Устойчивости анализ Ляпунова

Общий характер устойчивости стационарных решений для параметрических генераторов всех типов следует из анализа вещественной и мнимой частей характеристического показателя Я. Если вещественная часть для ненулевых решений отрицательна, то соответствующий стационарный режим является устойчивым по Ляпунову, причем наличие или отсутствие мнимой части характеристического показателя выявляет характер этой устойчивости. [c.181]

Рис. 18.4. Приложение определения устойчивости по Ляпунову к анализу устойчивости положения шарика в наинизшей точке дна чаши.

Проведённые расчёты показывают, что при анализе нелинейных резонансов следует проводить исследование устойчивости как самого резонанса, так и устойчивости по Ляпунову в окрестности положения равновесия, поскольку из устойчивости [c.136]

Условия устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных. Введение уравнения сравнения позволяет свести анализ ЧУ-задачи для исходной системы (1.2.1) к анализу устойчивости по Ляпунову нулевого решения этого уравнения. [c.87]

Общие условия устойчивости по Ляпунову на основе предварительного анализа частичной устойчивости [c.147]

Условие устойчивости по Ляпунову. Введение системы (2.6.2) позволяет сформулировать условие устойчивости по Ляпунову невозмущенного движения системы (2.6.1), опирающееся на предварительный анализ частичной устойчивости этого движения. [c.147]

Строгий нелинейный анализ показал, что в случае плоской задачи точки либрации устойчивы но Ляпунову для всех значений параметра [х из области (5.1), кроме двух значений [c.145]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Но, как правило, уравнения возмущенного движения нелинейны. Поэтому возникает задача об определении условий, при которых выводы об устойчивости, полученные из анализа уравнений первого приближения (2), справедливы и для полных уравнений возмущенного движения (1) при любых нелинейных членах Xi, Х2,..., Эта задача была полностью решена Ляпуновым. [c.529]

Нелинейная система. Все предыдущие рассмотрения относились к линейной системе. Положим теперь, что линейная система имеет смысл первого приближения некоторой истинной нелинейной системы. Суждение об устойчивости последней по результатам анализа соответствующих линеаризованных уравнений основывается на следующих теоремах. Ляпунова 1). [c.433]

Если корни Л характеристического уравнения (18.148) размещать на комплексной плоскости (рис. 18.86), то левая полуплоскость Ке X < О будет областью устойчивости, а правая Йе >. > О — областью неустойчивости. Точки мнимой оси соответствуют случаям, сомнительным по Ляпунову, и требуют дополнительных рассмотрений. Динамический анализ сводится к выяснению зависимости положения корней Xs на Л-плоскости от уровня нагружения. Дальше речь будет идти о таких случаях нагружения системы, когда из двух параметров риг отличен от нуля только один. [c.433]

Численное решение системы (3) не позволяет судить о степени влияния различных параметров на устойчивость равновесия номинальной точки БП в малом (в смысле Ляпунова). Для анализа устойчивости номинальной точки используем первую теорему Ляпунова [3]. Линеаризуем функции (4), входящие в правые части уравнений (3), в окрестности исследуемой равновесной точки Хах) разложением в ряд Тейлора с удержанием первого члена. После линеаризации система уравнений (3) приобретает вид [c.77]

Однако, учитывая, что анализ устойчивости состояний равновесия механизма будем выполнять на основе теоремы Ляпунова по линеаризованному уравнению [3] в соответствии со структурой уравнений Лагранжа второго рода, члены, содержащие частные производные, выпадут из уравнений движения, поэтому инерционные коэффициенты можно представить в таком виде [c.15]

Для анализа динамики линейных систем и в решениях задачи об их устойчивости большую ценность представляет прямой метод А. М. Ляпунова, позволяющий по так называемой квадратичной V-функции судить об устойчивости системы, в которой одно или несколько звеньев описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Ниже для решения задачи о достаточных условиях устойчивости гидравлического следящего привода применяется этот метод. [c.497]

