Устойчивость движения периодического (по Ляпунову)

Задача. Рассмотрим периодическое движение по замкнутой фазовой кривой, соответствующей уровню энергии Е. Устойчиво ли оно по Ляпунову [c.25]

Для периодических движений понятия устойчивости по Ляпунову и орбитной устойчивости различаются. Периодическое движение х = х (t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого е> О можно [c.16]

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ. Периодические колебания л = х (/) называются устойчивыми по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого е >0 можно указать такое 7 (е)> 0. что для всякого другого движения х = х-( ), для которого <77, при всех t>t(, выполняется неравен- [c.74]

Траектории этого движения устойчивы по Ляпунову. Рассмотрим, например, периодическую орбиту г = а, 0 = i, проходящую через начальную точку а, 0). Через близкую к ней точку (а + 6i, 62) будет проходить орбита [c.477]

В возмущенном движении при г оо г а, так что расстояние между изображающими точками на спиральной орбите и на круговой орбите непрерывно убывает и стремится к пределу 2а sin - - да . Периодическая орбита устойчива по Ляпунову, и мы мо-Л [c.477]

Пользуясь своим вторым методом, А. М, Ляпунов решил задачу об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого порядка в функциях Хд", в решении этой задачи он видел свое главное достижение. Случаи, когда первое приближение не решает вопроса об устойчивости, названы Ляпуновым критическими. В некоторых из критических случаев установившихся движений, а именно, в случаях одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней и двух нулевых корней характеристического уравнения, а также в некоторых случаях периодических движений Ляпунов дал решение задачи об устойчивости. В замечательной работе Ляпунова общая теория дифференциальных уравнений получила существенное развитие. [c.10]

Подверглась также большой переработке часть X Качественная небесная механика . В ней расширена теория устойчивости движения, в частности, приведены формулировки теорем Ляпунова, включены новые параграфы, посвященные методу разделения переменных, намного подробнее изложена теория периодических и условно-периодических решений в приложении к задачам небесной механики, добавлены новые результаты по устойчивости лагранжевых решений задачи трех тел. [c.18]

Теперь обсудим специфические для стационарных режимов определения устойчивости. Сразу заметим, что стационарный режим из-за наличия близких к нему иных стационарных режимов, в отличие от равновесий, никогда не бывает асимптотически устойчивым. Он может быть устойчивым по Ляпунову в случае систем с диссипацией (общего положения), когда его траектория асимптотически устойчива. В случае консервативных систем, когда траектории стационарных режимов не изолированны (заполняют целые подмногообразия в фазовом пространстве), устойчивость по Ляпунову возможна, но лишь как редкое исключение. Действительно, если начальное возмущение приводит к смежному стационарному режиму (с другой траекторией), то требуется, чтобы выполнялось некоторое условие изохронности этих стационарных движений. Например, когда они периодические, нужно, чтобы при таком возмущении период не изменялся. В ином случае возмущенные движения за конечное время разойдутся на расстояние порядка диаметра траектории. В ситуации общего положения это и происходит. Поэтому в общей теории естественны иные определения устойчивости. [c.251]

Имеет место соответствие не только между периодическими движениями и неподвижными точками преобразования Т, но и соответствие между их устойчивостями. Именно, чтобы периодическое движение было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы была устойчивой соответствующая неподвижная точка преобразования Т. [c.108]

Ясно, что по отношению к возмуш ениям координат и импульсов, соответствуюш их периодическим движениям, эти движения будут неустойчивы по Ляпунову, так как их период зависит от начальных условий (величина е в выражении для периода (2.4) зависит от начальных условий). Однако представляет интерес задача об орбитальной устойчивости. [c.209]

Периодические движения в консервативной системе будут устойчивы по Ляпунову только в специальном случае, когда имеет место изохронизм, т. е. когда период обращения один и тот же для различных траекторий. Но и в этом случае мы не будем иметь абсолютно устойчивых замкнутых траекторий, т. е. таких траекторий, к которым представляющая точка после достаточно малого возмущения будет снова асимптотически приближаться. Этот тип траекторий в консервативных системах с одной степенью свободы вообще невозможен. [c.150]

См. также определение устойчивости периодического движения по Ляпунову в гл. V, 6, 7, где изложены аналитические методы исследования устойчивости, правда, пригодные лишь для неконсервативных систем. [c.150]

С ним мы столкнемся только при рассмотрении неконсервативных систем. Хотя, как мы только что видели, периодические движения в консервативных системах, вообще говоря, неустойчивы по Ляпунову, однако они все же обладают некоторым видом устойчивости. Именно — достаточно близкая траектория всегда лежит целиком в непосредственном соседстве с рассматриваемой. Такой вид устойчивости носит название орбитной устойчивости эта устойчивость играет существенную роль в общей теории поведения интегральных кривых. [c.151]

