Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая

Непосредственной проверкой можно убедиться, что положение равновесия Х = Х2 = О системы (1.1.10) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво в целом по отношению к одной из переменных. А именно, в случае A i > О, Ь < О область начальных возмущений делится на 3-и части [c.32]

Тогда управления (2.4.6) гарантируют устойчивость по Ляпунову и асимптотическую у-устойчивость невозмущенного движения х = О исходной нелинейной системы (2.4.5). [c.129]

Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая. [c.27]

Равновесие х = О называют асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, выполняется условие [c.95]

Невозмущенное движение и(/) называют асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и все возмущенные движения п(0> удовлетворяющие условию [c.458]

Тогда невозмущенное движение у = О, z = О нелинейной системы (2.2.13) также равномерно устойчиво по Ляпунову и одновременно) экспоненциально асимптотически у-устойчиво. [c.116]

Таким образом, на всем промежутке времени, в течении которого выполняется условие (2.2.31), имеют место неравенства (2.2.36). Поскольку е < Д то неравенства (2.2.36) справедливы при всех / > to. Следовательно, невозмущенное движение у = О, z = О нелинейной системы (2.2.13) равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически у-устойчиво. [c.117]

Доказательство. Рассмотрим линейную подсистему, описывающую поведение у-переменных линейной части системы (3.2.3). При ВфС эта подсистема полностью управляема на основании теоремы 2.5.1. Поэтому коэффициенты вектора Ь в (3.2.4) можно выбрать так, что нулевое решение у = О, г, = О линейной части системы (3.2.3) равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически у-устойчиво. [c.180]

Каким условиям должны удовлетворять непрерывные функции фг(ж) и 1/г(ж) (г = 1, 2), чтобы нулевое решение х = у = = О системы X = (р1 х)щ у), у = Ф2( ) 2(2/) было а) неустойчиво б) устойчиво по Ляпунову в) асимптотически устойчиво. [c.287]

Определение 5. Решение х = О уравнений (1.1) называется асимптотически устойчивым равномерно по времени о и координатам начальных возмущений Xq из области G, если решение х =0 устойчиво по Ляпунову и если для любого числа т) >- О можно указать такое число Т (г]), что выполняется неравенство [c.19]

Так как здесь точками обозначены члены третьей степени и выше, ТО нетрудно показать обычным путем, что ф(гг,, имеет максимум или минимум в начале координат в зависимости от знака а . Повторяя в точности рассуждения, которые мы приводили в случае действительных корней, имеющих одинаковые знаки, мы найдем, что в случае (< 0 состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и даже асимптотически устойчиво, а в случае 1 0 состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову. В обоих случаях достаточно малые окружности вблизи начала служат циклами без прикосновения. При переходе к плоскости ц это семейство окружностей превратится в семейство эллипсов без контакта, в которые интегральные кривые входят или выходят в зависимости от знака а . [c.315]

Таким образом, асимптотическая устойчивость решения Х = О означает одновременное выполнение двух условий условия устойчивости по Ляпунову и условия (1.7). Подчеркнем, что одного предельного условия [c.27]

Если при t oo мера f Q, то процесс называется асимптотически устойчивым. Как видим, по Ляпунову, устойчивость движения рассматривается на бесконечном интервале времени при возмущениях, действующих только в начальный момент времени U. Очевидно, что любое движение, не обладающее устойчивостью, по Ляпунову, на бесконечном интервале времени, будет удовлетворять определению Ляпунова на конечном интервале времени Т и этот интервал можно сделать сколь угодно большим соответствующим выбором е и б. [c.320]

Этот пример наводит на мысль, что и в общем случае асимптотическая устойчивость в орбитальном смысле влечет за собой устойчивость по Ляпунову. Эта точка зрения находит подтверждение в том, что скорость возрастания сдвига времени f — t ъ первом приближении пропорциональна величине <р (г о 6) — ф (г а) , которая в свою очередь убывает по экспоненциальному закону. [c.479]

