Устойчивость по Ляпунову — Определение

В настоящее время общепризнанным является следующее толкование понятия устойчивости по Ляпунову В определении устойчивости Ляпунов использовал понятие числа, а не бесконечно малой величины. Поэтому существо понятия устойчивости по Ляпунову лежит не столько- [c.12]

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

Если при t oo мера f Q, то процесс называется асимптотически устойчивым. Как видим, по Ляпунову, устойчивость движения рассматривается на бесконечном интервале времени при возмущениях, действующих только в начальный момент времени U. Очевидно, что любое движение, не обладающее устойчивостью, по Ляпунову, на бесконечном интервале времени, будет удовлетворять определению Ляпунова на конечном интервале времени Т и этот интервал можно сделать сколь угодно большим соответствующим выбором е и б. [c.320]

В случае постоянно действующих возмущений возможно дальнейшее обобщение определения устойчивости по Ляпунову невозмущенный процесс движения при постоянно действующих во времени возмущениях является устойчивым по мере f на конечном интервале времени Т, если для всякого е>0 можно найти такое 6(g)>0, что как только мера возмущений <6, мера fначальный момент времени to- Математическое условие, при котором впервые нарушается определение устойчивости, носит название критерия неустойчивости. [c.320]

Устойчивость вязкоупругих стержней в смысле определения 1.1 соответствует определению устойчивости по Ляпунову движения динамических систем относительно возмущений начальных условий. Приведем теперь аналог определения устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Предполагается, что на- [c.231]

Можно было бы дать такое формальное определение устойчивости движения. Движение называется устойчивым, если конечный интервал (О, tf, можно заменить бесконечным интервалом (О, оо). Если мы примем такое определение, то придем к следующей формулировке траектория ф (i а) является устойчивой, если для любого е > О можно указать такое положительное X = X (е), что если 6 < х, то ф (i а + 6) — ф (i а) < е для всех положительных t. Траекторию, удовлетворяющую этому условию, называют устойчивой по Ляпунову. [c.472]

I у I означает малость q , а также малость 5 .) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных г/i, 1/2,. . ., Ут-, либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных z/j, г/2,. . ., г/ , содержат еще t, а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений [c.472]

Устойчивость траекторий (2). Поскольку понятие устойчивости по Ляпунову не является исчерпывающим для задач классической динамики, мы будем пользоваться другим определением устойчивости. Существует много различных определений, одно из простейших состоит в следующем траектория С (в фазовом пространстве) устойчива, если траектория С, начинающаяся в точке фазового пространства, достаточно близкой к начальной точке траектории С, такова, что всякая точка траектории С находится вблизи от некоторой точки траектории С. Это условие является более слабым, нежели предыдущее, поскольку хотя здесь и требуется, чтобы точка Ф (< а + 6) на траектории С была близка к некоторой точке траектории С, однако эти точки не обязательно должны проходиться в один и тот же момент времени. Устойчивость такого типа принято называть орбитальной устойчивостью. [c.478]

Приведем определение устойчивости по Ляпунову. [c.71]

Чтобы охватить и эти случаи, вводится определение устойчивости по отношению к этим функциям, которые, в частности, могут совпадать с самими функциями qi t). Устойчивость по Ляпунову невозмущенного решения по отношению к величинам (Зь (Эг....Ят сводится к условию, аналогичному приве- [c.71]

Рис. 18.4. Приложение определения устойчивости по Ляпунову к анализу устойчивости положения шарика в наинизшей точке дна чаши.

Рис. 18.4. Приложение <a href="/info/123075">определения устойчивости</a> по Ляпунову к <a href="/info/111750">анализу устойчивости</a> положения шарика в наинизшей точке дна чаши.

Выяснение характера, а также областей существования различных устойчивых установившихся режимов движения частицы является одной из основных задач теории. При этом целесообразно ограничиться исследованием устойчивости движения не относительно координат частицы и ее скоростей, а относительно упомянутых выше моментов перехода t, соответствующее определение устойчивости (см. [6]) вполне аналогично определению устойчивости по Ляпунову (см. т. 1 и 2 справочника), хотя и является менее жестким - возможны режимы, неустойчивые по Ляпунову, но устойчивые по моментам перехода (см. стр 21). [c.16]

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмуш ениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно 2я-мерной матрицы-столбца фазовых переменных X [c.94]

Определение устойчивости по Ляпунову. Равновесие х = О называют устой-по Ляпунову, если для любого е > О можно найти такое б > О, что из условия ilx Q II < любом t > to следует неравенство II х (/) < е. В противном случае равновесие х = О называют неустойчивым. [c.95]

Графическая иллюстрация определения устойчивости по Ляпунову на примере двухмерного фазового пространства дана на рис. 3. [c.95]

Определение устойчивости по Ляпунову и некоторые другие определения устойчивости. Состояние произвольной механической системы с п степенями свободы определяется s = 2п переменными i/i, г/з,. .., у (обобщенные координаты и скорости) и описывается системой обыкновенных дис еренциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производных [c.33]