За последние годы для анализа устойчивости нелинейных автоматических систем стали применять второй метод А. М. Ляпунова. Возросший интерес к работам Ляпунова не только со стороны советских, но и иностранных специалистов объясняется многими обстоятельствами. [c.531]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

При исследовании устойчивости траекторий часто используется принцип фазового пространства [22, 23]. Так как фазовое пространство определяется модулем вектора и его производной, траекторию аппарата можно непосредственно отобразить в фазовые плоскости скорость — положение или ускорение — скорость с помощью траекторных годографов. Кроме того, в этом случае с большой эффективностью можно применять для анализа устойчивости траекторий критерии устойчивости и методы Ляпунова [24]. Несмотря на то, что в настоящее время метод годографов разработан только для баллистических траекторий, можно полагать, что дальнейшее развитие этого метода применительно к активным участкам траекторий позволит создать необходимую основу для более широкого исследования устойчивости с помощью годографов. [c.71]

В исследованиях, описанных выше, предполагалось, что движение п тел регулярно, т. е. происходит без соударений и удаления на бесконечность. Между тем изучение особых траекторий динамических задач вообще и задачи п тел в частности имеет очень большое значение для определения условий, при которых данное движение будет устойчивым или неустойчивым. Могущественные методы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, созданные А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяют проникнуть в природу механического движения и исследовать особенности интегралов дифференциальных уравнений, описывающих это движение. Потребность в качественных методах исследования вызвана тем, что многочисленные и очень важные задачи механики, математического анализа, геометрии, математической физики и прикладных наук приводят к дифференциальным уравнениям, не интегрирующимся в конечном виде. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов изучения свойств функций непосредственно по дифференциальным уравнениям, их определяющим. Вот почему доказательство теорем существования, изучение критических точек, особых траекторий и устойчивости решений составляли и составляют фундамент исследований ряда крупных отечественных и зарубежных ученых [c.111]

С теоремами об устойчивости, полученными методом функций Ляпунова, связаны, как правило, теоремы о неустойчивости, в нетривиальных случаях требующие тонкого анализа необходимых для их справедливости дополнительных условий. Такую теорему о неустойчивости дал и сам Ляпунов. С этим связан также давний вопрос об обраш ении теоремы Лагранжа ( если в положении равновесия силовая функция имеет максимум (изолированный), то равновесие устойчиво ), т. е. вопрос, будет ли положение равновесия неустойчиво, если ему соответствует не максимальное значение силовой функции. Кроме А. М. Ляпунова этим вопросом занимались Ж. Адамар, [c.129]

Уже в 30-е годы было начато изучение устойчивости более общих систем, чем у Ляпунова, что соответствует переходу от пространств конечного числа измерений с евклидовой метрикой к пространствам бесконечно большого числа измерений и метрикой общего характера. Эти исследования были продолжены и значительно продвинуты за последние два десятилетия с широким использованием методов функционального анализа. Переход к пространствам бесконечного числа измерений и общим метрикам дал возможность расширить теорию устойчивости на механические системы, описываемые не обыкновенными дифференциальными уравнениями, а бесконечными системами конечноразностных уравнений, уравнениями с запаздывающим или опережающим аргументом, уравнениями в частных производных и интегро-дифференциальными уравнениями и т. д. Такие системы все чаще встречаются в технике и физике, в теории устойчивости их удельный вес, несомненно, будет расти. Для таких систем подход к проблеме устойчивости в духе Ляпунова имеет особое значение, потому что для них весьма важен правильный учет начальных возмущений и распределение решений по типам и классам в зависимости от начальных условий. Опыт показывает, что здесь встречается гораздо большее разнообразие зон начальных условий, которым соответствуют разные по характеру решения, т. е. разное поведение физической системы. [c.132]

В настоящее время так называемый прямой метод Ляпунова (или метод функций Ляпунова ), являвшийся у Ляпунова и Четаева основным в задачах устойчивости, получил весьма широкое распространение как один из самых мощных качественных методов исследования дифференциальных уравнений самого общего вида, включая, например, уравнения функционального анализа в линейном банаховом пространстве. Кроме старых задач устойчивости движения механических систем, эти методы позволяют рассматривать новые задачи теории автоматического [c.11]

