Ляпунова методы исследования устойчивости движения

Как отмечалось выше, актуальной проблемой теории устойчивости является создание строгих и эффективных методов исследования устойчивости движения систем с распределенными параметрами, в особенности сплошных сред. Эта проблема имеет огромное теоретическое и прикладное значение. В связи с этим весьма заманчивым представляется распространение методов Ляпунова вообще, и второго метода в частности, на системы с бесконечным числом степеней свободы. Этой проблеме посвящено большое число исследований, связанных большей частью с прикладными задачами. Мы рассмотрим здесь главным образом два направления исследований в этой области применение прямого метода Ляпунова и распространение теорем Лагранжа и Рауса, [c.30]

Наиболее общий подход нам и здесь подсказывает термодинамика, а именно понятие энтропии. Энтропия есть мера вероятности нахождения системы в данном состоянии. Следовательно, признаком устойчивости системы может служить ее нахождение в максимуме энтропии (рис. 9, б). Однако, к сожалению, максимум энтропии — это только необходимое, но не достаточное условие устойчивости системы. А. М. Ляпуновым и его учениками были разработаны изощренные методы исследования устойчивости движений систем на основе изучения поведения специальных функций, характеризующих состояние систем. Эти функции и методы их использования получили имя Ляпунова. [c.47]

Общая теория устойчивости движения, созданная А. М. Ляпуновым, была предметом его докторской диссертации ). А. М. Ляпунов предложил два метода исследования устойчивости движения. К первому он отнес совокупность всех способов исследования устойчивости, в основании которых лежит разыскание общих или частных решений дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде бесконечных рядов. Ко второму методу были отнесены все те способы, которые основываются на построении некоторых функций времени и переменных, определяющих состояние движения системы, и не требуют разыскания решений дифференциальных уравнений возмущенного движения. Функции, применяемые во втором методе, получили название функций Ляпунова. Основная идея второго (часто говорят —прямого) метода Ляпунова состоит в качественном исследовании поведения интегральных кривых системы дифференциальных уравнений возмущенного движения по отношению к некоторым поверхностям, которые могут либо меняться с течением времени, либо являются неподвижными интегральными поверхностями. [c.429]

В восьмой главе излагается применение прямого метода Ляпунова к исследованию устойчивости систем автоматического регулирования и, наконец, последняя, девятая глава посвящена применению частотных методов к исследованию устойчивости движения. [c.7]

Гл. 5 посвящена исследованию на устойчивость неоднородно-стареющих вязкоупругих стержней при различных способах закрепления концов стержня и способах его нагружения. Устойчивость изучена в нескольких принципиально различных постановках. Принятое определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определении устойчивости движения динамических систем по Ляпунову, а на конечном интервале времени — по Четаеву. Развиты общие методы исследования устойчивости. Установлены условия устойчивости армированных вязкоупругих стержней непосредственно в терминах характеристик рассматриваемых задач. Изучена зависимость критического времени потери устойчивости от параметров задачи (коэффициента армирования, упругих и реологических характеристик материалов стержня, величины нагрузки и т. д.). [c.10]

Ценность трудов Ляпунова по теории устойчивости движения не только в непосредственно полученных им результатах, но и в разработке новых оригинальных математических приемов изучения дифференциальных уравнений. Последующие исследования в этом направлении в значительной мере опирались на идеи и методы Ляпунова. Его докторская диссертация была издана на французском языке в 1907 г. О значении этого труда в наше время свидетельствуют четыре переиздания его на русском языке после 1935 г. и перепечатка французского перевода в США в 1947 г. [c.249]

Теоремы прямого (второго) метода Ляпунова. В теории устойчивости невозмущенное движение принято называть установившимся, если соответствующие ему дифференциальные уравнения возмущенного движения автономны [10]. В противоположном случае невозмущенное движение называют неустановившимся . В исследовании устойчивости движения автономных и неавтономных систем (установившихся и неустановившихся движений) имеются некоторые различия. [c.37]

Не меньшее значение получили в аналитической механике методы исследования малых движений системы вблизи положения устойчивого равновесия или установившегося движения. Эти методы начали развиваться из запросов небесной механики и нашли широкое применение в технике. Развитие методов связано с именами Лагранжа, Рауса, Пуанкаре, Ляпунова и многих других математиков и механиков. [c.444]

Н. Г. Четаеву (1934—1935, 1940), показавшему тесную связь прямого метода Ляпунова исследования устойчивости движения с мыслью А. Пуанкаре о применении характеристик Кронекера для качественного изучения дифференциальных уравнений. Разработанный Четаевым (1936, 1938) метод изменения функций для вычисления характеристик Кронекера позволяет в ряде случаев решить задачу об устойчивости в конечном за ограниченный промежуток времени. [c.61]

