Двойственность

Логическое объяснение этих явно двойственных свойств может быть найдено при проведении экспериментов. В экспериментах по изучению фотоэлектрического эффекта наблюдалось действие индивидуальных фотонов, ударяющихся о твердую поверхность. В экспериментах по дифракции измерялся статистический эффект от большого числа фотонов и электронов. Таким образом, вещество и излучение можно считать состоящими из дискретных ча- [c.71]

К и называются соответственно сегментом и страницей. Поскольку задача уже не располагается целиком в ОП ЭВМ, снимаются ограничения на ее размер. Теперь наибольший размер задачи определяется максимально допустимым в архитектуре ЕС ЭВМ адресом операнда — 16 Мбайт. Однако возникает двойственность в понятии адреса. Адреса операндов, которыми пользуется программист при составлении своей задачи, называются виртуальными. В процессе решения задачи в результате страничного обмена отдельные ее части в размере нескольких страниц на некоторое время попадают в реальную ОП ЭВМ. При этом страницы виртуальной [c.105]

Здесь учтено, что двойственный тензору Oi вектор составляющие которого [c.82]

Металлические ионы решетки шпинели [32, 40] находятся двух типичных положениях по отношению к кислороду, а такое двойственное распределение ионов металла приводит к появлению особых структурных комплексов. [c.81]

Для каждой задачи Е можно сформулировать следующую двойственную задачу [c.238]

Двойственная задача имеет ряд особенностей по сравнению с исходной, называемой прямой. Если прямая задача требует максимизации целевой функции, то двойственная задача является задачей минимизации, и наоборот. Коэффициенты целевой функции прямой задачи а,,. .., Ор становятся правыми частями ограничений двойственной задачи, а правые части ограничений прямой задачи С],. .., с , — коэффициентами целевой функции двойственной задачи. [c.238]

Матрица коэффициентов функций ограничений двойственной задачи получается путем транспонирования соответствующей матрицы прямой задачи. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи, а число переменных двойственной задачи — числу ограничений прямой. Знаки неравенств в ограничениях двойственной задачи изменяются на обратные по сравнению с прямой задачей. Указанные особенности позволяют формализовать процесс построения двойственной задачи при заданной прямой и наоборот. [c.238]

Сначала, пользуясь выражениями Но типа (П.44) и (П.45), строится двойственная функция V типа (П.53). Затем решается задача отыскания max V при выполнении [c.257]

Двойственная задача, соответствующая прямой задаче 3, принимает следующий вид (назовем ее задачей И) [c.257]

Таким образом, задача И отличается от двойственной задачи при отсутствии [c.258]

Множители X характеризуют чувствительность двойственной функции к уровню функций-ограничений. Появление множителей kj не вызывает принципиальных затруднений при решении двойственной задачи, так как значения kj зависят от б н определяются как линейные комбинации 6к. [c.258]

В теории геометрического программирования показывается, что максимум двойственной функции достигается в стационарной точке, которая совпадает со стационарной точкой функции In V ( ), являющейся вогнутой. Следовательно, заменяя в двойственной задаче функцию У функцией 1п V, получаем. необходимость максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве, что представляет собой задачу вогнутого, программирования, которая решается такими же методами, что и задача выпуклого программирования. Это также существенно облегчает процесс численного решения двойственной задачи. [c.258]

Используя неравенства (П.54), можно построить итерационные процедуры последовательных приближений к искомому решению путем приближенных решений прямой и двойственной задач. Тогда на каждой итерации полученное значение На дает верхнюю оценку искомого решения, а значение V — нижнюю оценку. Следовательно, после каждой итерации искомое решение можно аппроксимировать с известной точностью. [c.258]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

Подводя итоги, приходим к естественному выводу о том, что свет имеет двойственную природу — волновую и корпускулярную, т. е. свет представляет собой единство дискретности и непрерывности, что находится в полном согласии с законами материалистической диалектики. [c.8]

Деформацией тела или любой его части называют изменение формы и размеров под действием внешних сил,. Говоря о деформации, следует иметь в виду двойственность этого понятия. Будем в дальнейшем различать деформацию тела в целом и деформацию его бесконечно малой материальной точки (частицы). Если говорить о деформации тела в целом, то ее характеристиками будут линейные перемещения точек тела, характеризуемые вектором перемещений й (см. рис. 1.6). [c.28]

Эти отрезки лежат на общей для них оси. Поэтому им можно дать двойственное истолкование, рассматривая их как некоторый эквивалент положительных и отрицательных чисел, илт как векторы. Применяя правило сложения векторов, найдем [c.29]

