Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [c.82]

Оптимизация параметров рессорного подвешивания. Далее возникает задача об определении таких значений параметров механической системы, при которых степень ее устойчивости будет наибольшей. В соответствии с теоремой Ляпунова об устойчивости по первому приближению, нужно, чтобы было выполнено условие = max ReX < 0. Величина в таком случае определяет запас устойчивости системы. Эта величина непрерывно зависит от параметров а , а ,. ... системы, которые рассматриваются как независимые переменные, а величина — как функция этих переменных [27]. [c.405]

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению рассматриваемых систем [c.40]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Пусть для системы [c.165]

Из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению следует, что необходимое условие устойчивости стационарных решений системы (4) состоит в неотрицательности всех коэффициентов характеристического уравнения [c.191]

Будем, пользоваться следующими теоремами Ляпунова об устойчивости по первому приближению [49], которые приводим здесь без доказательства. [c.25]

Таким образом, уравнение (3.6), рассматриваемое как квадратное относительно А. , имеет один положительный корень и один отрицательный. Следовательно, для каждой прямолинейной точки либрации (к = 1, 2, 3) характеристическое уравнение (3.6) имеет четыре корня вида а, ф, где аир— вещественные величины, отличные от нуля. Отсюда, согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, следует неустойчивость прямолинейных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел. [c.26]

Если же выполнено неравенство О <27 х (1 — р,) <1, то уравнение (3.8) имеет четыре различных чисто мнимых корня и ТОЧКИ либрации устойчивы в первом приближении. Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости ПО первому приближению строгое решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.27]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ. Заключения об устойчивости, сделанные на основании исследования линеаризованных уравнений возмущенного движения системы, не всегда остаются в силе для исходной (неупрощенной) системы. Устойчивость или неустойчивость последней определяется во многих случаях как раз отбрасываемыми при линеаризации нелинейными членами. Рассмотрим, например, задачу об устойчивости невозмущенного состояния системы [c.441]

С помощью второго метода Ляпунов получил необходимые и достаточные условия, при которых вопрос об устойчивости состояния равновесия исходной нелинейной системы (1.1) решается рассмотрением корней характеристического уравнения (1.35) линеаризованной системы (1.34). Именно, справедливы следующие теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.39]

Теорема об устойчивости по первому приближению. Один из основных результатов, полученных Ляпуновым при решении задачи об устойчивости по первому приближению, можно сформулировать в виде следующей теоремы. [c.529]

Если воспользоваться известной теоремой А. М. Ляпунова [38] об устойчивости по первому приближению, то можно сделать вывод об устойчивости невозмущенного состояния нелинейной системы, если устойчивы состояния, описываемые линеаризованными уравнениями в вариациях. Такой вывод вполне законен и правомерен для малых окрестностей тех точек, которые характеризуются значениями параметра интенсивности внешней нагрузки [c.154]

Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению, если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмуш нное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости. [c.73]

Полученное условие устойчивости справедливо не только для линейных, но и для линеаризованных уравнений независимо от членов выше первого порядка малости. В этих случаях говорят об устойчивости движения по первому приближению (теорема Ляпунова) . Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней линеаризованного уравнения требуется дополнительное исследование устойчивости. [c.86]

Во второй — пятой главах рассмотрены задачи теории гамильтоновых систем и ее приложений. Вторая глава посвящена линейным гамильтоновым системам. Приводятся результаты Ляпунова об устойчивости линейных гамильтоновых систем с постоянными или периодическими коэффициентами. Для устойчивых систем в случае простых корней характеристического уравнения строятся конструктивные алгоритмы приведения системы к нормальным координатам. Тут же приводится теорема Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем и рассматривается задача о параметрическом резонансе в гамильтоновых системах, содержащих малые периодические возмущения. В последнем параграфе второй главы получены области параметрического резонанса в первом приближении по малому параметру и приведены необходимые расчетные формулы. [c.11]

Нелинейная система. Все предыдущие рассмотрения относились к линейной системе. Положим теперь, что линейная система имеет смысл первого приближения некоторой истинной нелинейной системы. Суждение об устойчивости последней по результатам анализа соответствующих линеаризованных уравнений основывается на следующих теоремах. Ляпунова 1). [c.433]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Линейные уравнения тина (1) обычно получают путем линеаризации более полных и точных нелинейных уравнений. Ответ на вопрос, при каких условиях выводы об устойчивости равновесия линеаризованной системы могут быть отнесены к соответствующей не-лингннон системе, дае1 шорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.95]

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого-порядка в функциях Xs- Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) Psr = onst и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для произвольного числа > О, как бы мало оно ни было, функции Х могут быть стеснены неравенствами j < Я, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Хд. [c.51]

В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключением двух значений параметра [г, при которых имеет место неустойчивость. Эти значения и [Хг соответствуют резонансам сох = Зсоа и (01 = 3(02 между частотами линейной системы. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...