Движение устойчивое по Ляпунову

Траектории этого движения устойчивы по Ляпунову. Рассмотрим, например, периодическую орбиту г = а, 0 = i, проходящую через начальную точку а, 0). Через близкую к ней точку (а + 6i, 62) будет проходить орбита [c.477]

Аналогичные определения и теоремы можно привести и доказать для движений устойчивых по Ляпунову в отрицательном направлении, а также для движений, устойчивых по Ляпунову (в обоих направлениях). В первом случае соответствующие неравенства должны быть выполнены при всех Ш , а во втором — при всех действительных t. [c.92]

Движения, устойчивые по Ляпунову на прямой [c.94]

ТЕОРЕМА 5.24. При изоморфизме динамических систем с компактным фазовым пространством движение, устойчивое по Ляпунову в положительном отрицательном) направлении, переходит в движение, устойчивое по Ляпунову в том оке направлении. [c.101]

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

Для периодических движений понятия устойчивости по Ляпунову и орбитной устойчивости различаются. Периодическое движение х = х (t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого е> О можно [c.16]

Отсутствие отображения Т устойчивых по Ляпунову траекторий, их седловой характер, приводит к тому, что движение фазовых точек носит блуждающий стохастический характер. Под этим, в частности, имеется в виду [c.339]

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ. Периодические колебания л = х (/) называются устойчивыми по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого е >0 можно указать такое 7 (е)> 0. что для всякого другого движения х = х-( ), для которого <77, при всех t>t(, выполняется неравен- [c.74]

Будет ли устойчивым по Ляпунову движение твердого тела вокруг неподвижной точки [c.623]

Если при t oo мера f Q, то процесс называется асимптотически устойчивым. Как видим, по Ляпунову, устойчивость движения рассматривается на бесконечном интервале времени при возмущениях, действующих только в начальный момент времени U. Очевидно, что любое движение, не обладающее устойчивостью, по Ляпунову, на бесконечном интервале времени, будет удовлетворять определению Ляпунова на конечном интервале времени Т и этот интервал можно сделать сколь угодно большим соответствующим выбором е и б. [c.320]

В случае постоянно действующих возмущений возможно дальнейшее обобщение определения устойчивости по Ляпунову невозмущенный процесс движения при постоянно действующих во времени возмущениях является устойчивым по мере f на конечном интервале времени Т, если для всякого е>0 можно найти такое 6(g)>0, что как только мера возмущений <6, мера fначальный момент времени to- Математическое условие, при котором впервые нарушается определение устойчивости, носит название критерия неустойчивости. [c.320]

Нам представляется ошибочным утверждение, которое встречается в некоторых учебниках по механике, что определения устойчивости движения по А. М. Ляпунову и Н. Е. Жуковскому — несовместны, т. е. движение, устойчивое по определению Н. Е. Жуковского, неустойчиво в смысле А. М. Ляпунова. [c.327]

Устойчивость вязкоупругих стержней в смысле определения 1.1 соответствует определению устойчивости по Ляпунову движения динамических систем относительно возмущений начальных условий. Приведем теперь аналог определения устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Предполагается, что на- [c.231]

Таким образом, показано, что поступательное движение твердого тела на круговой орбите при а < 1 и а > % неустойчиво по Ляпунову, а при 1 < < 7з устойчиво в линейном приближении. Более детальное исследование позволяет показать, что на самом деле при выполнении условия (18) движение будет устойчиво по Ляпунову не только в линейном приближении, но и в рамках полных нелинейных уравнений возмущенного движения . [c.542]

Можно было бы дать такое формальное определение устойчивости движения. Движение называется устойчивым, если конечный интервал (О, tf, можно заменить бесконечным интервалом (О, оо). Если мы примем такое определение, то придем к следующей формулировке траектория ф (i а) является устойчивой, если для любого е > О можно указать такое положительное X = X (е), что если 6 < х, то ф (i а + 6) — ф (i а) < е для всех положительных t. Траекторию, удовлетворяющую этому условию, называют устойчивой по Ляпунову. [c.472]