В данном очерке рассмотрены лишь некоторые направления многообразных исследований советских ученых по развитию и приложению метода функций Ляпунова в теории устойчивости движения. Вместе с тем следует подчеркнуть, что этот метод нашел разнообразные и широкие приложения и в других областях науки — в бурно развивающейся в последние годы теории оптимального управления и стабилизации, в теории нелинейных колебаний, в общей качественной теории дифференциальных уравнений и т. п. Некоторые из приложений метода освещаются в последующих очерках настоящего тома, в особенности в очерке Н. Н. Красовского (стр. 179—243). Метод функций Ляпунова оказался весьма эффективным во многих разделах науки, и нет сомнения, что и в дальнейшем он будет развиваться и находить все новые области приложений, являясь мощным средством количественного и качественного исследования. [c.66]

Фундаментальные исследования по устойчивости механического движения были выполнены русским ученым, профессором Харьковского университета А. М. Ляпуновым . Предложенные Ляпуновым методы изучения устойчивости широко используются в различных областях механики и физики. [c.17]

См. также определение устойчивости периодического движения по Ляпунову в гл. V, 6, 7, где изложены аналитические методы исследования устойчивости, правда, пригодные лишь для неконсервативных систем. [c.150]

В настоящей главе изложены методы исследования на устойчивость неоднородно-стареющих вязко-упругих стержней при различных предположениях о способах закрепления концов стержня и способах его нагружения и установлены условия устойчивости. Устойчивость изучена в нескольких принципиально отличных постановках. Принятое ниже определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определению устойчивости движения динамических систем по Ляпунову. Для ряда ситуаций получены выражения критической силы потери устойчивости, сформулированные непосредственно в терминах параметров рассматриваемых задач. Представляет интерес поведение стержня на конечном интервале времени. Приведены постановки задач устойчивости на конечном интервале времени, исходящие из определений устойчивости движения динамических систем по Четаеву [1, 513]. Одна из постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени состоит в определении ограничений на начальную погибь, при выполнении которых определяемый ею прогиб не превосходит заданного критического значения. Другая постановка задачи может быть связана с определением функционала, представляющего собой первый момент времени, именуемый критическим, к гда максимальная величина прогиба впервые достигает заданного значения. [c.230]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Прямой метод Ляпунова. Метод перспективен, поскольку дает возможность решать задачи устойчивости и в этом смысле задачи синтеза без решения уравнения движения. Однако проблема отыскания вида функции Ляпунова даже для простых систем очень сложна и требует в известном смысле искусства, и интуиции. Видимо, со временем, когда будут разработаны и классифицированы способы нахождения функции Ляпунова хотя бы для класса систем, метод станет одним из главных при исследовании нелинейных систем регулирования. [c.489]

При исследовании устойчивости прямым методом Ляпунова изучают поведение функций V (f, х] [или V (х)1 вдоль траекторий дифференциальных уравнений возмущенного движения (22). Для этого кроме самой функции V вводят в рассмотрение ее [c.36]

В исследованиях, описанных выше, предполагалось, что движение п тел регулярно, т. е. происходит без соударений и удаления на бесконечность. Между тем изучение особых траекторий динамических задач вообще и задачи п тел в частности имеет очень большое значение для определения условий, при которых данное движение будет устойчивым или неустойчивым. Могущественные методы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, созданные А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяют проникнуть в природу механического движения и исследовать особенности интегралов дифференциальных уравнений, описывающих это движение. Потребность в качественных методах исследования вызвана тем, что многочисленные и очень важные задачи механики, математического анализа, геометрии, математической физики и прикладных наук приводят к дифференциальным уравнениям, не интегрирующимся в конечном виде. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов изучения свойств функций непосредственно по дифференциальным уравнениям, их определяющим. Вот почему доказательство теорем существования, изучение критических точек, особых траекторий и устойчивости решений составляли и составляют фундамент исследований ряда крупных отечественных и зарубежных ученых [c.111]

Основные исследования Ляпунова по устойчивости движения распадаются на две части, связанные с двумя методами. [c.125]

Первый метод, говоря словами Ляпунова, сводится к непосредственному исследованию возмущенного движения и основан на изучении общих или частных решений дифференциальных уравнений (Ь). При выяснении важнейшего вопроса о том, когда можно судить об устойчивости по первому приближению, т. е. ограничиваясь в правых частях уравнений (Ь) линейными членами, требуется изучить поведение решений однородной линейной системы [c.125]