Если мы потребуем, чтобы в реальных физических системах качественный характер возможных движений сохранялся при произвольных малых изменениях самих систем (на языке математики — при произвольных малых изменениях правых частей системы (5.1)), то, как это мы увидим в дальнейшем, мы этим запретим существование неизолированных замкнутых кривых. В системах, удовлетворяющих этому требованию устойчивости качественного характера движений при малых изменениях динамической системы, — в так называемых грубых системах, — могут быть только изолированные замкнутые траектории (только предельные циклы) и притом обязательно с характеристическим показателем, отличным от нуля (поэтому орбитная устойчивость предельного цикла влечет за собой устойчивость по Ляпунову всех соответствующих ему периодических движений). [c.327]

Остальные интегральные кривые не будут замкнутыми — это будут спирали, мало отличающиеся от окружностей, если л. достаточно мало. Как мы видели, периодические движения, соответствующие изолированным замкнутым интегральным кривым — предельным циклам Пуанкаре, — будут устойчивы (и орбитно и по Ляпунову), если выполнено неравенство [c.718]

СЛЕДСТВИЕ 1.24. Замыкание траектории пакта периодического движения /(р, /) устойчиво по Ляпунову относительно [c.97]

СЛЕДСТВИЕ 2.24. Для устойчивого по Лагранжу почти периодического движения / р, имеет место равномерная устойчивость по Ляпунову множества Ер относительно Ър. [c.97]

СЛЕДСТВИЕ 3.24. В полном пространстве минимальное множество 2 почти периодических движений равномерно устойчиво по Ляпунову относительно 2. [c.97]

СЛЕДСТВИЕ 5.24. Если движение /(/ , t) устойчиво по Лагранжу, а Ер устойчиво по Ляпунову относительно Ер, то движение / р, П) почти периодическое. [c.100]

ТЕОРЕМА 6.25. Если движение / р, t) устойчиво по Лагранжу в положительном направлении, а / р, /+) разно-мерно устойчиво по Ляпунову в положительном направлении относительно Др, /+), то Яр является минимальным множеством почти периодических движений. [c.108]

Так как период колебаний нелинейной консервативной системы, изображаемых на фазовой плоскости замкнутыми траекториями, не один и тот же, а зависит от начальных условий, то две изображающие точки, начавшие свои движения, например от оси Оу, одновременно по двум близким траекториям, с течением времени отойдут одна от другой на конечное расстояние. Вследствие этого периодические движения консервативных систем нельзя, строго говоря, считать устойчивыми по Ляпунову. Но они обладают орбитальной устойчивостью, выражающейся л том, что при весьма малом изменении начальных условий возмущенное периодическое движение изображающей точки переходит на другую траекторию, сколь угодно близкую к первоначальной (невозмущенной). [c.482]

Таким образом, в рассмотренных двух случаях задача об устойчивости периодического невозмущенного движения решается полностью рассмотрением только уравнений первого приближения, т. е. системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. А задача об устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами, как было указано выше, приводится к определению характеристических показателей, которые всегда могут быть вычислены, по крайней мере приближенно, с помощью рядов Ляпунова. [c.112]

Для исследования устойчивости периодического движения х = f (t),y = (t) в смысле Ляпунова можно, как показал Ляпунов, идти по пути линеаризации уравнений, подобно тому, как мы это делали при исследовании устойчивости состояний равновесия. Если положить д = ср ( ) -[- , у = a (О + у], подставить эти выражения в уравнения (5.1), разложить правые части этих уравнений — функции Р(ср-[- , i + 1]) и Q( f + , + — в ряды ПО степеням 5 и и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейные уравнения ( уравнения первого приближения ) для координат возмущения и [c.326]

В рассматриваемой задаче (в силу автономности исходной системы уравнений (5.1)) один из характеристических показателей равен нулю, а другой равен h [185]. Знак этого показателя определяет, устойчиво ли движение [8], именно периодическое движение устойчиво в смысле Ляпунова (правда, не абсолютно, так как возмущения по фазе не затухают), если Л <с О, и неустойчиво, если /г 0 если же h = 0, то уравнения первого приближения не решают вопроса об устойчивости периодического движения. [c.327]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Основное внимание в кпиге уделено наиболее эффективным методам исследования устойчивости движения — прямому методу Ляпунова и исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости дви>кения по структуре действующих сил, устойчивости движения неавтономных систем, в том числе систем, возмущенное движение которых описывается линейными дифференциальными уравиениями с периодическими коэффициентами. [c.7]

