Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. [c.219]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ляпунов получил следующую теорему, дающую достаточные условия асимптотической устойчивости движения. [c.522]

В отличие от теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, где характер поведения соответствующей Г-функции является монотонным, в данном случае F-функция может стремится к нулю ступенчато, причем горизонтальные участки графика F-функции соответствуют движению на множестве М (рис. 2.1.9). [c.80]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости (неустойчивости) тривиального решения нелинейной системы. [c.424]

Доказать дискретный аналог теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы рекуррентных уравне- [c.289]

Следует отметить, что из доказательства теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости следует, как это показал И. Т. Малкин (1954), что при условиях этой теоремы имеет место равномерная устойчивость по времени о и координатам Xq начальных возмущений в следующем смысле. [c.19]

Примечание. Следует отметить, что при условиях теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости всякое другое решение уравнений (2.1), достаточно близкое к невозмущенному по начальным условиям, неограниченно приближается к нулевому решению, когда оо. Если же выполняются условия теоремы Дубошина — Малкина, то всякое решение системы (2.1"), начальные значения которых численно сколь угодно малы, вовсе не стремится к нулевому решению системы (2.1), но всегда остается сколь угодно близким к этому решению, т. е. к невозмущенному движению. [c.90]

Ряд работ посвящен оптимальной стабилизации, суть которой состоит в объединении теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости со способом динамического программирования Беллмана. Этот метод был предложен Н. Н. Красовским [40]. [c.785]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ [c.414]

Теорема 2 второго метода Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы (2) можно указать функцию У(/, х), удовлетворяюш ую условиям [c.430]

Н. Г. Четаев (1955) предложил следующую интересную модификацию теоремы II Ляпунова об асимптотической устойчивости, позволяющую в любой момент времени t определять область возможных значений переменных Xg. [c.22]

В сочинении Ляпунова теоремы о неустойчивости называются второй и третьей. Но мы называем второй теоремой теорему об асимптотической устойчивости, а поэтому здесь теоремы о неустойчивости именуются третьей и четвертой теоремами второго метода. [c.83]

Из знакоопределенности функции V и неравенства (1) на основании теоремы Ляпунова об устойчивости получаем, что положение равновесия устойчиво. Для доказательства асимптотической устойчивости теперь достаточно убедиться в том, что если начальная точка траектории взята достаточно близко к началу координат qi = О, = О, то при t 00 имеем О, О для всех г = 1, 2,..., п. [c.536]

Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению, если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмуш нное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости. [c.73]

Неавтономные системы. В этом случае функции Ляпунова так же, как и правые части уравнений возмущенного движения (22), явно зависят от времени. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости ие меняется, но в условия теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции V (t, х). [c.38]

Условия асимптотической устойчивости даны Ляпуновым теореме об асимптотической устойчивости. Эта теорема формула руется следующим образом. [c.414]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ляпу-11011 получил следующую теорему, дающую достаточные условия асп.мптотпческой устойчппостн двп/кеппя. [c.373]

Прежде чем п( рейтп к примерам на применение теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, заметим, что иногда с помощью выбранной связки интегралов построить знакоопределенную функцию нельзя. В этом случае нун<но испытать другие комбинации интегралов. Если же все связки интегралов не дают возможности определить условия устойчивости движения, то это еще не [c.66]

При достаточно малых по модулю значениях и и I производная Г будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ци t. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости II неустойчивости движения. Ненрименима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообраапя К возьмем совокупность точек, для которых и Ф О, i = О (на плоскости (i, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения переменных i и и, определяющих К. При t = О и и О эти уравнения примут вид [c.74]

Основная теорема H.H. Красовского [1966] об оптимальной стабилизации движения (по отношению ко всем переменным) представляет собой модификацию классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости движения, и получена с учетом метода динамического программирования [Bellman, 1957 Bellman и др., 1958]. [c.126]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если в некоторой окрестности D положения равновесия ж = О существует функция Ляпунова, такая, что функция —dVjdt положительно определена в D, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.164]

Так как производная не определеиио-отрицательная, а просто отрицательная функция, то теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости применить нельзя. Попытаемся воспользоваться теоремой Красовского. Множество К найдем, приравняв производную V к нулю [c.45]

На основании теоремы Ляпунова об асимпотической устойчивости получаем отсюда вывод об асимптотической устойчивости невозмущенного движения, если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. [c.531]