Именно, пусть метрика ро( о) задаёт расстояние в пространстве нач. возмущений п. а метрика р( ) — в пространстве текущих возмущений В обычных предположениях ро(4)>р( [говорят, что метрика ро жёстче (сильнее), чем метрика р]. Задача Коши для ур-ння (1) наз. корректной по Адамару, если для любого /е [О, Т], Г<ос, из Ро(4о)- 0 следует р( )- 0. Солитонное решение и наз. устойчивым в смысле Ляпунова по метрикам ро, р, если для всякого е>0 существует 6(s)>0, такое, что из ро(4о)<5 вытекает неравенство р(4)<е нри >0. Т. о., корректность по Адамару — это устойчивость на конечном интервале времени Т. Наконец, решение и асимптотически устойчиво по Ляпунову, если оно устойчиво и р( )- 0 при - оо. [c.257]

Пусть уравнения нелинейной системы отличаются от линеаризованных уравнений нелинейными членами, которые являются непрерывными и дифференцируемыми функциями фазовых переменных и времени. Если положение равновесия линейной системы асимптотически устойчиво, то равновесие нелинейной системы будет устойчиво по Ляпунову независимо от нелинейных членов. [c.96]

Таким образом, асимптотическая устойчивость включает в себя как устойчивость по Ляпунову, т.е. малость отклонений от невозмущенного движения при любых f>tQ, так и асимптотическое приближение всех возмущенных движений к невозмущенному при (рис. 7.1.1, б). [c.458]

Если Рз О, то правая часть будет положительной и, следовательно, х(0 —> при t—>o . Решение х(/)Ы) будет неустойчивым по Ляпунову. Если Рг<0, то это решение асимптотически устойчиво. В линейном приближении правые части уравнений не зависят от параметра Р2, а матрица 6 имеет чисто мнимые характеристические показатели А.] 3 = +з Р . Нулевое решение линейной системы устойчиво по Ляпунову. Следовательно, суждение об устойчивости решений нелинейной системы по уравнениям первого приближения не всегда приводит к верным выводам. [c.459]

В частности, показано [Карапетян, 1981], что в задаче устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали кельтских камней, движущихся на абсолютно шероховатой поверхности, возникает интересное явление частичной асимптотической устойчивости несмотря на отсутствие активных диссипативных сил имеет место не только устойчивость по Ляпунову, но и асимптотическая устойчивость по части переменных. Асимптотически устойчивые переменные являются основными для данной задачи и характеризуют отклонение оси вращения тела от вертикали. Подобного явления не возникает при движении на абсолютно гладкой поверхности. [c.27]

В случае y-ASt, кроме того, решение х(0 будет асимптотически приближаться к оси f-цилиндра (рис. 1.2.1). (Случай, когда решение t) при всех t> to будет оставаться внутри -сферы и даже, кроме того, будет асимптотически приближаться к точке х = О, не исключается из рассмотрения в этом случае невозмущенное движение соответственно устойчиво и асимптотически устойчиво по Ляпунову.) [c.45]

Условия устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных. Введение уравнения сравнения позволяет свести анализ ЧУ-задачи для исходной системы (1.2.1) к анализу устойчивости по Ляпунову нулевого решения этого уравнения. [c.87]

При этом для у-устойчивости асимптотической у-устойчивости) системы (2.2.2) необходимо и достаточно чтобы -система была устойчива (асимптотически устойчива) по Ляпунову. [c.101]

Устойчивость и асимптотическая устойчивость по части переменных являются достаточно тонкими свойствами системы (1.2.1). Необходимая стабильность таких свойств, в отличие от свойства равномерной асимптотической устойчивости по Ляпунову, определяется большим числом факторов. [c.119]

Задача 2.4.1 [Воротников, 1990, 1998]. Найти управления и = и(/, х) Ц такие, что невозмущенное движение у] = у2 = г = О системы (2.4.5) асимптотически (у , у- -устойчиво и устойчиво по Ляпунову. [c.128]

В случае равномерной асимптотической устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы (2.6.2) имеет место равномерная устойчивость этого решения при малых ПДВ. Это значит, можно выбрать числа <5i(e) > О и 62(e) > О, для которых из II Zo II < 1 и R(/, у, z) < O2, II Z II < е следует z(/ /о, уо, Zo) < е при всех t > to. [c.147]

