Устойчивость равновесия (по Ляпунову)

В случае равновесия системы = = Я, ..., 9 = 92 являются также частными решениями дифференциальных уравнений движения, вследствие чего совершенно так же определяется устойчивость равновесия по Ляпунову. [c.402]

В случае п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции не должна делиться на линейную. В этом случае изоэнергетическая невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия пО Ляпунову. [c.378]

В случае /г = 1 условие невырожденности сводится к отличию от нуля производной периода малых колебаний по квадрату амплитуды малых колебаний. В этом случае невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия по Ляпунову. [c.378]

При определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при ф=0 будет устойчивым, а при (р=180° — неустойчивым. [c.387]

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения ), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса [c.220]

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

Другим крупнейшим ученым этого периода является П. Л. Чебышев (1821 —1894), известный своими многочисленными математическими исследованиями и трудами по прикладной механике он явился основоположником отечественной шко лы теории механизмов и машин. Большое внимание современников привлекли к себе исследования С. В. Ковалевской (1850—1891), завершившиеся решением одной из труднейших задач динамики твердого тела до нее законченные результаты в этой области удалось получить только Эйлеру и Лагранжу. Особое значение для дальнейшего развития естествознания и техники имело творчество ученика П. Л. Чебышева, виднейшего математика и механика А. М. Ляпунова (1857—1918), создателя основ современной теории устойчивости равновесия и движения. На основные результаты и идеи Ляпунова опираются труды большого числа его учеников и последователей, способствовавших дальнейшему развитию этой области науки. [c.16]

Таким образом, по Ляпунову, положение равновесия считается устойчивым, если можно задать достаточно малую область изменения начальных значений обобщенных координат в окрестности положения равновесия и область начальных обобщенных скоростей, для которых величины обобщенных координат при последующем движении системы ограничены заданной в окрестностью вблизи положения равновесия. Ясно, что области начальных значений q, и q , определяемые положительными числами T]i и Ti2> зависят от выбранной е окрестности, т. е. самого числа е. Эти области начальных значений qf и q] не должны соответствовать Лх = о и Ла = 0> т. е. только самому положению равновесия, для которого i = о и q = 0. [c.409]

В 84—87 были рассмотрены некоторые положения", связанные с теорией устойчивости равновесия. В этой главе рассматривается значительно более сложный вопрос, а именно проблема об устойчивости движения. При этом будут рассмотрены лишь некоторые, по нашему мнению, наиболее существенные результаты, полученные в этой области аналитической механики. Эти результаты связаны с именем А. М. Ляпунова. Вместе с тем следует отметить, что за последние годы теория устойчивости движения получила огромное развитие. Однако согласно Н. Г. Четаеву следует признать, что изложение содержания даже избранных групп новых исследований и результатов заслуживает написания отдельны. книг в стиле, присущем авторам этих исследований ). [c.322]

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства а) проверяемое положение равновесия устойчиво б) проверяемое положение равновесия неустойчиво а) проверяемое положение равновесия асимптотически

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмуш ениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно 2я-мерной матрицы-столбца фазовых переменных X [c.94]

Определение устойчивости по Ляпунову. Равновесие х = О называют устой-по Ляпунову, если для любого е > О можно найти такое б > О, что из условия ilx Q II < любом t > to следует неравенство II х (/) < е. В противном случае равновесие х = О называют неустойчивым. [c.95]

Практически устойчивость по Ляпунову означает, что при достаточно малых начальных возмущениях фазовые траектории системы будут достаточно мало отклоняться от положения равновесия. Неустойчивость равновесия означает, что система может удалиться от положения равновесия даже в том случае, если начальные возмущения сколь угодно малы. [c.95]

Равновесие х = О называют асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, выполняется условие [c.95]

Равновесие системы устойчиво по Ляпунову, если действительные части всех характеристических показателей неположительны, причем чисто мнимые характеристические показатели с нулевой действительной частью — либо простые, либо имеют простые элементарные делители. [c.95]

