Равновесие асимптотически устойчиво устойчивое по Ляпунову

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства а) проверяемое положение равновесия устойчиво б) проверяемое положение равновесия неустойчиво а) проверяемое положение равновесия асимптотически

Равновесие х = О называют асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, выполняется условие [c.95]

Пусть уравнения нелинейной системы отличаются от линеаризованных уравнений нелинейными членами, которые являются непрерывными и дифференцируемыми функциями фазовых переменных и времени. Если положение равновесия линейной системы асимптотически устойчиво, то равновесие нелинейной системы будет устойчиво по Ляпунову независимо от нелинейных членов. [c.96]

Непосредственной проверкой можно убедиться, что положение равновесия Х = Х2 = О системы (1.1.10) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво в целом по отношению к одной из переменных. А именно, в случае A i > О, Ь < О область начальных возмущений делится на 3-и части [c.32]

Положение равновесия тела, будучи устойчивым по Ляпунову, не может быть асимптотически устойчивым по всем переменным. Будем изучать задачу об асимптотической j i-устойчивости положения равновесия. [c.82]

При этом положение равновесия цепи не может быть асимптотически устойчивым по Ляпунову. В самом деле, в любой окрестности положения равновесия д,, = д = О, [c.170]

Решение х = ф 1) называется устойчивым по Ляпунову, если устойчивым по Ляпунову будет это положение равновесия. Аналогичное определение имеет место и для асимптотической устойчивости. [c.155]

Теперь обсудим специфические для стационарных режимов определения устойчивости. Сразу заметим, что стационарный режим из-за наличия близких к нему иных стационарных режимов, в отличие от равновесий, никогда не бывает асимптотически устойчивым. Он может быть устойчивым по Ляпунову в случае систем с диссипацией (общего положения), когда его траектория асимптотически устойчива. В случае консервативных систем, когда траектории стационарных режимов не изолированны (заполняют целые подмногообразия в фазовом пространстве), устойчивость по Ляпунову возможна, но лишь как редкое исключение. Действительно, если начальное возмущение приводит к смежному стационарному режиму (с другой траекторией), то требуется, чтобы выполнялось некоторое условие изохронности этих стационарных движений. Например, когда они периодические, нужно, чтобы при таком возмущении период не изменялся. В ином случае возмущенные движения за конечное время разойдутся на расстояние порядка диаметра траектории. В ситуации общего положения это и происходит. Поэтому в общей теории естественны иные определения устойчивости. [c.251]

Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = Слг" (а 0) проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы к было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость). [c.66]

Так как здесь точками обозначены члены третьей степени и выше, ТО нетрудно показать обычным путем, что ф(гг,, имеет максимум или минимум в начале координат в зависимости от знака а . Повторяя в точности рассуждения, которые мы приводили в случае действительных корней, имеющих одинаковые знаки, мы найдем, что в случае (< 0 состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и даже асимптотически устойчиво, а в случае 1 0 состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову. В обоих случаях достаточно малые окружности вблизи начала служат циклами без прикосновения. При переходе к плоскости ц это семейство окружностей превратится в семейство эллипсов без контакта, в которые интегральные кривые входят или выходят в зависимости от знака а . [c.315]

Оказывается, что все собственные числа (1.8) по крайней мере двукратны и каждому переходу бифуркационного параметра А, через значение соответствует бифуркация рождения однопараметрического семейства стационарных режимов. В [5] показано, что первое критическое значение А,], всегда двукратно и при А, = Л,ц от состояния покоя ответвляется цикл устойчивых стационарных режимов. В этой же работе с помощью метода Ляпунова - Шмидта дано аналитическое выражение семейства и проведен анализ его устойчивости при малых надкритичностях. Все равновесия семейства нейтрально устойчивы вдоль цикла и асимптотически устойчивы в трансверсальных к нему направлениях и их спектр зависит от координат равновесия. Зависимость собственных значений равновесий вдоль семейства от координат стационаров говорит о том, что это семейство не может быть результатом действия никакой группы симметрий [5]. Каждому переходу Я через последующие критические значения соответствует бифуркация рождения цикла неустойчивых стационаров. [c.55]

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения ), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса [c.220]

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить [c.235]

Так как V — определенно-положительная, aV — определенно-отрицательная функции, то, согласно теореме Ляпунова, равновесие твердого тела в среде, создающей момент сопротивления (9), асимптотически устойчиво по отношению к переменным р, q г. [c.524]

