Теорема Ляпунова об устойчивости движения

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 37 [c.37]

Функция F — — s -s удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (она определенно-положительна и ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения тождественно равна нулю (см. 2.2)), что доказывает теорему. [c.183]

Раус рассматривал вопрос не вполне так, как излагают авторы, а основная теорема Рауса об устойчивости движения голономной консервативной системы есть частный случай теоремы Ляпунова об устойчивости движения. [c.424]

Если постоянные fij удастся выбрать так, чтобы функция V была определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения. При этом в тех случаях, когда первые интегралы Uj (j = 1, 2,..., к) могут быть найдены из каких-либо общих соображений (например, при помощи основных теорем динамики), отпадает необходимость составления самих уравнений возмущенного движения, что существенно упрощает исследование. [c.519]

Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению, если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмуш нное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости. [c.73]

Этим доказана теорема Ляпунова об устойчивости движения. [c.575]

Доказательство этой теоремы может быть получено как простое следствие теоремы Ляпунова об устойчивости движения (см. литературу, цитируемую на стр. 456). [c.457]

Теорема Ляпунова об устойчивости движения 413 [c.413]

Неавтономные системы. В этом случае функции Ляпунова так же, как и правые части уравнений возмущенного движения (22), явно зависят от времени. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости ие меняется, но в условия теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции V (t, х). [c.38]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Для исследования динамических свойств нелинейных автоматических систем в настоящее время существует много методов, позволяющих исследовать свободные и вынужденные колебания нелинейных автоматических систем. Ведущее значение имеют методы, опирающиеся на фундаментальные теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости движения. Кроме них, широко применяются топологические методы, связанные с геометрическим построением структуры фазовых пространств, методы качественной теории дис еренциальных уравнений, припасовывания, разностные, опирающиеся на понятие передаточной функции и частотной характеристики системы, а также математического моделирования. [c.4]

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если дифференциальные уравнения движения системы [c.260]

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если в некоторой окрестности D положения равновесия ж = О существует функция Ляпунова V x), то движение устойчиво в области D. [c.164]

Если же выполнено неравенство О <27 х (1 — р,) <1, то уравнение (3.8) имеет четыре различных чисто мнимых корня и ТОЧКИ либрации устойчивы в первом приближении. Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости ПО первому приближению строгое решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.27]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ. Если уравнения возмущенного движения [c.412]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ. Заключения об устойчивости, сделанные на основании исследования линеаризованных уравнений возмущенного движения системы, не всегда остаются в силе для исходной (неупрощенной) системы. Устойчивость или неустойчивость последней определяется во многих случаях как раз отбрасываемыми при линеаризации нелинейными членами. Рассмотрим, например, задачу об устойчивости невозмущенного состояния системы [c.441]

Приведем теперь теорему, которая является далеко идущим обобщением теоремы Лагранжа для консервативных систем и доказанной выше теоремы для диссипативных систем и вместе с тем является частным случаем общей теоремы об устойчивости движений, доказанной Ляпуновым. [c.233]

Функции Ляпунова. Теоремы об устойчивости. движения автономных систем [c.85]

В случаях, когда задача об устойчивости не решается линейным приближением, необходимо использовать теоремы второго метода Ляпунова теории устойчивости движения. [c.85]

Теперь рассмотрим основные теоремы об устойчивости движения, которые можно доказать, пользуясь введенными выше определениями. Эти теоремы также принадлежат А. М. Ляпунову. [c.340]

Если начальные условия таковы, что выражение в квадратных скобках отрицательно, то движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, неустойчиво по теореме III 118. Имеет место лишь условная устойчивость (теорема II 118). Если выражение в квадратных скобках положительно, то теоремы первого метода А. М. Ляпунова не позволяют сказать что-либо определенное об устойчивости движения. Мы не исследуем этот вопрос подробно, ограничившись лишь замечанием, что движение тела относительно состояния стационарного движения, соответствующего регулярной прецессии, устойчиво, когда выражение в квадратных скобках будет положительно. [c.434]