Решение х = ф 1) называется устойчивым по Ляпунову, если устойчивым по Ляпунову будет это положение равновесия. Аналогичное определение имеет место и для асимптотической устойчивости. [c.155]

Более точно, справедлив следующий результат [Воротников, 1986а, 1991а, 1998] если В < А < С С < А < В), 10 положение равновесия х, = О, / = 1,3 системы (1.1.8), (1.1.9) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво по двум из трех перемен- [c.31]

Показано [Rou he и др., 1977], что положение 1) неустойчиво, положение 2) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво по Х в целом при р > О, а положение 3) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво похг в целом при р<0. [c.42]

Формируя м и Мз в виде линейной обратной связи по переменным > 21, >22, >2ь > 22 и используя схбму докэзательств теоремы 2.4.2 заключаем, что нулевое решение замкнутой системы (2.4.11), (2.4.12) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво ПО ) 11,>12,>2Ь>22- [c.132]

Данная задача решается [Петров и др., 1980 Колмановский, Носов, 1981 Мирошник и др., 2000] как ЧУ-задача об устойчивости по Ляпунову и одновременно асимптотической устойчивости по одной из групп переменных (характеризующих указанное фазовое рассогласование) нулевого решения соответствующей системы возмущенного движения. [c.35]

Четыре наиболее типичных случая расположения характернстическнх корней на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной системы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при е > О, устойчиво по Ляпунову при е = О и неустойчиво при е < 0. [c.95]

Движение, устойчивое по Ляпунову, в фазовом пространстве можно представить следующим образом изображающая точка О, начав свое движение из точки G , расположенной внутри или на поверхности сферы радиуса I S, все время остается внутри сферы радиуса (/ е, т. е. фазовая траектория, начинающаяся внутри сферической области радиуса (/б, никогда не достигает сферы радиуса (рис. 9). Если движение асимптотически устойчиво, то любая траектория, начинающаяся в сферической области радиуса б, неограниченно стремится к началу координат, ие выходя за границу сферы радиуса /е. Еслн двил<ение неустойчиво, то внутри области радиуса )/б всегда найдется такая точка G , что фазовая траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное время достнгнег сферы радиуса /е. [c.34]

Сделаем следующее замечание относительно начального момента времени 1о- Если невоз-мущенное движение и(/) устойчиво по Ляпунову для какого-нибудь фиксированного / з, то оно будет устойчивым по Ляпунову для любого Поэтому можно ограничиться проверкой устойчивости и асимптотической устойчивости лишь для некоторого заданного момента го. [c.458]

При исследовании устойчивости нулевого решения у = О, АК = О нелинейной системы (1.1.14), (1.1.15) показано [Петров и др., 1980], что это решение не только устойчиво по Ляпунову, но и асимптотически у-устойчиво в целом. Указанное обстоятельство обеспечивает стабилизацию исходной системы по отношению к фазовым переменным у в классе самонастраивающихся регуляторов. Отметим, что выбранная F-функция (1.1.16) удовлетворяет условиям теоремы типа Марачкова об асимптотической у-устойчивости [Peiffer, Rou he, 1969]. [c.37]

При этом, однако, как и в случае ЛСПК, размерность вспомогательной ц-системы не превышает размерности исходной системы, а ЧУ-задача для исходной системы эквивалентна задаче устойчивости (асимптотической устойчивости) по Ляпунову либо этой же системы, либо ц-системы меньшей размерности. (Понятие устойчивости по Ляпунову в случае разрывности вспомогательной системы соответствующим образом уточняется.) [c.104]

Поскольку 0(е, iq) О при to -ню, то положение равновесия х = х = О уравнения (2.2.11) обладает следующим свойством полиустойчивости оно устойчиво (неравномерно) по Ляпунову и экспоненциально асимптотически устойчиво по х. [c.109]

Условия асимптотической устойчивости по Ляпунову вспомогательной линейной системы (2.2.18) являются необходгшьши и достаточнъши условиями асимптотической у-устойчивости нулевого решения нелинейной подсистемы (2.2.17). [c.113]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...