Ляпунова теоремы об устойчивост

Функции Ляпунова. Теоремы об устойчивости. движения автономных систем [c.85]

Ляпунов А. М. 358, 423, 424, 425 Ляпунова теоремы об устойчивости 358, 386 391, 401, 423, 424, 425 [c.428]

Ляпунова теорема об устойчивости равновесия консервативной системы 644, 697 [c.723]

Приведем теперь теорему, которая является далеко идущим обобщением теоремы Лагранжа для консервативных систем и доказанной выше теоремы для диссипативных систем и вместе с тем является частным случаем общей теоремы об устойчивости движений, доказанной Ляпуновым. [c.233]

Иное доказательство теоремы об устойчивости равновесия. Теоремы А. М. Ляпунова о состоянии равновесия в тех случаях, когда потенциальная энергия системы не имеет минимума [c.225]

Теперь рассмотрим основные теоремы об устойчивости движения, которые можно доказать, пользуясь введенными выше определениями. Эти теоремы также принадлежат А. М. Ляпунову. [c.340]

Теорема об устойчивости по первому приближению. Один из основных результатов, полученных Ляпуновым при решении задачи об устойчивости по первому приближению, можно сформулировать в виде следующей теоремы. [c.529]

С теоремами об устойчивости, полученными методом функций Ляпунова, связаны, как правило, теоремы о неустойчивости, в нетривиальных случаях требующие тонкого анализа необходимых для их справедливости дополнительных условий. Такую теорему о неустойчивости дал и сам Ляпунов. С этим связан также давний вопрос об обраш ении теоремы Лагранжа ( если в положении равновесия силовая функция имеет максимум (изолированный), то равновесие устойчиво ), т. е. вопрос, будет ли положение равновесия неустойчиво, если ему соответствует не максимальное значение силовой функции. Кроме А. М. Ляпунова этим вопросом занимались Ж. Адамар, [c.129]

Построение строгой в математическом отношении теории устойчивости движения принадлежит знаменитому русскому ученому Александру Михайловичу Ляпунову (1857— 1918). Содержание этой теории А. М. Ляпунов раскрыл в своих общих теоремах об устойчивости и неустойчивости. В 1892 г. он написал работу Общая задача об устойчивости движения , которой было положено начало ведущей роли русской науки в области теории устойчивости. [c.9]

Развитие теоремы Ляпунова-Малкина об устойчивости по линейному приближению [c.115]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

Если воспользоваться известной теоремой А. М. Ляпунова [38] об устойчивости по первому приближению, то можно сделать вывод об устойчивости невозмущенного состояния нелинейной системы, если устойчивы состояния, описываемые линеаризованными уравнениями в вариациях. Такой вывод вполне законен и правомерен для малых окрестностей тех точек, которые характеризуются значениями параметра интенсивности внешней нагрузки [c.154]

Условия асимптотической устойчивости даны Ляпуновым теореме об асимптотической устойчивости. Эта теорема формула руется следующим образом. [c.414]

Если в положении равновесия значение потенциальной энергии не является минимальным, то для суждения об устойчивости равновесия следует применить теоремы А. М. Ляпунова, которые формулируются следующим образом. [c.580]

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [c.82]

В случаях, когда задача об устойчивости не решается линейным приближением, необходимо использовать теоремы второго метода Ляпунова теории устойчивости движения. [c.85]

Если начальные условия таковы, что выражение в квадратных скобках отрицательно, то движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, неустойчиво по теореме III 118. Имеет место лишь условная устойчивость (теорема II 118). Если выражение в квадратных скобках положительно, то теоремы первого метода А. М. Ляпунова не позволяют сказать что-либо определенное об устойчивости движения. Мы не исследуем этот вопрос подробно, ограничившись лишь замечанием, что движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, устойчиво, когда выражение в квадратных скобках будет положительно. [c.434]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 37 [c.37]

Теорема Ляпунова — Мовчана об устойчивости (I960). Для устойчивости решения tieU по метрикам ро, р необходимо и достаточно, чтобы в нек-рой ею окрестности ро < о существовал функционал Ляпунова 1 [ф] со следующими свойствами У положительно определен по метрике р, непрерывен по метрике ро, не растёт со временем вдоль траектории движения. [c.257]

Обобщение теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. В 70-х годах XX столетия А.С. Озиранер [1973] и В.П. Прокопьев 1975] инициировали изучение возможностей переноса фундаментальных результатов Ляпунова [1892] об устойчивости по линейному приближению на случай ЧУ-задачи. [c.111]

Подобная постановка задачи возможна и в проблемах устойчивости движения сплошной среды, если надлежаш им образом ввести интегральные характеристикидвижения среды. В частности, эта идея получила развитие в работах А. А. Мовчана (1959) об устойчивости упругого тела. Вводя вспомогательное метрическое пространство и строя в нем соответ-ствуюш,ие функционалы, Мовчан доказал обш,ие теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости процессов, обобш ающие соответствуюш,ие теоремы Ляпунова и Четаева. Он ввел (1960) две метрики и сформулировал теоремы об устойчивости процессов по двум метрикам. К этому же направлению относятся и работы В. М. Слободкина и Т. К. Си-разетдинова (1964—1965). Следует отметить, что вопрос о построении соот-ветствуюш их функционалов для решения конкретных задач теории упругости разработан ещ,е недостаточно и нуждается в дальнейших исследованиях. [c.32]

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого-порядка в функциях Xs- Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) Psr = onst и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для произвольного числа > О, как бы мало оно ни было, функции Х могут быть стеснены неравенствами j < Я, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Хд. [c.51]

В сочинении А. М. Ляпунова эта теорема формулирована только в виде примечания к основной теореме об устойчивости. В виде отдельной теоремы это примечание сформулировано впервые мною в 1935 г. в дополнении к переводу книги Мультон, Введение в небесную механику, ОНТИ, 1935. [c.80]

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА — ДИРИХЛЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ. Одним из поучительных прило-ясений изложенной теоремы, в котором отвлеченные свойства функций Ляпунова получают конкретное физическое истолкование, может служить известная теорема об устойчивости равновесия консервативной системы, впервые сформулированная Ж. Лагран-жем и строго доказанная Л. Дирихле ). Эта теорема излагается обычно следующим образом. [c.397]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Теорема 2.4. (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует знакоопределенная функция К(х), для которой производная в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с У, или тождественно обращается в нуль, ТО невозмущенное движение устойчиво. [c.85]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает достаточные уаювия устойчивости положения равновесия. Если же в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то вопрос об устойчивости часто можно решить при помощи следующих теорем Ляпунова о неустойчивости. [c.87]

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано удовольствуемся их формулировкой ). [c.339]

Теорема Ляпунова об устойчниости движения. В этом параграфе рассмотрены теоремы, составляющие основу прямого метода Ляпунова в теории устойчивости движения. Будем изучать только установив1ниеся движения. Сначала рассмотрим теорему Ляпунова об усто11чивости. [c.370]

Из знакоопределенпости функции V и неравенства (1) па основании теоремы Ляпунова об устойчивости получаем, что положепие равновесия устойчиво. Для доказательства асимптотической устойчивости теперь достаточно убедиться в том, что если начальная точка траектории взята достаточно близко к началу координат qt = 0, [c.386]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...