Положение устойчивое по Ляпунову

Рис. 18.4. Приложение определения устойчивости по Ляпунову к анализу устойчивости положения шарика в наинизшей точке дна чаши.

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмуш ениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно 2я-мерной матрицы-столбца фазовых переменных X [c.94]

Практически устойчивость по Ляпунову означает, что при достаточно малых начальных возмущениях фазовые траектории системы будут достаточно мало отклоняться от положения равновесия. Неустойчивость равновесия означает, что система может удалиться от положения равновесия даже в том случае, если начальные возмущения сколь угодно малы. [c.95]

Пусть уравнения нелинейной системы отличаются от линеаризованных уравнений нелинейными членами, которые являются непрерывными и дифференцируемыми функциями фазовых переменных и времени. Если положение равновесия линейной системы асимптотически устойчиво, то равновесие нелинейной системы будет устойчиво по Ляпунову независимо от нелинейных членов. [c.96]

Переформулируем определения устойчивости в терминах уравнений возмущенного движения (7.1.13). Положение равновесия Хо=0 называют устойчивым по Ляпунову, если для любых 8>0 и го существует 5=5(е,/о) такое, что для всех решений х( , удовлетворяющих в начальный момент времени неравенству x(/Q)jj < 5, следует [c.458]

Положение равновесия х(/) = 0 линейной системы (7.2.3) с постоянной матрицей С устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда действительные части характеристических показателей неположительны, т.е. [c.463]

Если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия изолированный минимум, та это положение равновесия устойчиво по Ляпунову. [c.474]

Теорема (А. Г. Сокольский [180]). Если в нормальной форме (205), (209) Ф(ф)=7 0 при ф S [О, 2я], то положение равновесия х = у — 0 устойчиво по Ляпунову. Если существует таков ф, что Ф(ф ) = 0, Ф (ф )т О, то положение равновесия неустойчиво. Если все корни уравнения Ф(ф) = 0 имеют четную крат- [c.237]

Теорема (А. Г. Сокольский [180, 181]). Если в нормальной форме (210) Л < О, то положение равновесия х у = 0 двумерной гамильтоновой системы неустойчиво. Если у1 > О, то имеет место устойчивость по Ляпунову. В случае Л = О вопрос об устойчивости решается членами более высокого порядка. [c.238]

Положение равновесия (точка 0) называется устойчивым (устойчивым по Ляпунову), если для любой окрестности ] О е УУ найдется окрестность И о хо е о, для которой решения уравнения [c.314]

Рассмотрим систему (4.31), которая описывает движение тела при резонансе (4.6), в малой окрестности устойчивого положения равновесия х. Преобразуем эту систему к виду, удобному для проведения исследования устойчивости по Ляпунову. Сделаем замену переменных в окрестности устойчивой стационарной точки X = X + Х Р = Р + (р = ( х/(1т, р = 0) и разложим функцию (х, z) в точке х = X в ряд Тейлора по переменной г . В результате, пренебрегая членами порядка получим [4], [26 [c.132]

Проведённые расчёты показывают, что при анализе нелинейных резонансов следует проводить исследование устойчивости как самого резонанса, так и устойчивости по Ляпунову в окрестности положения равновесия, поскольку из устойчивости [c.136]

Непосредственной проверкой можно убедиться, что положение равновесия Х = Х2 = О системы (1.1.10) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво в целом по отношению к одной из переменных. А именно, в случае A i > О, Ь < О область начальных возмущений делится на 3-и части [c.32]

Положение равновесия тела, будучи устойчивым по Ляпунову, не может быть асимптотически устойчивым по всем переменным. Будем изучать задачу об асимптотической j i-устойчивости положения равновесия. [c.82]

Конкретизируем это утверждение. Поскольку положение равновесия ц-системы в данном случае устойчиво по Ляпунову, то положение равновесия исходной системы устойчиво не только по у ,2 ,22, но и по> 1. Кроме того, устойчивость по возможна лишь в случае неустойчивости и по 2ь и по 22. Таким образом, в рассматриваемом случае движение электрона устойчиво по у ,ух,2 ,22 и неустойчиво по каждой из переменных 21, 22. [c.104]