Будем искать условия, при которых все решения системы (149)—(150) ограничены и тривиальное решение л = О устойчиво по Ляпунову при любой функции ф (v) из указанного класса. Если эти условия выполняются, то тривиальное решение системы (149)—(150) абсолютно устойчиво для определенного семейства функций ф (V). [c.104]

Переформулируем определения устойчивости в терминах уравнений возмущенного движения (7.1.13). Положение равновесия Хо=0 называют устойчивым по Ляпунову, если для любых 8>0 и го существует 5=5(е,/о) такое, что для всех решений х( , удовлетворяющих в начальный момент времени неравенству x(/Q)jj < 5, следует [c.458]

Для инженерных приложений наиболее подходящим является такое определение устойчивости, которое обеспечивает, наилучшую связь с выборочными свойствами исследуемых процессов, т. е. с поведением конкретных реализаций. Этому требованию отвечает определение устойчивости по Ляпунову с вероятностью единица (устойчивость почти наверное) [12]. [c.135]

Определение. Решение и системы (4.5) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого б > О существует > О, такое, что vo < S и < б Vt > tq. В противном случае решение называется неустойчивым. [c.128]

Для сред типа (10.1) даже при фиксированных внешних нагрузках идет процесс деформирования и вопрос об устойчивости состояния (в противоположность упругости и пластичности) прямого смысла не имеет. Может быть поставлен вопрос лишь об устойчивости процесса. И если при этом исходить из определения устойчивости по Ляпунову, то выделить в данном невозмущенном процессе участок устойчивости или неустойчивости нельзя либо весь процесс надо признать неустойчивым, либо весь — устойчивым. Дело в том, что определение устойчивости процесса (движения) по Ляпунову, естественным образом обобщающее определение устойчивости состояния, требует включения в рассмотрение бесконечно удаленного момента времени, и заключение об устойчивости или неустойчивости можно сделать только на основании особенности поведения возмущенного движения в бесконечно удаленной точке. Поэтому, даже если до некоторого момента левая часть (10.9) оказывалась отрицательной, признать процесс [c.25]

М. Ш. Аминов истолковал определение орбитальной устойчивости по Жуковскому как частный случай определения Ляпунова (устойчивость по Ляпунову геодезических линий в фазовом пространстве при соответствующим образом определенной метрике) и исследовал, в основном методами Ляпу- [c.131]

Определение 1. Положение равновесия системы х = X(i, х) называется устойчивым по Ляпунову, если Ve > О > О такое, что любое малое возмущение начальных данных Цх(/о) < вле- [c.153]

Определение устойчивости по Ляпунову представляет собой ни что иное, как определение непрерывности решения начальной задачи Коши по начальным условиям, причем эта непрерывность является равномерной по 1 [c.154]

Решение х = ф 1) называется устойчивым по Ляпунову, если устойчивым по Ляпунову будет это положение равновесия. Аналогичное определение имеет место и для асимптотической устойчивости. [c.155]

Пусть в фазовом пространстве введена некоторая норма его элементов о) . Тогда общее определение устойчивости фазовой траектории о) = о)о(0 по А. М. Ляпунову будет следующим при каждом сколь угодно малом положительном числе г существует такое положительное число 6 = 6(8), что для любой траектории 0 выполняется неравенство (o t) —о)о(011 < Нетрудно убедиться, что из наличия хотя бы одного неустойчивого инфинитезимального волнового возмущения о) (0= (0 — о(0 (с отрицательной мнимой частью 7 = 1п1(т<0 собственной частоты а) вытекает неустойчивость траектории (oo t) по Ляпунову. Действительно, пока возмущение со ( ) мало, оно растет как е в согласии с линейной теорией, затем нелинейные члены уравнений этот рост замедляют, и, как правило, достигается некоторый конечный предел. Уменьшение же амплитуды А начального возмущения лишь затягивает этот процесс, но не меняет его конечного предела — отсутствие здесь сходимости возмущения к нулю при всех t, когда Л- >0, и означает отсутствие устойчивости по Ляпунову. Поскольку в реальности малые возмущения всегда присутствуют, линейная неустойчивость течения [c.83]

Эта концепция позволяет с успехом применять ляпуновскую теорию устойчивости для решения многообразных прикладных задач. Такая возможность была отмечена Четаевым еще в начале тридцатых годов в его лекциях по устойчивости самолета (в этой связи см. Н. Г. Четаев, 1930, а также Е. П. Гроссман, 1935). Для прикладных задач имеет значение не только (и не столько) факт существования числа Я > О по заданному числу Л > О, удовлетворяющих определению 1 устойчивости по Ляпунову, но и оценка этих чисел и проверка пригодности оценок в конкретных условиях задачи. Поэтому основными следует рассматривать те методы решения задач устойчивости, которые дают возможность получения указанных оценок. В этом смысле особенно эффективным оказывается второй метод Ляпунова. [c.13]

Определение 5. Решение х = О уравнений (1.1) называется асимптотически устойчивым равномерно по времени о и координатам начальных возмущений Xq из области G, если решение х =0 устойчиво по Ляпунову и если для любого числа т) >- О можно указать такое число Т (г]), что выполняется неравенство [c.19]

