Теоремы Ляпунова (об устойчивости

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [c.82]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 37 [c.37]

Функция F — — s -s удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (она определенно-положительна и ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения тождественно равна нулю (см. 2.2)), что доказывает теорему. [c.183]

Устойчивость будет иметь место, если существует определенно положительный инвариант (следствие теоремы Ляпунова об устойчивости). [c.360]

Раус рассматривал вопрос не вполне так, как излагают авторы, а основная теорема Рауса об устойчивости движения голономной консервативной системы есть частный случай теоремы Ляпунова об устойчивости движения. [c.424]

Теоремы Ляпунова об устойчивости 358, 386, 391, 401, 423—425 [c.431]

Если постоянные fij удастся выбрать так, чтобы функция V была определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения. При этом в тех случаях, когда первые интегралы Uj (j = 1, 2,..., к) могут быть найдены из каких-либо общих соображений (например, при помощи основных теорем динамики), отпадает необходимость составления самих уравнений возмущенного движения, что существенно упрощает исследование. [c.519]

Из знакоопределенности функции V и неравенства (1) на основании теоремы Ляпунова об устойчивости получаем, что положение равновесия устойчиво. Для доказательства асимптотической устойчивости теперь достаточно убедиться в том, что если начальная точка траектории взята достаточно близко к началу координат qi = О, = О, то при t 00 имеем О, О для всех г = 1, 2,..., п. [c.536]

Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению, если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмуш нное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости. [c.73]

Оптимизация параметров рессорного подвешивания. Далее возникает задача об определении таких значений параметров механической системы, при которых степень ее устойчивости будет наибольшей. В соответствии с теоремой Ляпунова об устойчивости по первому приближению, нужно, чтобы было выполнено условие = max ReX < 0. Величина в таком случае определяет запас устойчивости системы. Эта величина непрерывно зависит от параметров а , а ,. ... системы, которые рассматриваются как независимые переменные, а величина — как функция этих переменных [27]. [c.405]

Неавтономные системы. В этом случае функции Ляпунова так же, как и правые части уравнений возмущенного движения (22), явно зависят от времени. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости ие меняется, но в условия теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции V (t, х). [c.38]

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению рассматриваемых систем [c.40]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Этим доказана теорема Ляпунова об устойчивости движения. [c.575]

Доказательство этой теоремы может быть получено как простое следствие теоремы Ляпунова об устойчивости движения (см. литературу, цитируемую на стр. 456). [c.457]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Пусть для системы [c.165]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Теорема 2.4. (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует знакоопределенная функция К(х), для которой производная в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с У, или тождественно обращается в нуль, ТО невозмущенное движение устойчиво. [c.85]

Если постоянные А, и Xj удастся подобрать таким образом, что функция V будет определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (так как V = onst является также интегралом уравнений возмущенного движения). [c.56]

Дока.чанfri.ie две теоремы. Ляпунова об устойчивости по первому 1грибли кению решают задачу в двух случаях [c.104]

Учтем теперь, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия П имеет минимум (см. замечания в конце 3.2). Поэтому функция Г -f- П будет определенно-положительной относительно совокупности координат д - и скоростей (см. дока.штельство теоремы Лагранжа 3.1). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова об устойчивости движения ( 2.2). [c.173]

Первое условие устанавливает пределы для крутизны к характеристики устройства, создающего ускоряющий момент, второе условие определяет нижнюю границу кинетического момента Я. Так как при выполнении условий (6.78) все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, то на основании первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому ггриближению однорельсовый вагон асимптотически устойчив независимо от членов высшего порядка V и 0. [c.182]

Наиболее простое доказательство теоремы Лагранжа получается из общей теоремы Ляпунова об устойчивости если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво. Доказательство этой теоремы Ляпунов дал в сочинении Общая задача об устойчивости движения (стр. 61) ). [c.237]

Основная теорема Ляпунова об устойчивости если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной [c.245]

Теорема Ляпунова об устойчивости движения. В этом параграфе рассмотрены теоремы, составляющие основу прямого мето- [c.517]

Решение задачи об устойчивости невозмущенного движения (ему отвечает решение qj = = О (j = 1, 2,..., п) системы (1)) зависит от свойств функции Гамильтона. Очень просто вопрос об устойчивости решается в том случае, когда время t не содержится в уравнениях (1), а функция Н является знакоопределенной в окрестности точки qj = Pj = О (j = 1, 2,..., n). В этом случае функция Н будет интегралом системы (1) и невозмущенное движение устойчиво. Этот вывод непосредственно следует из теоремы Ляпунова об устойчивости для применения этой теоремы в качестве функции Ляпунова V можно принять функцию Н. [c.543]

V = Ri — R2) + является интегралом системы (51), который, как нетрудно видеть, будет знакоопределенным по переменным Ri и R2, если неравенства (52) не выполняются. Следовательно, согласно теореме Ляпунова об устойчивости, система (51) устойчива по отношению к переменным i i, R2. Утверждение о неустойчивости следует из существования при выполнении неравенств (52) неограниченно растущего со временем частного решения системы (51) [c.558]

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Линейные уравнения тина (1) обычно получают путем линеаризации более полных и точных нелинейных уравнений. Ответ на вопрос, при каких условиях выводы об устойчивости равновесия линеаризованной системы могут быть отнесены к соответствующей не-лингннон системе, дае1 шорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.95]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и первая теорема о неустойчивости допускают простую геометрическую интерпретацию. Если V и ее производная V — знакоопределенные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчивости), то изображающая точка, движущаяся по фазовой траектории, пересекает каждую из поверхностей V (х) = С снаружи внутрь (рис. II, а), так как функция V [c.37]

При выполнении условий теоремы Ляпунова об устойчивости изображающая точка может двигаться по поверхности уровня V (х) = С (рис. 11,5), оставаясь в заданной окрестности начала координат. Если выполняются условия первой теоремы о неустойчивости, то изображающая точка при своем движении может пересекать noBepxHO Tir V (х = С изнутри нарум<у, удаляясь от начала координат (рис. 11,й). [c.38]

Теоремы Ляпунова об устойчивости автономных систем по первому приближеиию [c.39]

Замечание 1. Если в (190) > О, то устойчивость поло- кения равновесия следует непосредственно из классической теоремы Ляпунова об устойчивости [176], в которой в качестве функции Ляпунова берется знакоонределенный интеграл Ц = onst. [c.236]

Понятие функции, знакоопределенной по части переменных. Для обобщения теоремы Ляпунова об устойчивости на случай ЧУ-задачи введено понятие F-функции, знакоопределенной по отношению к части переменных. [c.68]

Обобщение теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. В 70-х годах XX столетия А.С. Озиранер [1973] и В.П. Прокопьев 1975] инициировали изучение возможностей переноса фундаментальных результатов Ляпунова [1892] об устойчивости по линейному приближению на случай ЧУ-задачи. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...