I у I означает малость q , а также малость 5 .) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных г/i, 1/2,. . ., Ут-, либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных z/j, г/2,. . ., г/ , содержат еще t, а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений [c.472]

Приведем несколько примеров систем, устойчивых по Ляпунову. В первом и во втором примерах мы найдем общее решение уравнений движения, а в третьем примере воспользуемся теоремой Ляпунова. [c.475]

В возмущенном движении при г оо г а, так что расстояние между изображающими точками на спиральной орбите и на круговой орбите непрерывно убывает и стремится к пределу 2а sin - - да . Периодическая орбита устойчива по Ляпунову, и мы мо-Л [c.477]

Невозмущенное движение системы называется устойчивым по Ляпунову, если при всяком наперед заданном положительном числе можно указать такое положительное число 8, зависящее от е, что при начальном возмущении ( 8,- (0) < С 8 в последующем возмущенном движении системы будут справедливы в любой момент времени неравенства 8 ( ) < < . [c.402]

Если, кроме того, все 8 —. 0 при . со, то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову. [c.402]

Невозмущенное движение системы называется устойчивым по Ляпунову, если при всяком наперед заданном положительном числе S можно указать такое положительное число о, зависящее от е, что при начальном возмущении si(0) [c.392]

Выяснение характера, а также областей существования различных устойчивых установившихся режимов движения частицы является одной из основных задач теории. При этом целесообразно ограничиться исследованием устойчивости движения не относительно координат частицы и ее скоростей, а относительно упомянутых выше моментов перехода t, соответствующее определение устойчивости (см. [6]) вполне аналогично определению устойчивости по Ляпунову (см. т. 1 и 2 справочника), хотя и является менее жестким - возможны режимы, неустойчивые по Ляпунову, но устойчивые по моментам перехода (см. стр 21). [c.16]

Для наличия устойчивости по Ляпунову достаточно существование области начальных отклонений (хотя бы сколь угодно малой), по отношению к которым невозмущенное движение устойчиво, [c.34]

В этих случаях задачи об устойчивости и колебаниях твердого тела с жидкостью естественно ставить как задачи об устойчивости по Ляпунову и колебаниях для систем с конечным числом степеней свободы. Постановка и решение задачи устойчивости при безвихревом движении дана в работе [31], а при однородном вихревом движении — в работе [27]. [c.285]

Невозмущенное движение и(() называют устойчивым по Ляпунову, если для любых е>0 и /о существует б=5(е,/ о) такое, что для всех возмущенных движений и (7), удовлетворяющих в начальный момент времени условию [c.457]

Невозмущенное движение и(/) называют асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и все возмущенные движения п(0> удовлетворяющие условию [c.458]

Таким образом, асимптотическая устойчивость включает в себя как устойчивость по Ляпунову, т.е. малость отклонений от невозмущенного движения при любых f>tQ, так и асимптотическое приближение всех возмущенных движений к невозмущенному при (рис. 7.1.1, б). [c.458]

Переформулируем определения устойчивости в терминах уравнений возмущенного движения (7.1.13). Положение равновесия Хо=0 называют устойчивым по Ляпунову, если для любых 8>0 и го существует 5=5(е,/о) такое, что для всех решений х( , удовлетворяющих в начальный момент времени неравенству x(/Q)jj < 5, следует [c.458]

Существенное обобщение классического понятия устойчивости по Ляпунову требуется для задач, в которых нельзя игнорировать случайную природу начальных отклонений и возмущений, действующих во время движения. Эти обобщения будут рассмотрены в п. 7.9.6. [c.459]