Поскольку 0(е, iq) О при to -ню, то положение равновесия х = х = О уравнения (2.2.11) обладает следующим свойством полиустойчивости оно устойчиво (неравномерно) по Ляпунову и экспоненциально асимптотически устойчиво по х. [c.109]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости положения равновесия системы па примере системы с одной степенью сво боды при использовании фазового пространства. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения I — фазовая траектория движеиия, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Четыре наиболее типичных случая расположения характернстическнх корней на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной системы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при е > О, устойчиво по Ляпунову при е = О и неустойчиво при е < 0. [c.95]

Таким образом, в области х,о > О, / = 1,3 положение равновесия системы (1.1.5) асимптотически устойчиво в целом по одной из переменных для любых параметров системы (кроме исключительного случая р = 0), хотя это положение равновесия неустойчиво по Ляпунову. Другими словами, если решения системы исходят из любой точки множества х,о > О, / = 1,3, то один из видов вымирает асимптотически. Это [Rou he и др., 1977] строгая формулировка утверждения, известного как экологический принцип вымирания Лотки-Вольтерры [Lotka, 1920 Volterra, 1931]. (К рассмотренному примеру с несколько иной точки зрения вернемся в разделе 1.1.7.) [c.28]

Более точно, справедлив следующий результат [Воротников, 1986а, 1991а, 1998] если В < А < С С < А < В), 10 положение равновесия х, = О, / = 1,3 системы (1.1.8), (1.1.9) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво по двум из трех перемен- [c.31]

Определение 2. Положение равновесия рассматриваемой системы называется асимптотически устойчивым по Ляпунову если, во-первых, оно просто устойчиво по Ляпунову, во-вторых, существует такая окрестность нуля, что все решения, стартуюише из нее при [c.154]

Для систем дифференциальных уравнений общего вида такая нейтральная устойчивость может быть разрушена сколь угодно малыми нелинейными добавками. Для систем Гамильтона дело обстоит сложнее. Предположим, например, что квадратичная часть функции Гамильтона в положении равновесия (которая и определяет линейную часть векторного поля) знакоопределена. Тогда функция Гамильтона имеет максимум или минимум в положении равновесия. Следовательно, это положение равновесия устойчиво (по Ляпунову, но не асимптотически) не только для линеаризованной системы, но и для полной нелинейной системы. [c.351]

Вопрос об устойчивости биологических сообществ является центральным в математической экологии. Способность природных систем к достаточно длительному существованию в практически неизменном виде говорит о наличии внутренних механизмов, обеспечивающих стабильность. Эта проблема становится тем более интересной и важной, если сообщество подвергается случайным воздействиям. Как правило, устойчивость детерминированных систем исследуется по Ляпунову. Например, устойчивость стационарного состояния вольтерровского сообщества связана со знакоопределенностью матрицы сообщества. Для консервативных по Вольтерра систем (например, систем хищник -жертва ) соответствующая квадратичная форма - тождественный нуль, что определяет простую устойчивость сообщества. Для асимптотической устойчивости нетривиального равновесия доста- [c.347]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

Второе интересное направление связано с проблемой устойчивости сообщества в случайной среде. Как уже указывалось, метод функций Ляпунова разработан в основном для тех моделей, где флуктуации обращаются в нуль в положении равновесия. Такая ситуация характерна лишь для узкого класса задач, связанных с параметрическим шумом. Ясно, однако, что в реальных условиях случайные возмущения не исчезают, а продолжают действовать, даже если сообщество находится в равновесии. По-видимому, здесь нет асимптотической устойчивости по вероятности, но интересно бьшо бы получить условия устойчивости в среднем и среднем квадратическом, а также условия слабой устойчивости по вероятности. В некоторых случаях здесь может помочь анализ соответствующих стационарных распределений, но общая теория здесь отсутствует. Исключение составляет устойчивость в среднем, одаако использование этой концепции в реальных задачах весьма проблематично, так как здесь возможен значительный рост дисперсии флуктуаций. [c.354]

Следовательно, если диссипация неполная— функция Ф знакопостоянная, то по теореме Ляпунова устойчивость состояния равновесия сохраняется. Если же диссипация полная и функция Рэлея знакоопределенная отрицательная, то устойчивость станет асимптотической. [c.468]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...