В определении 1 устойчивости по Ляпунову предполагается неограниченный полуинтервал изменения времени а также зависимость числа А., определяющего область возможных начальных возмущений, от числа А. [c.61]

Как ни условна подобная аналогия, все же она несколько поможет нам схватить смысл простого по форме, но довольно тонкого, по сути дела, определения устойчивости по Ляпунову. Пусть система находится в равновесии. Это означает, что изображающая точка находится в какой-либо из особых точек фазовой плоскости —скажем, в точке х = О, у = О, т. е. в начале координат О. [c.225]

Устойчивость по Ляпунову. В приведенной теории особых и неособых траекторий ( 6) и определении схемы было использовано понятие орбитной устойчивости, и именно это понятие имело нри этом значение. [c.63]

Определение устойчивости по Ляпунову [c.829]

Возвращаясь сейчас к определению устойчивости системы, можно добавить система устойчива в малом, если ее состояние равновесия устойчиво по Ляпунову система устойчива в большом, если устойчивость состояния равновесия имеет место для всей конечной области — шара х — Х < К. [c.131]

Определение 13.1. Решение ж = О системы 13.1 асимптотически устойчиво по Ляпунову, если выполнены два условия [c.48]

Определение. Стационарное решение автономного диф- ференциального уравнения (решение, тождественно равное положению равновесия) называется устойчивым (по Ляпунову), если все решения этого уравнения с начальными условиями из достаточно малой окрестности указанного положения равновесия определены на всей положительной полуоси времени и равномерно по времена сходятся к исследуемому стационарному [c.27]

Определение. Стационарное решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову [c.28]

Замечание 4. Аналогично предыдущему, определяется устойчивость по Ляпунову любого решения любого дифференциального уравнения (автономного или нет) это — равномерная сходимость решений на полуоси 0 к рассматриваемому решению при стремлении начальных значений этих решений при =0 к начальному значению изучаемого решения. Равномерная сходимость здесь определяется при помощи некоторой метрики в фазовом (или расширенном фазовом) пространстве (или многообразии). В отличие от случая положения равновесия автономной системы, определенная таким образом устойчивость зависит от выбранной метрики. Например, устойчивое [c.28]

Если решение (23.7.4) известно не только, какой-либо одной определенной начальной точки а, а для всех начальных. очек в некоторой окрестности точки а, то легко проверить, выполняется ли критерий устойчивости по Ляпунову. Однако в общем случае мы знаем решение (23.7.4) для какого-то одного определенного а, а не для совокупности начальных точек ( 23.1). Возмущение у (t) определяется как решение уравнений (23.1.4), [c.472]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

Строгое определение устойчивости распределенных систем строится путем соответствующего обобщения определения устойчивости по Ляпунову. При этом существенное значение имеет выбор метрики, при помощи которой оценивается близость двух движений расаределенной системы. Так, близость скалярной функции и (х,() (где X е S) к решению и (х, 0=0 может оцениваться по нормам типа [c.241]

В определении устойчивости по Ляпунову предполагается, что возмущенное движение происходит под действием тех же внешних сил, что и иевозмущенное. Если из-за недостаточности информации невозможно учесть все внешние силы, действующие на систему, то рассматривают задачу об устойчивости при постоянно действую-, щьх (сопровождающих) возмущениях. В этом случае дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид [c.34]

Устойчивость - термин, широко применяемый в математике, естествознании, технике и обыденной жизни. Толковый словарь Даля определяет слово устойчивый как стойкий, крепкий, твердый, не шаткий . Термин устойчивость встречается уже в работах Эйлера по продольному изгибу стержней, переведенных на русский язык. Лагранж, Пуассон и другие математики прошлого широко использовали термин устойчивость применительно к задачам о движении небесных тел. Теория регулятора Уатта, разработанная Максвеллом и Вышнеградским, была в сущности первым применением понятия устойчивости в машиноведении и отправной точкой для создания теории автоматического ретулирования (позднее - более общей теории автоматического управления). Р. Беллман характеризовал устойчивость как сильно перегруженный термин с неустановившимся определением . Однако большинство трактовок этого понятия связано с определением устойчивости по Ляпунову и его дальнейшими обобщениями. Это полностью относится и к устойчивости механических систем [6]. [c.455]

В дальнейшем изложении мы, гсак ггравило, следуем определению устойчивости по Ляпунову и родственным определениям. [c.456]

Определение 2. Положение равновесия рассматриваемой системы называется асимптотически устойчивым по Ляпунову если, во-первых, оно просто устойчиво по Ляпунову, во-вторых, существует такая окрестность нуля, что все решения, стартуюише из нее при [c.154]

Предположение о том, что траектория /(1,хо) покинет е-окрестность, т. е. в некоторый момент времени 1 > О выполнится жх = /( 1,жо) Г, приводит к противоречию. Действительно, с одной стороны, из (5.3) следуетУ(ж1) > У х ), с другой стороны, из (5.5) следуетУ(ж1) < V. Таким образом, удовлетворены все требования определения 4.1 устойчивости по Ляпунову для сколь угодно малой е-окрестности строится такая -окрестность, что любое решение с начальными данными из -окрестности не покидает е-окрестность. [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...