Рассмотрим сначала физический смысл одного из уравнений системы (11.19), например первого. Это уравнение имеет двойственный смысл. С одной стороны, оно дает выражение проекции вектора скорости у на ось Ох. С другой стороны, это уравнение определяет скорость движения проекции точки на ось Ох вдоль этой же оси. [c.79]

Теперь пронумеруем поля, чтобы в дальнейшем можно было применить двойственное обозначение сил. Эта нумерация полей изображена на рис. 138, а. Поля I—4 соответствуют обозначениям внешних сил и поэтому называются внешними полями. Поля 5— 1U — внутренними. Посредством их номеров обозначаются внутренние силы. При нумерации внешних полей следует воспользоваться первым графическим условием равновесия — условием замкнутости силового многоугольника. [c.280]

Поэтому последнее внешнее поле совпадает с первым. Чтобы не ошибаться в определении направлений сил на основании их двойственного обозначения, обратим внимание на то, что последовательность внешних полей соответствует обходу контура фермы против движения часовой стрелки. Следовательно, рассматривая реакции стержней [c.280]

Из оптико-механической аналогии вытекает представление о двойственности свойств процессов распространения света и движения материальных систем. Оба процесса, с одной стороны, имеют свойства волновых процессов, а с другой — свойства движения систем частиц. Представления о двойственности свойств указанных процессов являются одной из основ современной волновой механики ). [c.364]

Если H = R, то L(V R) называется дуальным (двойственным или сопряженным) к I/ и обозначается V. Таким образом, V есть пространство непрерывных линейных функционалов, заданных на V. С использованием V в про- [c.326]

II.4. Преобразование двойственности в задачах минимизации [c.337]

Введем пространство V, двойственное к V относительно билинейной формы (, )у и пару пространств Y и Y, приведенных в двойственность посредством билинейной формы (, )у-, элементы пространств Y и Y будем обозна чать р и р. Построим функционал Ф (и, p) V Y->R, предполагаемый выпуклым по паре аргументов (и, р), причем [c.338]

Для постановки двойственной задачи надо вычислить [c.339]

Двойственная задача P приобретает вид [c.339]

Следовательно, двойственная задача имеет форму [c.340]

Методы, основанные на идее двойственности. При применении к задачам минимизации преобразования двойственности (см. предыдущий параграф), а также в процессе выполнения преобразования Фридрихса (см. 4.7) возникают задачи отыскания седловой точки функционала (возникающие здесь же задачи максимизации решаются методами, изложенными в предыдущих параграфах), для решения которых были изобретены специальные алгоритмы, оказавшиеся весьма эффективными и в задачах механики. [c.343]

Кроме /( а-мезона, имеющего малое время жизни т = 10 сек, должен существовать еще один нейтральный мезон, а именно K L-мезоп (с большим временем жизни и другой схемой распада), который также является смесью (другого состава) К°- и -частиц. Таким образом, в свойствах нейтральных К-мезо-нов наблюдается своеобразная двойственность, заключающаяся в том, что они рождаются и взаимодействуют как /С - и К -частицы, а распадаются как/(° и К°,. [c.184]

Предложенный выше двойственный подход к исследованию дисперсных потоков (для каждого компонента в пределах его дискретности — феноменологический, а для всей системы — статистический) должен, естественно, найти отражение в исходной модели процесса, закладываемой в его математическое описание. Очевидно, что в силу макродискретности для указанной цели не- [c.27]

До недавнего времени было принято считать, что для МПТШ обязательно, чтобы температуры в данном интервале воспроизводились только одним методом. Выполнение этого требования автоматически обеспечивает единство измерений температуры. Однако редакция МПТШ-68 1975 г. допускает при градуировке платиновых термометров сопротивления использовать с равным правом тройную точку аргона пли точку кипения кислорода. В настоящее время нет никаких указаний на то, что такая двойственность привела к заметным расхождениям результатов измерений. Опыт успешной эксплуатации ПТШ-76, где с равным правом допускается воспроизводить шкалу несколькими весьма различными, но хорошо исследованными методами, также позволяет считать указанные выше формальные требования неоправданно жесткими. Можно полагать поэтому, что разумное отступление от метрологического пуризма и применение на равных основаниях обоих указанных выше методов воспроизведения МПТШ от 13,81 до 24 К не сможет привести к экспериментально ощутимым потерям в единстве измерений температуры. [c.8]

