Процедура решения системы линейных алгебраических уравнений

В приведенных вариантах алгоритма производится обращение к процедуре решения системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной симметричной матрицей. Текст ее, несколько измененный по сравнению с опубликованным ранее , приводится ниже. [c.216]

Процедура решения системы линейных алгебраических уравнений, к которой производится обращение внутри рассматриваемых процедур, имеет, в свою очередь, следующие параметры И — условный порядковый номер первого уравнения системы К — условный порядковый номер последнего уравнения системы В[Н К] — массив коэффициентов большой диагонали матрицы системы М[Н К — 1] — массив коэффициентов малой диагонали матрицы системы С[Н К] — массив элементов столбца свободных членов уравнений, в котором после выполнения процедуры находится результат. [c.217]

ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ [c.113]

Примечание. Пример же более высокого быстродействия скомпилированных процедур с прямым доступом к данным приведен выше (прямой ход алгоритма Гаусса при решении системы линейных алгебраических уравнений с сильно разреженной матрицей коэффициентов). [c.136]

Если матрица А имеет большой порядок, то такой метод решения задачи теории пластичности позволяет существенно сократить объем вычислений и время решения, так как обращение матрицы (или решение системы линейных алгебраических уравнений) на каждой итерации является наиболее трудоемкой процедурой. [c.337]

Для реализации методов строительной механики, учитывая специфический способ хранения матриц, необходимо реализовать следующие процедуры ввод матрицы в список удаление матрицы из списка транспонирование матрицы умножение двух матриц решение системы линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей. [c.47]

Полученные минимизацией среднеквадратичной ошибки приближенные значения параметров могут быть уточнены сравнительно простой процедурой, сводящейся к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно поправок к значениям параметров [41]. Имеется ряд решенных по этой методике примеров со сравнением с известными точными решениями, в которых показано, что для практического применения достаточными являются значения, полученные первым приближением. Дальнейшая отладка производится уже на натурной модели. [c.132]

Одной из основных задач, входящих составной частью во многие алгоритмы проектных процедур, является решение системы линейных алгебраических уравнений А-Х=В. Циклический вычислительный процесс при использовании метода Гаусса основан на пересчете коэффициентов а,/ по формуле а,7 = а, ,— Внутренний цикл целесообразно организовать по , тогда параллельно выполняются независимые витки по пересчету коэффициентов очередной строки матрицы. [c.314]

Метод сопряженных градиентов является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений [46]. Однако при решении упомянутых систем уравнений на ЭВМ этот метод ведет себя как итерационный. Это связано с нарушением ортогональности некоторых векторов вследствие ошибок округления. Рассматривая метод сопряженных градиентов как итерационный метод для решения больших систем уравнений с редкой матрицей, можно обнаружить некоторые полезные свойства. Так, например, быстрая сходимость для хорошо обусловленных задач позволяет получать с достаточной точностью итерационное решение за сравнительно небольшое число итераций. Реализация алгоритма метода сопряженных градиентов без непосредственной сборки глобальной матрицы системы уравнений приводит к исключительно простой вычислительной процедуре. [c.134]

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Процедура решения системы ЛАУ [c.229]

Дальнейшее решение включает следующие процедуры. В результате стыковки отдельных элементов и присоединения граничных условий формируется система линейных алгебраических уравнений относительно узловых обобщенных перемещений. После ее решения по известным узловым обобщенным перемещениям определяются реакции элемента [см. (4.136)] и узловые внутренние силовые факторы [см. (4.130)]. С помощью выражения (4.132) определяется вектор производных в узловом сечении, после чего с использованием (4.119) вычисляются деформации и изменения кривизн. [c.156]

Обращение матриц - одна из наиболее распространенных операций задач строительной механики и других наук. Обратной называют матрицу, получаемую в результате деления единичной матрицы Е на исходную матрицу л, т.е х = Е1х Эту процедуру выполняет функция шу(л ), которая вычисляет элементы обратной матрицы для исходной квадратной матрицы х. Выдается предупреждающее сообщение, если матрица л плохо масштабирована или близка к вырожденной. На практике вычисление обратной матрицы не так уж необходимо. Чаще обращение применяют для решения систем линейных алгебраических уравнений вида ах = Ь. Один из путей решения этой системы - л = inv(a) Ь, хотя лучше использовать метод исключения Гаусса без формирования обратной матрицы, например х = а Ь или х = Ыа. [c.250]

Для пояснения процедур формирования разрешающей системы линейных алгебраических уравнений МКЭ рассмотрим трактовку МКЭ, соответствующую методу перемещений при решении задач теории упругости. Будем считать, что конечные элементы взаимодействуют лишь в узловых точках. Мысленно выделим отдельные конечные элементы и в узловых точках приложим реакции отброшенных частей. В пределах конечных элементов, эле-пользуя аппроксимации перемещений, получим уравнения равновесия элементов и определим связи реакций с обобщенными перемещениями узлов элементов и внешними нагрузками. Далее соединим в узлах элементы и запишем условия равновесия отдельных узлов. Для этого приравняем нулю для каждого узла сумму сил реакций от отдельных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу. Полученная система алгебраических уравнений позволит определить неизвестные узловые обобщенные перемещения, через которые в дальнейшем можно вычислить деформации и напряжения в элементах. [c.281]