Для сред типа (10.1) даже при фиксированных внешних нагрузках идет процесс деформирования и вопрос об устойчивости состояния (в противоположность упругости и пластичности) прямого смысла не имеет. Может быть поставлен вопрос лишь об устойчивости процесса. И если при этом исходить из определения устойчивости по Ляпунову, то выделить в данном невозмущенном процессе участок устойчивости или неустойчивости нельзя либо весь процесс надо признать неустойчивым, либо весь — устойчивым. Дело в том, что определение устойчивости процесса (движения) по Ляпунову, естественным образом обобщающее определение устойчивости состояния, требует включения в рассмотрение бесконечно удаленного момента времени, и заключение об устойчивости или неустойчивости можно сделать только на основании особенности поведения возмущенного движения в бесконечно удаленной точке. Поэтому, даже если до некоторого момента левая часть (10.9) оказывалась отрицательной, признать процесс [c.25]

Устойчивость по Ляпунову, с механической точки зрения, может рассматриваться как устойчивость движения на бесконечном промежутке вре- [c.125]

Второй вид — устойчивость движения маятниковой системы в малой окрестности стационарной точки типа центр (устойчивость по Ляпунову). [c.127]

Устойчивость движения маятника в колебательной области означает, что при любых малых возмущениях фазовая точка всегда остаётся внутри этой области. В этом случае величина полной энергии системы Е, на любом интервале времени, не превышает значения потенциальной энергии Ус, вычисленного в седловой точке (рис. 4.6). Однако это, вообще говоря, не означает устойчивости движения маятника по Ляпунову в окрестности стационарной точки типа центр, и наоборот. [c.127]

Рассмотрим систему (4.31), которая описывает движение тела при резонансе (4.6), в малой окрестности устойчивого положения равновесия х. Преобразуем эту систему к виду, удобному для проведения исследования устойчивости по Ляпунову. Сделаем замену переменных в окрестности устойчивой стационарной точки X = X + Х Р = Р + (р = ( х/(1т, р = 0) и разложим функцию (х, z) в точке х = X в ряд Тейлора по переменной г . В результате, пренебрегая членами порядка получим [4], [26 [c.132]

В точке 1 достаточное условие устойчивости по Ляпунову (4.50) является истинным, однако не выполняется условие устойчивости резонанса (4.42). Это означает, что с течением времени колебательная область сжимается, и фазовая траектория выталкивается во вращательную область (рис. 4.10а). Такой резонансный режим движения неустойчив. [c.136]

Движение, устойчивое по Ляпунову, в фазовом пространстве можно представить следующим образом изображающая точка О, начав свое движение из точки G , расположенной внутри или на поверхности сферы радиуса I S, все время остается внутри сферы радиуса (/ е, т. е. фазовая траектория, начинающаяся внутри сферической области радиуса (/б, никогда не достигает сферы радиуса (рис. 9). Если движение асимптотически устойчиво, то любая траектория, начинающаяся в сферической области радиуса б, неограниченно стремится к началу координат, ие выходя за границу сферы радиуса /е. Еслн двил<ение неустойчиво, то внутри области радиуса )/б всегда найдется такая точка G , что фазовая траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное время достнгнег сферы радиуса /е. [c.34]

Периодическому движению соответствует движение представляющей точки по определенной замкнутой фазовой траектории. Окружим эту точку некоторой малой областью е, которая движется вместе с представляющей точкой. Если при заданной сколь угодно малой области г мы можем указать такую область 8 (г), что всякая представляющая точка, лежащая в начальный момент в этой области 8 (г), никогда не выйдет за пределы области е, то рассматриваемое движение устойчиво по Ляпунову. Более наглядно мы можем сформулировать это условие устойчивости следующим образом. Пусть движение подверглось некоторому возмущению — система испытала некоторый мгновенный толчок в произвольном направлении. Тогда представляющая точка сместится и будет продолжать движение уже по некоторой другой траектории. Представим себе, что при этом толчке представляющая точка почернела (рис. 101). Тогда исходное невозмущенное движение, устойчивость которого мы исследуем, т. е. движение, которое происходило бы, если бы не было толчка, будет изображаться движением светлой представляющей точки, а движение после толчка — возмущенное, изображается движением черной представляющ ей точки. [c.149]