Метод Четаева был применен для получения функции Ляпунова и при исследовании других случаев движения твердого тела. Для теории гироскопов имеет значение проведенное этим методом самим Четаевым исследование устойчивости вертикального волчка с учетом массы колец его карданова подвеса при вертикальной оси внешнего кольца. В. В. Румянцев исследовал устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной оси при различных допущениях, в том числе и для волчка Ковалевской. На основе метода Четаева дано новое доказательство устойчивости регулярной прецессии волчка Лагранжа. Тем же методом пользовались при исследовании устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. [c.135]

В механике, как известно, решения уравнений равновесия или дифференциальных уравнений движения тел или сред определяют класс возможных состояний равновесия и движения, из которых лишь только часть будет представлять собой реально осуществимые состояния. Отбор из всего класса возможных состояний равновесия и движения отдельной группы реально осуществимых состояний производится Б механике с помощью исследования устойчивости соответственных решений уравнений. Реально осуществимыми из всего класса возможных состояний будут только те состояния равновесия и движения, которые будут удовлетворять условиям устойчивости. Эти условия устойчивости устанавливаются с помощью ряда методов, из которых наиболее общим и строго обоснованным является метод Ляпунова. [c.385]

Чтобы сделать заключения об условиях устойчивости движения взвешенной частицы, необходимо по методу А. М. Ляпунова провести дополнительные исследования в отношении нулевого корня уравнения (6.19) с учётом нелинейных слагаемых в уравнениях возмущённого движения частицы. При проведении этих исследований можно убедиться в том, что для обеспечения устойчивости движения шаровой частицы в ламинарном потоке можно знаки неравенств (6.15) и (6.22) изменить на обратные. Таким образом, движение взвешенной шаровой частицы в потоке (6.16) будет устойчивым, если для числа [c.431]

Результаты, полученные А. М. Ляпуновым в его удивительных по глубине, остроумию п силе математического таланта, исследованиях, далеко продвинули решение этих труднейших и важнейших проблем механики. Идеи Ляпунова, создавшего новое направление и новые методы исследования в теории устойчивости движения, успешно разрабатываются в настоящее время многими советскими и зарубежными учеными. [c.26]

Для исследования динамических свойств нелинейных автоматических систем в настоящее время существует много методов, позволяющих исследовать свободные и вынужденные колебания нелинейных автоматических систем. Ведущее значение имеют методы, опирающиеся на фундаментальные теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости движения. Кроме них, широко применяются топологические методы, связанные с геометрическим построением структуры фазовых пространств, методы качественной теории дис еренциальных уравнений, припасовывания, разностные, опирающиеся на понятие передаточной функции и частотной характеристики системы, а также математического моделирования. [c.4]

В настоящее время так называемый прямой метод Ляпунова (или метод функций Ляпунова ), являвшийся у Ляпунова и Четаева основным в задачах устойчивости, получил весьма широкое распространение как один из самых мощных качественных методов исследования дифференциальных уравнений самого общего вида, включая, например, уравнения функционального анализа в линейном банаховом пространстве. Кроме старых задач устойчивости движения механических систем, эти методы позволяют рассматривать новые задачи теории автоматического [c.11]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

Основное внимание в кпиге уделено наиболее эффективным методам исследования устойчивости движения — прямому методу Ляпунова и исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости дви>кения по структуре действующих сил, устойчивости движения неавтономных систем, в том числе систем, возмущенное движение которых описывается линейными дифференциальными уравиениями с периодическими коэффициентами. [c.7]

Одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова (очень часто этот метод называется вторым методом Ляпунова). В этой главе прямой метод будет излои си для автономных систем (неавтономные систом1.г рассматриваются в гл. V ll). [c.29]

Общие методы исследования устойчивости движения Ляпунова сильны прежде всего своей универсальностью, и именно поэтому они не могут содернгать анализа различных физических факторов, влияющих на устойчивость движения. Мен ду тем во многих случаях такой анализ, проведенный в достаточно общем виде, может оказаться весьма полезным. В этой главе мы рассмотрим, как влияют на устойчивость движения различные силы. [c.150]

Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций V переменных i, Ж2,..., t и изучением свойств самих этих функций и их производных, функции V будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см. п. 225). [c.515]

Из работ по применению метода функций Ляпунова, быть может, наиболее близки к классической проблематике механики исследования по динамике твердого тела с неподвижной точкой. В этой проблеме в качестве функции Ляпунова можно использовать соответствующим образом преобразованное выражение для полной энергии тела (или системы тел), если поле действующих сил консервативно. Именно таким образом Б. В. Булгаков прйменил второй метод Ляпунова при исследовании устойчивости движения оси фигуры гироскопа вокруг оси его момента движения, пренебрегая массой карда- 135 нова подвеса. [c.135]

