- <х<1к- Шаг выбирается по методу трех зон. При высоких требованиях к точности (например, при анализе чувствительности) необходимо применять методы более высокого порядка. Этому требованию удовлетворяют Л (а)-устойчивые методы формул дифференцирования назад (ФДН) с переменным порядком точности (1...6) и Л (л/2)-устойчивый комбинированный метод, основанный на явной и неявной формулах Эйлера и обеспечивающий второй порядок точности [7]. Вопросы алгоритмической реализации методов ФДН и комбинированного рассмотрены в [7]. [c.44]

Именно, спектр заполняет всю прямую Вместе с этим положительно решается вопрос о возможности использовать метод линериазации Эйлера при исследовании устойчивости пластин в задачах Ы. [c.333]

Определенные ограничения, о которых было сказано выше, связаны и с возникновением пластических дефор.мацнй при потере устойчивости. Такое определение границы применимости метода Эйлера не является удобным, так как вполне естественно предположить ситуацию, в которой поведение исследуемого теоретическим путем объекта заранее неизвестно (неизвестно, например, что возникает в результате потери устойчивости первоначальной формы равновесия — движение или переход в новую смежную форму равновесия). В связи с этим имеется необходимость установления некоторых математических признаков, которые в процессе чисто теоретического исследования позволяли бы с достаточной надежностью применять метод Эйлера. К сожалению, провести такую совершенно четкую границу, опирающуюся на математические признаки, не удается и ответить на вопрос о том, какими должны быть нагрузки, чтобы задача имела решение методом Эйлера, пока не представляется возможным. [c.372]

Первые фундаментальные результаты были получены Лоренцем [7.39] (1908—1911), С. П. Тимошенко [7.12] (1910—1914), Саутуэллом [8.29] (1913—1915) в линейной постановке на основе статического критерия Л. Эйлера [4.14] (1744). Согласно этому критерию критическая нагрузка системы определяется как наименьшая нагрузка, при которой наряду с исходной формой равновесия оказывается статически возможной смежная бесконечно близкая к ней форма равновесия. С математической точки зрения в этом методе задача определения критического состояния системы заключается в нахождении собственных чисел и соответствующих им векторов линейных дифференциальных уравнений. Собственные числа определяют критические нагрузки, собственные векторы — формы потери устойчивости. Зачастую бывает достаточно определить только первое собственное число и соответствующий ему вектор. Найденная таким образом нагрузка определяет момент разветвления форм равновесия и называется верхней критической нагрузкой. [c.8]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

Наконец, если бы оказалось, что и метода Н11Гя не ведет к цели, то возникнет вопрос об устойчивости рассматриваемого движения и тогда придется прибегнуть к методам А. М. Ляпунова, излагаемым в его знаменитой докторской диссертации Общая задача об устойчивости движения , которая будет переиздана Академией Наук но изучение этого сочинения несравненно труднее, нежели изучение сочинения Эйлера, которое, однако, явится весьма существенным подспорьем в этом деле. [c.216]

Ограниченность возможности определения критического напряжения в сжатых стержнях по формуле Эйлера заставила ученых искать другие пути решения этой задачи в случаях сжатия за пределом пропорциональности материала. Такими поисками были заняты крупные европейские ученые, в числе которых в Англии Ренкин (1820—1872), в Германии Энгессер (1848—1931), в Швейцарии Тетмайер (1850—1905). Ими были предложены различные эмпирические расчетные формулы. В России вопросами устойчивости занимался профессор Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинский (1856—1899). Ему принадлежит идея сведения расчета на устойчивость сжатых стержней к расчету на простое сжатие путем введения коэффициента продольного изгиба ф. Этот метод получил распространение во всем мире. Ясинским, кроме того, решена задача об устойчивости сжатого стержня с промежуточными упругими опорами и другие, связанные главным образом с расчетом элементов мостовых ферм. [c.562]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...