Если постоянные А, и Xj удастся подобрать таким образом, что функция V будет определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (так как V = onst является также интегралом уравнений возмущенного движения). [c.56]

Учтем теперь, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия П имеет минимум (см. замечания в конце 3.2). Поэтому функция Г -f- П будет определенно-положительной относительно совокупности координат д - и скоростей (см. дока.штельство теоремы Лагранжа 3.1). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова об устойчивости движения ( 2.2). [c.173]

Теорема Ляпунова об устойчивости движения. В этом параграфе рассмотрены теоремы, составляющие основу прямого мето- [c.517]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Теорема 2.4. (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует знакоопределенная функция К(х), для которой производная в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с У, или тождественно обращается в нуль, ТО невозмущенное движение устойчиво. [c.85]

Теорема Ляпунова об устойчниости движения. В этом параграфе рассмотрены теоремы, составляющие основу прямого метода Ляпунова в теории устойчивости движения. Будем изучать только установив1ниеся движения. Сначала рассмотрим теорему Ляпунова об усто11чивости. [c.370]

Наиболее простое доказательство теоремы Лагранжа получается из общей теоремы Ляпунова об устойчивости если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво. Доказательство этой теоремы Ляпунов дал в сочинении Общая задача об устойчивости движения (стр. 61) ). [c.237]

Основная теорема Ляпунова об устойчивости если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной [c.245]

Решение задачи об устойчивости невозмущенного движения (ему отвечает решение qj = = О (j = 1, 2,..., п) системы (1)) зависит от свойств функции Гамильтона. Очень просто вопрос об устойчивости решается в том случае, когда время t не содержится в уравнениях (1), а функция Н является знакоопределенной в окрестности точки qj = Pj = О (j = 1, 2,..., n). В этом случае функция Н будет интегралом системы (1) и невозмущенное движение устойчиво. Этот вывод непосредственно следует из теоремы Ляпунова об устойчивости для применения этой теоремы в качестве функции Ляпунова V можно принять функцию Н. [c.543]

При выполнении условий теоремы Ляпунова об устойчивости изображающая точка может двигаться по поверхности уровня V (х) = С (рис. 11,5), оставаясь в заданной окрестности начала координат. Если выполняются условия первой теоремы о неустойчивости, то изображающая точка при своем движении может пересекать noBepxHO Tir V (х = С изнутри нарум<у, удаляясь от начала координат (рис. 11,й). [c.38]

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого-порядка в функциях Xs- Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) Psr = onst и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для произвольного числа > О, как бы мало оно ни было, функции Х могут быть стеснены неравенствами j < Я, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Хд. [c.51]

Аналогичные результаты несколько иным путем были получены И. Г. Малкиным (1937), рассмотревшим, кроме того, случай, когда порядок формы больше т и правые части присоединенной системы имеют переменные коэффициенты, являющиеся ограниченными непрерывными функциями времени. В этой работе Малкин дал обобщение теоремы Ляпунова об устойчивости в особенном подслучае случая одного нулевого корня на случай к нулевых корней, когда уравнения возмущенного движения допускают семейство установившихся движений, зависящее от к произвольных постоянных. Впоследствии М. А. Айзерман и Ф. Р, Гантмахер (1957) показали, что эта теорема Ляпунова — Малкина может быть использована для исследования устойчивости положений равновесия неголономной системы. [c.56]

Первое утверждение сформу.тарованной теоремы можно доказать при помощи теоремы Ляпунова об устойчивости. Для этого заметим, что если в нормальной форме отбросить члены выше четвертого порядка поу рг, то укороченная функция Гамильтона Н— й будет интегралом движения. Кроме того, pi и р2 тоже будут интегралами. Для доказательства устойчивости функцию Ляпунова берем в виде [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...