Устойчивость состояния равновесия (по Ляпунову)

Однако, учитывая, что анализ устойчивости состояний равновесия механизма будем выполнять на основе теоремы Ляпунова по линеаризованному уравнению [3] в соответствии со структурой уравнений Лагранжа второго рода, члены, содержащие частные производные, выпадут из уравнений движения, поэтому инерционные коэффициенты можно представить в таком виде [c.15]

Возвращаясь сейчас к определению устойчивости системы, можно добавить система устойчива в малом, если ее состояние равновесия устойчиво по Ляпунову система устойчива в большом, если устойчивость состояния равновесия имеет место для всей конечной области — шара х — Х < К. [c.131]

Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = Слг" (а 0) проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы к было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость). [c.66]

Пусть нас интересует устойчивость состояния равновесия х = х . Так как мы подразумеваем при этом устойчивость по Ляпунову, то мы интересуемся малыми отклонениями от состояния равновесия. Положим х = Хо - , тогда — отклонение от состояния равновесия. По нашему предположению /(х) — аналитическая функция. Переходя от переменной х к переменной в уравнении [c.248]

Следовательно, состояниями равновесия являются точки пересечения этих прямой и кривой. В зависимости от величин Ли/ этих точек может быть либо одна (рис. 235), либо три (рис. 236). Для анализа устойчивости состояний равновесия мы по методу Ляпунова подставляем в уравнения (5.43) 1 и о и ь — значения, соответствующие какому-либо из состояний равновесия. Далее, разлагая характеристику дуги ф(/ + ) в ряд ф(/(,- -1)=Н о)+ Ф ( о)+- [c.317]

Для исследования устойчивости периодического движения х = f (t),y = (t) в смысле Ляпунова можно, как показал Ляпунов, идти по пути линеаризации уравнений, подобно тому, как мы это делали при исследовании устойчивости состояний равновесия. Если положить д = ср ( ) -[- , у = a (О + у], подставить эти выражения в уравнения (5.1), разложить правые части этих уравнений — функции Р(ср-[- , i + 1]) и Q( f + , + — в ряды ПО степеням 5 и и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейные уравнения ( уравнения первого приближения ) для координат возмущения и [c.326]

С помощью второго метода Ляпунов получил необходимые и достаточные условия, при которых вопрос об устойчивости состояния равновесия исходной нелинейной системы (1.1) решается рассмотрением корней характеристического уравнения (1.35) линеаризованной системы (1.34). Именно, справедливы следующие теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.39]

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

Речь идет о том, чтобы показать, что пассивное сопротивление с составляющими —-- х, —7 у, как бы мала ни была у, лишь бы она была положительной, приведет к тому, что состояние равновесия х = у = х = у = 0 не будет более устойчивым в будущем (даже линейно). На основании теоремы Ляпунова такое обстоятельство будет обеспечено, как только будет доказано, что как бы ни была мала т О, не все корни характеристического уравнения системы (34) будут чисто мнимыми, но между ними найдется по крайней мере один, действительная часть которого будет положительной. [c.401]

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства а) проверяемое положение равновесия устойчиво б) проверяемое положение равновесия неустойчиво а) проверяемое положение равновесия асимптотически

В нашем случае состояние равновесия х = х будет устойчиво по Ляпунову, если, задав сколь угодно малое положительное е, можно всегда найти такое 8, что [c.248]

Так как здесь точками обозначены члены третьей степени и выше, ТО нетрудно показать обычным путем, что ф(гг,, имеет максимум или минимум в начале координат в зависимости от знака а . Повторяя в точности рассуждения, которые мы приводили в случае действительных корней, имеющих одинаковые знаки, мы найдем, что в случае (< 0 состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и даже асимптотически устойчиво, а в случае 1 0 состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову. В обоих случаях достаточно малые окружности вблизи начала служат циклами без прикосновения. При переходе к плоскости ц это семейство окружностей превратится в семейство эллипсов без контакта, в которые интегральные кривые входят или выходят в зависимости от знака а . [c.315]