Начиная с середины XX столетия началось интенсивное развитие теории устойчивости по части переменных. При этом глубокому анализу была подвергнута как собственно трактовка А.М. Ляпунова, так и ряд других постановок задачи устойчивости по части переменных. [c.11]

Задача частичной устойчивости и оценка возможностей системы (анализ заведомо неустойчивых по Ляпунову систем) [c.28]

Приводятся постановки задач устойчивости по части переменных для функционально-дифференциальных и стохастических систем. Рассматриваются вопросы использования метода функций (функционалов) Ляпунова для анализа этих задач. Дается обзор других методов исследования устойчивости по части переменных, а также задач стабилизации и управления по части переменных для указанных классов систем. [c.249]

Анализ этой системы иераьенств показывает, что все они выполняются в области / (см. рис. 1.5), Таким образом, дня значений параметров а и /3, принадтежащих области I, цилиндрическая прецессия устойчива по Ляпунову. [c.112]

Общие методы исследования устойчивости движения Ляпунова сильны прежде всего своей универсальностью, и именно поэтому они не могут содернгать анализа различных физических факторов, влияющих на устойчивость движения. Мен ду тем во многих случаях такой анализ, проведенный в достаточно общем виде, может оказаться весьма полезным. В этой главе мы рассмотрим, как влияют на устойчивость движения различные силы. [c.150]

В настоящее время методы и алгоритмы анализа динамики линейных систем разработаны достаточно полно. В первую очередь это относится к методам анализа линейных систем с постоянными коэффициентами. В данной главе основные вопросы аназгиза динамики связаны с исследованием устойчивости и колебаний линейных систем. Основополагающими при рещении таких задач являются работы А.М. Ляпунова. [c.81]

В связи с больишм значением функции Ляпунова для теории вращающихся щшиндрических потоков, а также и с необычностью анализа устойчивости на основе сравнения стащюнарных форм течения следует еще раз подчеркнуть принщтиальные моменты в ее построении и свойства. [c.56]

Вышесказанное означает, что если ограничиться аддитивными функционалами Ляпунова (4), то возможно существование только условно-устойчивых многомерных стационарных солнтонов, т. е. устойчивых лишь при нек-рых ограничениях на нач. возмущения Такие ограничения возникают естественно для случая топологических со-литонов, наделённых тождественно сохраняющимися интегральными характеристиками—топологическими зарядами, учёт к-рых упрощает анализ устойчивости, В связи с этим ограничимся распространённым случаем нетополо-гич. солитоков, для к-рых естественной оказывается орбитальная устойчивость. [c.258]

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

Строгие методы теории устойчивости движения могут быть распространены на распределенные системы. При этом, например, вместо функций Ляпунова вводят функционалы Ляпунова, производные от которых по времени в силу уравнений движения обладают определен-Егыми свойствами. По этим свойствам судят об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения. Если модель распределенной системы линейна или если для выводов об устойчивости используют уравнения первого приближения (уравнения в вариациях), то анализ устойчивости приводит к некоторым обобщенным задачам о собственных значениях. [c.461]

Концепция устойчивости движения механических систем, нашедшая выражение в динамическом критерии А. М. Ляпунова (2.96), использовалась еще Лагранжем при исследовании динамики консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Методика использования критерия (2.96) сводится к интегрированию уравнений движения механической системы при заданном возмущении Р с последующим анализом тговедения системы во времени. Ясно, что практическое применение динамического критерия устойчивости ограничено случаями весьма простых систем, поведение которых описывается простейшими уравнениями движения. [c.108]