Пусть уравнения нелинейной системы отличаются от линеаризованных уравнений нелинейными членами, которые являются непрерывными и дифференцируемыми функциями фазовых переменных и времени. Если положение равновесия линейной системы асимптотически устойчиво, то равновесие нелинейной системы будет устойчиво по Ляпунову независимо от нелинейных членов. [c.96]

Величину где е > О — фиксированное число, можно рассматривать как возможное уклонение жидкости [8]. Условие (65) связано с данным Ляпуновым определением устойчивости формы равновесия жидкости как такой формы, для которой после сообщения жидкости достаточно малых возмущений форма л<идкости остается сколь угодно мало отличающейся от формы равновесия, по крайней мере до тех пор, пока на поверхности жидкости не образуются сколь угодно тонкие нитеобразные или листообразные выступы. Аналогичное явление имеет место и для дву. -и трех.мерного упругого континуума [34 . Это непроверяемое условие приходится вводить, ибо в противном случае из интеграла энергии (21) невозможно вывести заключение об устойчивости [8]. [c.301]

Переформулируем определения устойчивости в терминах уравнений возмущенного движения (7.1.13). Положение равновесия Хо=0 называют устойчивым по Ляпунову, если для любых 8>0 и го существует 5=5(е,/о) такое, что для всех решений х( , удовлетворяющих в начальный момент времени неравенству x(/Q)jj < 5, следует [c.458]

Положение равновесия х(/) = 0 линейной системы (7.2.3) с постоянной матрицей С устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда действительные части характеристических показателей неположительны, т.е. [c.463]

Если потенциальная энергия системы имеет в положении равновесия изолированный минимум, та это положение равновесия устойчиво по Ляпунову. [c.474]

Теорема (А. Г. Сокольский [180]). Если в нормальной форме (205), (209) Ф(ф)=7 0 при ф S [О, 2я], то положение равновесия х = у — 0 устойчиво по Ляпунову. Если существует таков ф, что Ф(ф ) = 0, Ф (ф )т О, то положение равновесия неустойчиво. Если все корни уравнения Ф(ф) = 0 имеют четную крат- [c.237]

Теорема (А. Г. Сокольский [180, 181]). Если в нормальной форме (210) Л < О, то положение равновесия х у = 0 двумерной гамильтоновой системы неустойчиво. Если у1 > О, то имеет место устойчивость по Ляпунову. В случае Л = О вопрос об устойчивости решается членами более высокого порядка. [c.238]

Положение равновесия (точка 0) называется устойчивым (устойчивым по Ляпунову), если для любой окрестности ] О е УУ найдется окрестность И о хо е о, для которой решения уравнения [c.314]

Рассмотрим систему (4.31), которая описывает движение тела при резонансе (4.6), в малой окрестности устойчивого положения равновесия х. Преобразуем эту систему к виду, удобному для проведения исследования устойчивости по Ляпунову. Сделаем замену переменных в окрестности устойчивой стационарной точки X = X + Х Р = Р + (р = ( х/(1т, р = 0) и разложим функцию (х, z) в точке х = X в ряд Тейлора по переменной г . В результате, пренебрегая членами порядка получим [4], [26 [c.132]

В точке 3 одновременно выполняется оба условия (4.42) и (4.50). Это означает, что колебательная область расширяется, а фазовая траектория попадает в малую окрестность положения равновесия (рис. 4.10в). В этом случае тело совершает затухающие колебания. Такой резонансный режим движения устойчив и устойчиво движение системы по Ляпунову в малой окрестности положения равновесия. [c.136]

Проведённые расчёты показывают, что при анализе нелинейных резонансов следует проводить исследование устойчивости как самого резонанса, так и устойчивости по Ляпунову в окрестности положения равновесия, поскольку из устойчивости [c.136]

Разумеется, наличие таких резонансов не нарушает доказанной ранее [18] устойчивости по Ляпунову относительного равновесия спут- [c.47]