Можно показать, что в грубых системах все неособые траектории не только орбитно-устойчивы, но устойчивы по Ляпунову и при < —- -оо и при — оо. Для траекторий, стремящихся при — 4-ос (г — — оо)к состоянию равновесия, это устанавливается рассуждением, проведенным в 3, п. 2, в сноске на стр. 414. Относительно траекторий, стремящихся при —>-[-оо [c.455]

Центр. и А,2 - мнимые. Состояние равновесия устойчиво по Ляпунову. При задании малых начальных отклонений в системе совершаются периодические колебания, амплитуда которых определяется начальными условиями . [c.57]

Оказывается, что все собственные числа (1.8) по крайней мере двукратны и каждому переходу бифуркационного параметра А, через значение соответствует бифуркация рождения однопараметрического семейства стационарных режимов. В [5] показано, что первое критическое значение А,], всегда двукратно и при А, = Л,ц от состояния покоя ответвляется цикл устойчивых стационарных режимов. В этой же работе с помощью метода Ляпунова - Шмидта дано аналитическое выражение семейства и проведен анализ его устойчивости при малых надкритичностях. Все равновесия семейства нейтрально устойчивы вдоль цикла и асимптотически устойчивы в трансверсальных к нему направлениях и их спектр зависит от координат равновесия. Зависимость собственных значений равновесий вдоль семейства от координат стационаров говорит о том, что это семейство не может быть результатом действия никакой группы симметрий [5]. Каждому переходу Я через последующие критические значения соответствует бифуркация рождения цикла неустойчивых стационаров. [c.55]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

Существует классическая, хорошо развитая теория устойчивости движения [58]. По Ляпунову, процесс устойчив, если малые начальные отклонения остаются малыми и в будущем. Это относится и к состоянию равновесия. Следует рассмотреть динамику малых отклонений от равновесной конфигуг рации и убедиться, что они не растут. В этом состоит динамический подход к задачам устойчивости, и он справедливо считается наиболее достоверным. [c.252]

Следовательно, если диссипация неполная— функция Ф знакопостоянная, то по теореме Ляпунова устойчивость состояния равновесия сохраняется. Если же диссипация полная и функция Рэлея знакоопределенная отрицательная, то устойчивость станет асимптотической. [c.468]

В основе любой математической теории устойчивости лежит та или иная концептуальная модель устойчивости. Когда мы имеем дело с устойчивостью по Пуанкаре, то модель устойчивости следующая имеется некоторое равновесие, в котором находится tи тeмa. В некий момент времени мы выводим ее из этого состояния и затем предоставляем самой себе. Если система стремится вернуться в это состояние, все более и более приближаясь к нему, то мы говорим, что равновесие устойчиво. Часто это свойство переносится на систему, тогда говорят, что система устойчива. Устойчивость по Ляпунову уже более широкая концепция состояние системы считается устойчивым, если при некоторых начальных возмущениях система все последующее время остается в определенной окрестности этого состояния. Устойчивость по Лагранжу трактуется еще менее ограничительно требуется лишь ограниченность траекторий, т.е. чтобы система не выходила за пределы некоторой области. В этой концепции исчезает понятие устойчивого состояния, но легко вводится понятие устойчивой системы. Благодаря этому концепция устойчивости по Лагранжу удачно соотносится с концепцией экологической стабильности. [c.123]

Вопрос об устойчивости биологических сообществ является центральным в математической экологии. Способность природных систем к достаточно длительному существованию в практически неизменном виде говорит о наличии внутренних механизмов, обеспечивающих стабильность. Эта проблема становится тем более интересной и важной, если сообщество подвергается случайным воздействиям. Как правило, устойчивость детерминированных систем исследуется по Ляпунову. Например, устойчивость стационарного состояния вольтерровского сообщества связана со знакоопределенностью матрицы сообщества. Для консервативных по Вольтерра систем (например, систем хищник -жертва ) соответствующая квадратичная форма - тождественный нуль, что определяет простую устойчивость сообщества. Для асимптотической устойчивости нетривиального равновесия доста- [c.347]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...