Геометрически преобразования Лежандра объясняются возможностью двойственного олисания. поверхности в многомерном пространстве с одной стороны, такая (rf-f-1)-мерная поверхность может быть задана в виде зависимости (d-f-l)-ft координаты от остальных d координат, U=U tji,. .., да), т, е. набором точек в пространстве (U, qu. .., Qd), с другой стороны, в виде набора координат касательных плоскостей к поверхности lJ(qu qa) в каждой ее точке (сама поверхность является тогда огибающей семейства плоскостей), Если функция Ь ци. .., Qd) всюду строго"выпуклая (см. с. 185), то никакие две ее точки не могут иметь касательных плоскостей с одинаковыми координатами и оба способа представления являются однозначными и взаимообратимыми. [c.80]

Как видно, ранг тензора имеет двойственное определение. С одной стороны, ранг равен показяте.дю степени, в которую надо [c.45]

Эти свойства взаимности между многоугольником сил и многоугольником Вариньона позволяют ввести так называемое двойственное обозначение сил. Из рассмотрения многоугольника сил видно, что вектор каждой силы можно рассматривать как направленный отрезок, соединяющий две последовательные вершины многоуго.льника сил. На плоскости, где расположены силы, их линии действия отделяют части плоскости (полосы), соответствующие вершинам многоугольника сил или лучам. Эти части плоскости будем называть полями. Каждая сторона многоугольника Вариньона лежит в некотором поле. Будем обозначать векторы сил так, как мы это делали раньше, а именно посредством цифр, стояищх в начале и в конце вектора силы на многоугольнике сил. Например, вектор р1 будет обозначать 12, вектор Ра обозначим 23 и т. д. Иначе говоря, будем обозначать силы номерами полей, отделяемых линиями действия сил на плоскости. [c.269]

Будем предполагать, что операторы А В действуют в одном и том жо гильбертовом пространстве V V—область определения А и В, V —обласп, значений, где V —сопряженное к V, причем существует пространство Н, такое, что V плотно в Я, тогда Я можно отождествить с некоторым подпространством V, если Н отождествляется со своим двойственным имеют место вложения V с. Н а V. Скалярное произведение в Н будем обозначать <, >. На практике, как правило, И = цф), а V представляет собой пространство типа W (Q) (или подпространство чтого пространства) [c.330]

Отметим, что в случае, если последующее движение трещины (после определения бс) рвляется докритическим (медленным), то бс будет докритической характеристикой [292]. Если же бс определяется в начале быстрого роста трещины (при максимальной нагру. же или в момент скачка), то характеристика б является критической. Подобная двойственность б может осложнить оценку поведения материала. [c.131]

Метод геометрического программирования предусматривает представление функций цели и ограничений в виде положительных степенных полиномов (позиномов) и решение задачи оптимизации аналитическим путем с использованием соотношения двойственности неравенств, связывающих между собой арифметическое и геометрическое среднее [16]. [c.152]

Корпускулярно-волновой дуализм. Исследования природы света привели к, казалось бы, противоречивым выводам. В явлениях интерференции и дифракции свет проявляет свои волновые свойства. В явлениях фотоэффекта, испускания и поглоще1шя света атомами (см. 7) свет проявляет свои корпускулярные свойства. Возникла довольно необычная с точки зрения нашего повседневного опыта картина один и тот же реальный объект ведет себя одновременно и как частица, и как волна. Свет имеет, как теперь принято говорить, двойственную — корпускулярно-волновую — природу. Это новый для науки единый объект—частица-волна 118 [c.118]

Фотоны. Гипотеза Эйнштейна о существовании фотонов встретила, как мы уже знаем, сильные возражения. Это и не удивительно, ибо ряд явлений (интерференция, дифракция) нашел объяснение в волновой теории света. л]аализу подвергалось и само соотношение Эйнштейна E=hv. О какой частоте колебаний идет речь, если свет состоит из частиц Как можно связывать энергию и частоту Во шы, набегающие на морской берег с одной и той же частотой, приносят разную энергию в зависимости от силы шторма. Лишь автор гипотезы А. Эйнштейн ни на секунду не сомневался в том, что свет действительно обладает и корпускулярными, и волновыми свойствами, имеет двойственную кор-пускулярно-волновую природу. Глубоко аргументированно он пишет Волновая теория света... прекрасно оправдывается при описании чисто оптич хких явлений и, вероятно, едва ли будет заменена какой-либо иной теорией. Но все же не следует забывать, что оптические наблюдения относятся не к мгновенным, а средним по времени величинам. Может оказаться, что теория света придет в противоречие с опытом, когда ее будут привлекать к явлениям возникновения и превращения света [84]. [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...