Частичная упорядоченность группы G позволяет довольно легко перенести на эти динамические системы все основные понятия, рассмотренные в предыдущих главах. Например, можно ввести понятия (u(a)-предельных точек, движениП, устойчивых по Пуассону, рекуррентных, почти периодических движений, движений, устойчивых по Ляпунову. [c.127]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

В случае либрационного движения период возмущенного движения (которое также является периодическим) в общем случае отличается от периода невозмущенного движения, так что х t а + Ь) — х (/ а) не может все время оставаться малым, и, стало быть, и ф (г а + 6) — ф (< а) не будет малым. В других, менее простых случаях (например, в ограниченной задаче трех тел, см. гл. XXVIII) лишь очень немногие характеристики оказываются устойчивыми по Ляпунову. [c.478]

Аналогичное положение наблюдается и в случае а > р, = ar tg /ь когда невозможны режимы с остановками и существует лишь один установившийся режим движения частицы — безостановочное ускоренное скольжение вниз по поверхности В этом случае безостановочное движение устойчиво по моментам перехода в большом (хотя и не устойчиво по Ляпунову), так как в это движение переходит с течением времени любое другое движение, в котором скольжение частицы вниз началось в произвольный момент времеии t = 1 . Если существует только безостановочное ускоренное скольжение частицы и никакие другие установившиеся режимы движения невозможны, то безостановочное движение устойчиво в большом по моментам перехода, т. е. оно устанавливается независимо от значения момента начала сколь- [c.21]

Строгое определение устойчивости распределенных систем строится путем соответствующего обобщения определения устойчивости по Ляпунову. При этом существенное значение имеет выбор метрики, при помощи которой оценивается близость двух движений расаределенной системы. Так, близость скалярной функции и (х,() (где X е S) к решению и (х, 0=0 может оцениваться по нормам типа [c.241]

Неаозмущенное движение называют устойчивым по Ляпунову, если для всякого полотительного числа е, как бы мало оно ни было, можно найти такое число S (е), [c.34]

В определении устойчивости по Ляпунову предполагается, что возмущенное движение происходит под действием тех же внешних сил, что и иевозмущенное. Если из-за недостаточности информации невозможно учесть все внешние силы, действующие на систему, то рассматривают задачу об устойчивости при постоянно действую-, щьх (сопровождающих) возмущениях. В этом случае дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид [c.34]

Устойчивость - термин, широко применяемый в математике, естествознании, технике и обыденной жизни. Толковый словарь Даля определяет слово устойчивый как стойкий, крепкий, твердый, не шаткий . Термин устойчивость встречается уже в работах Эйлера по продольному изгибу стержней, переведенных на русский язык. Лагранж, Пуассон и другие математики прошлого широко использовали термин устойчивость применительно к задачам о движении небесных тел. Теория регулятора Уатта, разработанная Максвеллом и Вышнеградским, была в сущности первым применением понятия устойчивости в машиноведении и отправной точкой для создания теории автоматического ретулирования (позднее - более общей теории автоматического управления). Р. Беллман характеризовал устойчивость как сильно перегруженный термин с неустановившимся определением . Однако большинство трактовок этого понятия связано с определением устойчивости по Ляпунову и его дальнейшими обобщениями. Это полностью относится и к устойчивости механических систем [6]. [c.455]

Сделаем следующее замечание относительно начального момента времени 1о- Если невоз-мущенное движение и(/) устойчиво по Ляпунову для какого-нибудь фиксированного / з, то оно будет устойчивым по Ляпунову для любого Поэтому можно ограничиться проверкой устойчивости и асимптотической устойчивости лишь для некоторого заданного момента го. [c.458]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...