Ляпунова второй об устойчивости по первому

Эта теорема есть частный случай первой теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости. Для доказательства ее необходимо привлечь рассуждения, примененные Ляпуновым при изложении им второго метода. См. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, 1950, стр. 77 и сл. [c.423]

Свою первую работу по устойчивости движения Ляпу-щов напечатал в 1888 г. в Сообщениях Харьковского математического общества . Это была статья О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости . Вопрос об устойчивости постоянных винтовых движений, как писал в этой статье Ляпунов, представляет хороший пример для общей теории устойчивости движения. В 1889 г. Ляпунов напечатал вторую статью на эту тему — Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах . [c.248]

Пользуясь своим вторым методом, А. М, Ляпунов решил задачу об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого порядка в функциях Хд", в решении этой задачи он видел свое главное достижение. Случаи, когда первое приближение не решает вопроса об устойчивости, названы Ляпуновым критическими. В некоторых из критических случаев установившихся движений, а именно, в случаях одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней и двух нулевых корней характеристического уравнения, а также в некоторых случаях периодических движений Ляпунов дал решение задачи об устойчивости. В замечательной работе Ляпунова общая теория дифференциальных уравнений получила существенное развитие. [c.10]

Перейдем теперь ко второму классу, т, е. пусть первое приближение имеет два нулевых характеристических числа, а вещественные части остальных — отрицательные. Этот сомнительный случай резко отличается от всех предыдущих, так как мы не имеем здесь исчерпывающего анализа проблемы устойчивости нулевого решения. Ляпунов здесь получил следующие результаты. Полагая ), после некоторого преобразования, [c.77]

Сам А. М. Ляпунов предложил два метода решения задачи об устойчивости, которые он назвал соответственно первой методой и второй методой . [c.75]

Общая теория устойчивости движения, созданная А. М. Ляпуновым, была предметом его докторской диссертации ). А. М. Ляпунов предложил два метода исследования устойчивости движения. К первому он отнес совокупность всех способов исследования устойчивости, в основании которых лежит разыскание общих или частных решений дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде бесконечных рядов. Ко второму методу были отнесены все те способы, которые основываются на построении некоторых функций времени и переменных, определяющих состояние движения системы, и не требуют разыскания решений дифференциальных уравнений возмущенного движения. Функции, применяемые во втором методе, получили название функций Ляпунова. Основная идея второго (часто говорят —прямого) метода Ляпунова состоит в качественном исследовании поведения интегральных кривых системы дифференциальных уравнений возмущенного движения по отношению к некоторым поверхностям, которые могут либо меняться с течением времени, либо являются неподвижными интегральными поверхностями. [c.429]

С помощью второго метода Ляпунов получил необходимые и достаточные условия, при которых вопрос об устойчивости состояния равновесия исходной нелинейной системы (1.1) решается рассмотрением корней характеристического уравнения (1.35) линеаризованной системы (1.34). Именно, справедливы следующие теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.39]

При условии существования таких решений Ляпунов вторым методом доказал неасимптотическую устойчивость нулевого решения. Можно, однако, показать, что в этом случае, применяя еще раз первый метод, Ляпунов имел возможность построить и общее решение в окрестности нулевого решения, откуда следовала бы и неасимптотическая устойчивость нулевого решения. [c.78]

Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . <" >), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75]

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами как в области развития теории, так л в области ее практических приложений (см. А. М. Ляпунов. Библиография . Составила А, М. Лукомская, под редакцией В. И. Смирнова, М.—Л., 1953). Разработка идей Ляпунова ведется по многим направлениям. Здесь надо отметить развитие и применение первого и, особенно, второго методов Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих ж углубляющих эти методы анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действу-лопщх возмущениях исследования устойчивости не установившихся и периодических движений, а также уртойчивости на конечном интервале времени развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений распространение методов Ляпунова на механические системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (в особенности на сплошные среды), и многие другие. В последние годы выяснилось, что метод функций Ляпунова можно с успехом применять и в получении оценок приближенных интегрирований, и в теории оптимального управления (см. обзор Н. Н, Красовского в настоящем сборнике, стр. 179— 243), и в теории нелинейных колебаний и во многих других разделах науки. По теории устойчивости движения опубликован ряд прекрасных монографий. [c.11]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Второй случай имеет место, если выполнено некоторое неравенство, и тогда нулевое решение будет либо асимптотически устойчивым либо неустойчивым (асимптотически устойчивым цри t — оо). Этот результат Ляпунов доказал вторым методом и не дал в этом случае построения решения для промежутка t >> to. Первый случай имеет место, если выполнено бесконечное число некоторых равенств, и тогда в окрестности начала координат Ляпунов строил одпопараметрическое семейство интегральных поверхностей [c.72]

Н. Г. Четаев (1945) эти результаты получил на основании второго метода. В сомнительных случаях (когда правые части дифференциальных уравнений не зависят от ) Ляпунов либо доказывал вторым методом асимптотическую устойчивость нулевого решения либй неустойчивость (при этом решения в окрестности нулевого решения построить мы не умеем и по сей день), либо в сочетании первого метода (построение интегральной поверхности — интегрального множества) и второго доказывал неасимптотическую устойчивость нулевого решения. Но в этом случае он мог бьг построить и общее решение в окрестности нулевого решения, откуда следует и неасимптотическая устойчивость нулевого решения рассматриваемой системы. Мы видим, таким образом, что в случае асимптотической устойчивости нулевого решения удается построить функцию Ляпунова [c.73]

На каждой из этих интегральных поверхностей при достаточно малом с находится одно из периодических решений (16). Вторым методом Ляпунов доказал асимптотическую устойчивость периодических решений (16) в классе тех решений, которые начинаются вблизи этих периодических решений и расположены на одной поверхности с соответствующим периодическим решением. Как видим, он здесь воспользовался первым методом, так как строил периодические решения (16), но не построил общего решения в окрестности нулевого решения. Можно, однако, показать, что в этом случае Ляпунов мог бы (не обращаясь ко второму методу) построить общее решение по первому методу, откуда получил бы и факт неасимптотической устойчивости нулевого решения. [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...