При этом положение равновесия цепи не может быть асимптотически устойчивым по Ляпунову. В самом деле, в любой окрестности положения равновесия д,, = д = О, [c.170]

Определение 1. Положение равновесия системы х = X(i, х) называется устойчивым по Ляпунову, если Ve > О > О такое, что любое малое возмущение начальных данных Цх(/о) < вле- [c.153]

Решение х = ф 1) называется устойчивым по Ляпунову, если устойчивым по Ляпунову будет это положение равновесия. Аналогичное определение имеет место и для асимптотической устойчивости. [c.155]

Теорема. Если точка есть строгий локальный минимум потенциальной энергии II, то положение равновесия д = Яо устойчиво по Ляпунову. [c.91]

Это позволяет изучать поведение системы в течение больших интервалов времени для близких к равновесию начальных условий. Однако этого недостаточно, чтобы определить, будет ли положение равновесия устойчивым по Ляпунову (из-за того, что на бесконечном отрезке времени влияние отброшенного остаточного члена ряда Тейлора может разрушить устойчивость). Такая устойчивость вытекала бы из точного приведения к аналогичной нормальной форме, без пренебрежения остаточными членами. Однако можно доказать, что это точное приведение, вообще говоря, невозможно, а формальные ряды для канонических преобразований, приводящих систему к нормальной форме, в действительности в общем случае расходятся. [c.352]

В случае п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции не должна делиться на линейную. В этом случае изоэнергетическая невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия пО Ляпунову. [c.378]

В случае /г = 1 условие невырожденности сводится к отличию от нуля производной периода малых колебаний по квадрату амплитуды малых колебаний. В этом случае невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия по Ляпунову. [c.378]

Определение. Стационарное решение автономного диф- ференциального уравнения (решение, тождественно равное положению равновесия) называется устойчивым (по Ляпунову), если все решения этого уравнения с начальными условиями из достаточно малой окрестности указанного положения равновесия определены на всей положительной полуоси времени и равномерно по времена сходятся к исследуемому стационарному [c.27]

Замечание 4. Аналогично предыдущему, определяется устойчивость по Ляпунову любого решения любого дифференциального уравнения (автономного или нет) это — равномерная сходимость решений на полуоси 0 к рассматриваемому решению при стремлении начальных значений этих решений при =0 к начальному значению изучаемого решения. Равномерная сходимость здесь определяется при помощи некоторой метрики в фазовом (или расширенном фазовом) пространстве (или многообразии). В отличие от случая положения равновесия автономной системы, определенная таким образом устойчивость зависит от выбранной метрики. Например, устойчивое [c.28]

Теперь обсудим специфические для стационарных режимов определения устойчивости. Сразу заметим, что стационарный режим из-за наличия близких к нему иных стационарных режимов, в отличие от равновесий, никогда не бывает асимптотически устойчивым. Он может быть устойчивым по Ляпунову в случае систем с диссипацией (общего положения), когда его траектория асимптотически устойчива. В случае консервативных систем, когда траектории стационарных режимов не изолированны (заполняют целые подмногообразия в фазовом пространстве), устойчивость по Ляпунову возможна, но лишь как редкое исключение. Действительно, если начальное возмущение приводит к смежному стационарному режиму (с другой траекторией), то требуется, чтобы выполнялось некоторое условие изохронности этих стационарных движений. Например, когда они периодические, нужно, чтобы при таком возмущении период не изменялся. В ином случае возмущенные движения за конечное время разойдутся на расстояние порядка диаметра траектории. В ситуации общего положения это и происходит. Поэтому в общей теории естественны иные определения устойчивости. [c.251]

Теорема. Если j Са < i>a, то положение равновесия неустойчиво, если же g > Ь , то имеет место устойчивость по Ляпунову. [c.65]