Дастся изложение основ теории усхойчпвоети движения, базирующееся на общем курсе высшей математики для втузов. Основное внимание уделено наиболее эффективным методам иссл< дова-ния — прямому методу Ляпунова, исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения и частотным методам. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости движения но стру -туре действующих сил, устойчивости неавтономных систем, в тол числе систем с периодическими коэффициентами, и систем автоматическою регулирования. [c.2]

В случае либрационного движения период возмущенного движения (которое также является периодическим) в общем случае отличается от периода невозмущенного движения, так что х t а + Ь) — х (/ а) не может все время оставаться малым, и, стало быть, и ф (г а + 6) — ф (< а) не будет малым. В других, менее простых случаях (например, в ограниченной задаче трех тел, см. гл. XXVIII) лишь очень немногие характеристики оказываются устойчивыми по Ляпунову. [c.478]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

Из результатов Я. Курцвейля (1956) и X. Массера (1956) следует, что если невозмущенное движение (периодическое или установившееся) асимптотически устойчиво, то существует функция Ляпунова, которая обладает всеми свойствами из теоремы II Ляпунова и имеет ограниченные частные производные по переменным х , т. е. удовлетворяет всем условиям теоремы Малкина. Отсюда сразу следует, что для устойчивости устайо- [c.52]

Никакого вывода о поведении незамкнутых фазовых кривых на бесконечном интервале времени (например, об устойчивости исходной периодической траектории по Ляпунову) из наших рассуждений не вытекает, так как отброшенные при приведении к нормальной форме члены высокой степени могут за бесконечное время совершенно изменить характер движения. В действительности в рассматриваемых условиях исходная периодическая траектория устойчива по Ляпунову, но док Сзательство требует существенно новых соображений по сравнению с нормальной формой Биркгофа (см. добавление 8). [c.365]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмуш енного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам. [c.209]

Периодическому движению соответствует движение представляющей точки по определенной замкнутой фазовой траектории. Окружим эту точку некоторой малой областью е, которая движется вместе с представляющей точкой. Если при заданной сколь угодно малой области г мы можем указать такую область 8 (г), что всякая представляющая точка, лежащая в начальный момент в этой области 8 (г), никогда не выйдет за пределы области е, то рассматриваемое движение устойчиво по Ляпунову. Более наглядно мы можем сформулировать это условие устойчивости следующим образом. Пусть движение подверглось некоторому возмущению — система испытала некоторый мгновенный толчок в произвольном направлении. Тогда представляющая точка сместится и будет продолжать движение уже по некоторой другой траектории. Представим себе, что при этом толчке представляющая точка почернела (рис. 101). Тогда исходное невозмущенное движение, устойчивость которого мы исследуем, т. е. движение, которое происходило бы, если бы не было толчка, будет изображаться движением светлой представляющей точки, а движение после толчка — возмущенное, изображается движением черной представляющ ей точки. [c.149]

Эти следствия содержат условия, при которых из почти периодичности /(/>, i) вытекает простая или равномерная устойчивость по Ляпунову. Следует, однако, отметить, что даже из равномерной устойчивости Л множества Ер не вытекает почти периодичность /(/>, i). Так, в случае равномерного движения по прямой (пример 5.6) Ер равномерно устойчиво по Ляпунову относительно Ер, однако /(/>, ) не являзтся почти периодическим (так как оно не стойчиво по Пуассону). [c.98]

Частичная упорядоченность группы G позволяет довольно легко перенести на эти динамические системы все основные понятия, рассмотренные в предыдущих главах. Например, можно ввести понятия (u(a)-предельных точек, движениП, устойчивых по Пуассону, рекуррентных, почти периодических движений, движений, устойчивых по Ляпунову. [c.127]

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, Стационарные состояния дви жения нелинейных систем осуществляются обычно в виде или со стояний устойчивых периодических колебательных движений, ил1 устойчивых равновесных состояний, которые можно считать такз периодическими движениями с периодом, равным оо. Но наряду ( устойчивыми периодическими движениями в нелинейных систе мах возможны и неустойчивые периодические движения. Толью устойчивые состояния осуществляются в действительности, и толь ко такие состояния могут иметь практический интерес. Понятн поэтому, какое большое значение имеет установление признано устойчивости периодических движений нелинейных систем. Ив да самое нахождение периодических движений является решение некоторой задачи на устойчивость, как это имеет место, например в нелинейных системах Ляпунова Именно по этим соображе ниям учению о нелинейных колебаниях предпосылается кратко введение в теорию устойчивости движения. [c.380]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...