А. П. Тузова, В. И. Зубова) разработан метод исследования устойчивости движения комбинированием метода функций Ляпунова с общими качественными методами дифференциальных уравнений. Этот метод с успехом применен для доказательства существования периодических, ограниченных и почти-периодических решений, а также для исследования устой-чивости ддижения в целом (В. А. Плисс, 1953, 1958, 1961, 1964). [c.20]

См. лит. при ст. Интерферометр. ЛЯПУНОВА МЕТОДЫ, два осн. метода исследования устойчивости движения, предложенных А. М. Ляпуновым (1892). По существу каждый из Л. м. охватывает совокупность способов исследования, объединённых общей идеей. Первый Л. м. основывается на отыскании и исследовании решений ур-ний т. н. возмущённого движения, т. е. движения, к-рое по каким-то причинам (напр., вследствие случайного толчка) отличается от рассматриваемого невозмущённого движения. Второй (илп прямой) Л. м. наиболее распространён и состоит в исследовании устойчивости движения с помощью нек-рых, спец. образом вводимых ф-ций, наз. функциями Ляпунова. [c.356]

Дастся изложение основ теории усхойчпвоети движения, базирующееся на общем курсе высшей математики для втузов. Основное внимание уделено наиболее эффективным методам иссл< дова-ния — прямому методу Ляпунова, исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения и частотным методам. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости движения но стру -туре действующих сил, устойчивости неавтономных систем, в тол числе систем с периодическими коэффициентами, и систем автоматическою регулирования. [c.2]

Г. Н. Дубошин. Устойчивость движения.— В кн. Механика в СССР за тридцать лет, 1917—1947. М.— Л., Гостехиздат, 1950, стр. 73—98 Н. Н. Красовский. Второй метод Ляпунова в теории устойчивости движения.— В кн. Труды [1] Всесоюзн. съезда по теорет. и прикл. механике (27 января —3 февраля 1960 г.). Обзорные доклады. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1962, стр. 36—47 В. В. Румянцев. Устойчивость движения твердого тела с полостями, наполненными жидкостью.— Там же, стр. 57—71 В. И. Арнольд. Устойчивость и неустойчивость динамических систем со многими степенями свободы.— Труды II Всесоюзн. съезда по теорет. и прикл, механике (29 января — 5 февраля 1964 г.). Обзорные доклады. Вып. 1. М,, Наука , 1965, стр. 7—15 В. А. Якубович, Ф. Р. Гантмахер. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем.— Там же,, стр. 30—63 А. М. Летов. Оптимальное управление и устойчивость.— Там же, стр. 94--111 В. М. Матросов. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости.—. Там же, стр. 11 125 В. В. Румянцев, Исследование устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостями. Там же, стр. 453—169 С. Н. Шиианов. Устойчивость систем с запаздыванием.— Там же, стр. 170—180 В. В. Румянцев. Метод [c.124]

Б. В. Булгаков в своих исследованиях устойчивости движения гироскопа при различных условиях (без учета массы карданова подвеса, при наличии радиальной коррекции и т. п.), изложенных в его монографии применял первый метод Ляпунова, вводя с этой целью особую систему фазовых координат. Тот же первый метод был использован Г. К. Пожарицким, чтобы доказать неустойчивость вращения тяжелого твердого тела вокруг вертикали в случае Бобылева — Стеклова. [c.135]

Некоторые авторы полагают, что возможности применения к решению технических задач результатов, полученных А. М. Ляпуновым, являются ограниченными, так как опре/.еление устойчивости по А. М. Ляпунову отличается тремя особенностями малостью возмущений, отсутствием возмущающих сил II исследованием устойчивости на неограниченно большо.м интервале времени ). Но, во всяком случае, методы А. М. Ляпунова обладают такой общностью, что находят применение и при других подходах к решению вопроса об устойчивости движения. [c.346]

Дж. В. Стрэтт (лорд Рэлей, 1842—1919) в своем труде Теория звука впервые изложил расчеты ряда колебательных процессов с последовательным учетом нелинейных свойств колебательных систем. В современной теории колебаний используются также математические методы, развитые А. Пуанкаре (1854—1912) в его работах по небесной механике нашли применение и исследования А. М. Ляпунова (1857—1918) по устойчивости движений и методы расчета колебательных движений, развитые А. Н. Крыловым (1863—1945). Очень большое значение для формирования теории колебаний имели основополагаюш,ие работы Ван дер Поля (1889—1959) по колебаниям в некоторых нелинейных системах и общие исследования колебательных процессов в нелинейных системах, проведенные А. А. Андроновым (1901 —1952), развившим учение о самоподдерживающихся колебательных процессах, названных им автоколебаниями. Этот термин в настоящее время является общепринятым. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...