Если же I > 1 < 1 с 1, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Для доказательства этого утверждения сделаем каноническое преобразование г, ф W при помощи производящей функции [c.68]

Теорема Лагранжа—Дирихле. II. Если в нуле вом положении энергия положения изображающей систеЩ точки имеет равный нулю изолированный минимум, то равновесие в этом положении устойчиво по Ляпунову. [c.398]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

Аналогичное положение наблюдается и в случае а > р, = ar tg /ь когда невозможны режимы с остановками и существует лишь один установившийся режим движения частицы — безостановочное ускоренное скольжение вниз по поверхности В этом случае безостановочное движение устойчиво по моментам перехода в большом (хотя и не устойчиво по Ляпунову), так как в это движение переходит с течением времени любое другое движение, в котором скольжение частицы вниз началось в произвольный момент времеии t = 1 . Если существует только безостановочное ускоренное скольжение частицы и никакие другие установившиеся режимы движения невозможны, то безостановочное движение устойчиво в большом по моментам перехода, т. е. оно устанавливается независимо от значения момента начала сколь- [c.21]

Теорема (А, Г. Сокольский [182]). Если в нормальной форме (214) аом 5 О ы Л/ нечетное или при четном М выполнено баом<0, то положение равновесия х = у = 0 неустойчиво. Если М — четное число и ёаом > О, то имеет место устойчивость по Ляпунову. [c.238]

Более точно, справедлив следующий результат [Воротников, 1986а, 1991а, 1998] если В < А < С С < А < В), 10 положение равновесия х, = О, / = 1,3 системы (1.1.8), (1.1.9) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво по двум из трех перемен- [c.31]

Показано [Rou he и др., 1977], что положение 1) неустойчиво, положение 2) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво по Х в целом при р > О, а положение 3) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво похг в целом при р<0. [c.42]

Определение 2. Положение равновесия рассматриваемой системы называется асимптотически устойчивым по Ляпунову если, во-первых, оно просто устойчиво по Ляпунову, во-вторых, существует такая окрестность нуля, что все решения, стартуюише из нее при [c.154]

Теорема 8. Предположим, что регулярная точка М пространства моментов является критической точкой энергии на орбите коприсоединенного представления, и что второй дифференциал энергии (PH в этой точке — знакоопределенная квадратичная форма. Тогда М — устойчивое по Ляпунову) положение равновесия уравнения Эйлера. [c.294]

Для систем дифференциальных уравнений общего вида такая нейтральная устойчивость может быть разрушена сколь угодно малыми нелинейными добавками. Для систем Гамильтона дело обстоит сложнее. Предположим, например, что квадратичная часть функции Гамильтона в положении равновесия (которая и определяет линейную часть векторного поля) знакоопределена. Тогда функция Гамильтона имеет максимум или минимум в положении равновесия. Следовательно, это положение равновесия устойчиво (по Ляпунову, но не асимптотически) не только для линеаризованной системы, но и для полной нелинейной системы. [c.351]

Из постановки задачи видно, что для любой е-окрестности, найдется такая ямка вблизи начала координат, что при соответствую-ш,ем ограничении на скорость эту ямку точке не преодолеть, т. е. нулевое положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Потенциальная же энергия Я (ж) = sin (l/a ) в любой Д-окрестности донолнительно к жо = О обращается в нуль при xi = 1/л/тт, где п — такое натуральное число, чтобы выполнялось жх < Д. Таким образом устойчивость есть, а требование (7.5) теоремы 7.1 нарушено. [c.30]

Замечание. Условие теоремы Биркгофа еще не гарантирует устойчивости по Ляпунову положения равновесия гамильтоновой системы. В бесконечно дифференцируемом случае контрпример приведен в работе [151]. Для аналитических гамильтоновых систем контрпример пока отсутствует. [c.126]

Общим эллиптическим случаем называют случай, когда среди постоянных Са,.. . , с есть отличная от нуля. Согласно Арьольду и Мозеру [2, 3, 72], в общем эллиптическом случае положение равновесия х — у = О системы (3.1) устойчиво по Ляпунову. [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...