В работах XVIII в. использовалось понятие устойчивости равновесия или движения без уточнения его содержания и без введения для него количественной меры. Это в значительной мере верно и для работ дальнейшего периода, охватывающего почти весь XIX в. — от Лагранжа до Пуанкаре и Ляпунова. Теория малых колебаний около положения равновесия или движения оставалась основным аппаратом теории устойчивости. Она была усовершенствована за это время математически Дж. Сильвестр, К. Вейерштрасс, К. Жордан дали полный анализ всех случаев, которые могут представиться при решении однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К. Вейерштрасс и, независимо от него. [c.119]

Для расширения области применения первого метода Ляпунова в том случае, когда коэффициенты линейной системы постоянны, а нелинейные члены не содержат времени, требовалось дополнить общие результаты Ляпунова исследованием особенных (критических) случаев. Ляпунову принадлежит анализ случая одного и двух нулевых корней (характеристического уравнения матрицы ) и двух чисто мнимых корней. Первые новые важные результаты были получены Г. В, Каменковым и И. Г. Малкиным Они в весьма широких предположениях провели анализ устойчивости при наличии двойного нулевого корня, затем нулевого корня любой кратности, нри наличии двух пар, затем любого числа мнимых корней (предполагается, что все остальные корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части). В тех же работах рассмотрены критические случаи для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах и периодическими нелинейными членами (период предполагается одним и тем же для всех pgf и Zfe). Каменков и Малкин дополнили и в этом пункте результаты Ляпунова. [c.130]

Результаты Ляпунова, соответствующие случаю одной степени свободы, были обобщены М. Г. Крейном и В. А. Якубовичем на любой конечномерный случай. Можно сохранить прежнюю форму записи, считая у вектором (одностолбцовой матрицей) в пространстве любого числа измерений, р t) — матрицей соответствующего порядка. Однако, как ни существенно обобщение на многомерный случай, для анализа колебательных систем в механике сплошных сред оно недостаточно. Например, исследование динамической устойчивости jrnpyroro тела, находящегося под действием параметрического и периодически изменяющегося во времени возмущения, требует перехода от конечномерного случая к бесконечномерному. Первые результаты в этом направлении были получены В. И. Дергузовым. Выяснилось, что основные результаты, полученные в конечномерном случае, переносятся и на бесконечномерный случай Переход к бесконечномерному случаю потребовал существенного видоизменения методики интересно отметить, что новая методика позволила углубить теорию и для систем с конечным числом степеней свободы При этом полезным оказался переход от уравнения (d) к белее общему операторному уравнению вида [c.133]

Спецкурс по теории устойчивости движения состоит из двух частей. В первой части Основы теории устойчивости движения излагаются общие методы решения задач устойчивости и их приложения к анализу динамических систем с сосредоточенными параметрами. Даются основные определения, подробно излагается второй метод Ляпунова, включая метод вектор-функций Ляпунова. Приводится обзор построения функций Ляпунова для некоторых классов нелшейных систем. Излагается теория устойчивости по первому приближению. Дается анализ критических случаев. Во второй части Специальные главы геории устойчивости движения рассматриваются новые подходы к решению задач устойчивости (в частности, принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова) и вопросы абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем (включая подробное изложение результатов В.М. Попова, [c.12]

В общетеоретическом плане указанные два подхода к изучению устойчивости, основанные соответственно на концепции пространства состояний и вход-выходных соотношениях, до недавнего времени развивались как конкурирующие направления. В то же время многие специалисты при решении конкретных задач все чаще используют оба подхода, выбирая тот или другой в зависимости от специфики задачи. В этом плане заметим, что теория устойчивости от входа к выходу [Sontag, Wang, 1997, 1999, 2001] позволяет сблизить два этих подхода. В рамках данной теории метод функций Ляпунова, созданный и обычно применяемый для анализа устойчивости систем в пространстве состояний, используется в задачах, обычно решаемых средствами функционального анализа на основе вход-выходных соотношений. [c.13]

Обобщение теоремы Ляпунова. Случай частичной асимптотической устойчивости доставляет больщие трудности при переносе классических условий Ляпунова, чем те, что возникли при анализе обычной (неасимптотической) частичной устойчивости. [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...