Замечание ([184]). Относительная мера множества инвариантных торов в полидиске т <е не меньше 1—Если между частотами отсутствуют резонансы до порядка / 4 включительно, то эта мера даже не меньше 1—0(е ). Д В случае п = 2 изознергетическая невырожденность гарантирует устойчивость равновесия по Ляпунову [5]. При п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции Но не делится на линейную. Если даже квадратичная часть делится на лннелную, то равновесие все равно, как правило, устойчиво. Именно, предположи.м, что между частотами о)1 и ыг нет резонансных соотношений до порядка 1>4 включительно. Тогда функцию Гамильтона можио привести к нормальной форме [c.207]

Поскольку 0(е, iq) О при to -ню, то положение равновесия х = х = О уравнения (2.2.11) обладает следующим свойством полиустойчивости оно устойчиво (неравномерно) по Ляпунову и экспоненциально асимптотически устойчиво по х. [c.109]

Таким образом, по Ляпунову, положение равновесия считается устойчивым, если можно задать достаточно малую область измеч1ения начальных значений обобщенных координат в окрестности положения рав1ювесия и область начальных обобщенных скоростей, для которых величины обобщенных координат при последуюн ем движении системы ограничены заданной е окрестностью вблизи положения равновесия. Ясно, что области начальных значений и определяемые [c.421]

По Ляпунову равновесие системы называется устойчивым, если для всякого как угодно малого полозкительного числа е можно выбрать ива других малых полежи тельных числа и Рз, что при начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям [c.386]

По Ляпунову, равновесие системы назьюаетоя устойчивым, если для всякого как угодно малого положительного числа е можно выбрать два других малых положительных чиола t]i и т)2> оли при начальных возмущениях они удовлетворяют условиям q41 СПх, qf I < Лг. в дальнейшем движении механической системы выполняютвя условия Qi (01 < < Е для каждой обобщенной координаты. [c.409]

Весьма важную проблему механики составляет изучение устойчивости движения и, в частности, устойчивости равновесия. Наиболее существенные и глубокие результаты по изучению устойчивости движения были получены гениальным руееким механиком и математиком А. М. Ляпуновым (1857—1918). Решение этой труднейшей и важнейшей проблемы механики, полученное А. М. Ляпуновым, далеко опередило работы в этой области зарубежных ученых. [c.17]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости положения равновесия системы па примере системы с одной степенью сво боды при использовании фазового пространства. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения I — фазовая траектория движеиия, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Четыре наиболее типичных случая расположения характернстическнх корней на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной системы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при е > О, устойчиво по Ляпунову при е = О и неустойчиво при е < 0. [c.95]

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Линейные уравнения тина (1) обычно получают путем линеаризации более полных и точных нелинейных уравнений. Ответ на вопрос, при каких условиях выводы об устойчивости равновесия линеаризованной системы могут быть отнесены к соответствующей не-лингннон системе, дае1 шорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.95]

Теорема (А, Г. Сокольский [182]). Если в нормальной форме (214) аом 5 О ы Л/ нечетное или при четном М выполнено баом<0, то положение равновесия х = у = 0 неустойчиво. Если М — четное число и ёаом > О, то имеет место устойчивость по Ляпунову. [c.238]

Таким образом, в области х,о > О, / = 1,3 положение равновесия системы (1.1.5) асимптотически устойчиво в целом по одной из переменных для любых параметров системы (кроме исключительного случая р = 0), хотя это положение равновесия неустойчиво по Ляпунову. Другими словами, если решения системы исходят из любой точки множества х,о > О, / = 1,3, то один из видов вымирает асимптотически. Это [Rou he и др., 1977] строгая формулировка утверждения, известного как экологический принцип вымирания Лотки-Вольтерры [Lotka, 1920 Volterra, 1931]. (К рассмотренному примеру с несколько иной точки зрения вернемся в разделе 1.1.7.) [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...