Докажем теперь, что нулевое решение системы (3.76) при выполнении термодинамического условия (3.77) асимптотически устойчиво в целом, т. е, приближается к нулю (релаксация напряжений), Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой А. М. Ляпунова об асимптотической устойчивости, обобщенной Е. А. Барбашиным и Н. Н. Красовским. Эта теорема формулируется следующим образом Допустим, что существует функция V х) с вещественными значениями, обладающая следующими свойствами [c.103]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Первое условие устанавливает пределы для крутизны к характеристики устройства, создающего ускоряющий момент, второе условие определяет нижнюю границу кинетического момента Я. Так как при выполнении условий (6.78) все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, то на основании первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому ггриближению однорельсовый вагон асимптотически устойчив независимо от членов высшего порядка V и 0. [c.182]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и первая теорема о неустойчивости допускают простую геометрическую интерпретацию. Если V и ее производная V — знакоопределенные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчивости), то изображающая точка, движущаяся по фазовой траектории, пересекает каждую из поверхностей V (х) = С снаружи внутрь (рис. II, а), так как функция V [c.37]

Для системы с тремя парами чисто мнимых корней при наличии присоединенной системы решение вопроса об устойчивости дано В. Г. Веретенниковым (1966). Следуя Г. В. Каменкову, автор приводит задачу к исследованию системы трех уравнений в критическом случае трех нулевых корней с тремя группами решений. Для этой системы на основании теоремы Каменкова указываются заведомо неустойчивые случаи, исключая которые автор приводит задачу к рассмотрению трех случаев, в зависимости от знака выражения на вещественных прямых / 7 = 0. Для случая, когда < О, с помощью функции Ляпунова доказывается асимптотическая устойчивость невозмущенного движения по формам третьего порядка. Для случаев, когда дается решение задачи [c.59]

Замечание 3. Теоремы Ляпунова содержат возможность оц - вйасти притяжения точки л = О и, следовательно, возможность ре вопрос об асимптотической устойчивости в большом. [c.32]

На основании теоремы Ляпунова можно утверждать, что непоп-мущеннос движение х = О, у = О асимптотически устойчиво при малых начальных возмущениях. Однако теорему Барбашина Кра-совского об устойчивости движения в целом применить нельзя, так как условие (2.16) не выполнено. Действительно, при ж — оо и i/ == = а = onst функция V стремится к 1 + o , а не к бесконечности, как требует условие (2.16). [c.47]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

При исследовании устойчивости нулевого решения у = О, АК = О нелинейной системы (1.1.14), (1.1.15) показано [Петров и др., 1980], что это решение не только устойчиво по Ляпунову, но и асимптотически у-устойчиво в целом. Указанное обстоятельство обеспечивает стабилизацию исходной системы по отношению к фазовым переменным у в классе самонастраивающихся регуляторов. Отметим, что выбранная F-функция (1.1.16) удовлетворяет условиям теоремы типа Марачкова об асимптотической у-устойчивости [Peiffer, Rou he, 1969]. [c.37]

Региение вопроса об устойчивости по Ляпунову региения qj = pj = = О (далее будем иногда говорить об устойчивости системы (1) ) зависит от свойств функции Гамильтона. Если система (1) автономна, то функция Я будет ее первым интегралом и может быть принята за функцию Ляпунова V при региении задачи об устойчивости движения 1]. Если функция Я будет знакоопределенной, то система (1) устойчива. Если же система (1) не автономна или автономна, но п 2, и Я не является знакоопределенной функцией, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому в ней невозможна асимптотическая устойчивость, а устойчивость может быть лигиь тогда, когда характеристические показатели системы с гамильтонианом Я2 будут чисто мнимыми. Так что задача об устойчивости системы [c.114]

Подобная постановка задачи возможна и в проблемах устойчивости движения сплошной среды, если надлежаш им образом ввести интегральные характеристикидвижения среды. В частности, эта идея получила развитие в работах А. А. Мовчана (1959) об устойчивости упругого тела. Вводя вспомогательное метрическое пространство и строя в нем соответ-ствуюш,ие функционалы, Мовчан доказал обш,ие теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости процессов, обобш ающие соответствуюш,ие теоремы Ляпунова и Четаева. Он ввел (1960) две метрики и сформулировал теоремы об устойчивости процессов по двум метрикам. К этому же направлению относятся и работы В. М. Слободкина и Т. К. Си-разетдинова (1964—1965). Следует отметить, что вопрос о построении соот-ветствуюш их функционалов для решения конкретных задач теории упругости разработан ещ,е недостаточно и нуждается в дальнейших исследованиях. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...