Процедура метода переменных параметров упругости не требует запоминания предыдуш,его шага, что упрош,ает алгоритм и приводит к экономии памяти ЭВМ. Однако для решения задачи в этом случае приходится многократно формировать и решать большие системы линейных алгебраических уравнений. В связи с этим при разработке математического обеспечения особое внимание необходимо уделить построению экономичных алгоритмов основных этапов, определяюш,их продолжительность решения задачи. [c.30]

Наиболее известный прямой метод решения больших систем линейных алгебраических уравнений — приведение Гаусса с обратной подстановкой. Процедура решения системы п линейных алгебраических уравнений методом гауссова приведения состоит из п—1 шагов. На каждом шаге уравнения, кратные очередному уравнению системы, вычитаются из остальных уравнений с тем, чтобы исключить одну переменную. Обратная подстановка заключается в решении последнего оставшегося уравнения для последней переменной, затем предпоследнего уравнения относительно предпоследней переменной и т. д. до тех пор, пока не решено первое уравнение относительно первой переменной. Поскольку число уравнений обычно очень велико, но каждое содержит не более девяти переменных, большинство элементов матрицы системы равно нулю. Эго позволяет расставить уравнения таким образом, чтобы матрица системы приняла ленточный вид, т. е. чтобы все ненулевые элементы были сгруппированы вблизи ее диагонали. Тогда система решается довольно просто. Подробное описание этого метода и различные варианты его усовершенствования можно найти в литературе [115]. Хотя прямые методы и требуют большего объема машинной памяти, чем итерационные методы, они чище в том смысле, что не содержат проблемы сходимости. Благодаря доступности больших компьютеров прямые методы становятся все более пригодными для решения практических задач. [c.152]

Каждая подсистема в свою очередь сводится к квадратурам. Остается определить матрицу коэффициентов оператора 8. Эта процедура также сводится к решению системы линейных неоднородных алгебраических уравнений (подробнее см 2). Ввиду громоздкости записей эти результаты не приводим. [c.178]

В алгол-программу для решения задачи включим процедуру решения системы линейных алгебраических уравнений методой Гаусса [pro edure gauss (а, п, т) с п = 3 и m = 4J [c.24]

GAGON — внешняя процедура решения системы линейных алгебраических уравнений (см. п. 6.1) [c.124]

Определяемый системой уравнений (16.13) вектор Y дает приближенное решение исходной краевой задачи. Для его нахождения можно использовать один из численных методов [20]. В модельных задачах при небольшом числе разбиений N 100) будем применять встроенную Math AD-процедуру решения системы линейных алгебраических уравнений AY = F, основанную на обращении матрицы А по методу LU-разложения (Y = A- F). [c.512]

В работе предложена улучшенная (повышающая точность асимптотических формул) процедура сращивания внешнего и внутреннего асимптотических представлений, требующая решения системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов при сингулярных решениях во внешнем представлении. При этом задача построения асимптотики контактного давления сводится к одному (вместо нескольких последовательно решаемых) так называемому ) связанному интегральному уравнению. [c.130]

Приведем текст процедуры kramer решения системы линейных алгебраических уравнений [c.89]

В ряде программ предусмотрено использование внешних запоминающих устройств (пакета дисков, накопителя на магнитной ленте). Для уменьшения объема оперативной памяти, необходимой для размещения текста программ, применена оверлейная структура, позволяющая сохранять в оперативной памяти тексты только тех подпрограмм, которые необходимы для выполнения определенного этапа расчетов. В большинстве разработанных программ распределение оперативной памяти машины под массивы числовых данных осуществляется специальной подпрограммой, позволяющей использовать для размещения информации массивы с переменными границами, соответственно особенностям решаемых задач. Программы реализуют стандартную процедуру метода конечных элементов с решением системы линейных алгебраических уравнений по методу Холецкого, двойного разложения Холецкого, сопряженных градиентов, сингулярного разложения. Имеется подпрограмма автоматической генерации исходных данных при разбиении на конечные элементы односвязных и двухсвязных областей. [c.41]

Известно, что решение системы линейных алгебраических уравнений может осуществляться с использованием прямых или итерационных методов. В расчетной практике наиболее широко распространен метод Гаусса, реализующий процедуру последовательного исключения неизвестных. Однако при решении задач по методу конечных элементов он существенно уступает по эффективности методу Холецкого, основанному на замене системы уравнений (1.1) системой вида [c.48]

После форьшрованйя системы уравнений блок учета граничных условий 1-го рода моделирует их системой обобщенных узловых исто шиков тепла (стандартная процедура метода конечных элементов) и передает управление подпрограмме решения систем линейных алгебраических уравнений. По окончании работы этой подпрограммы для заданных моментов времени может быть произведена печать результата. [c.155]

Предназначен для решения тепловых задач. ТЕКОН представляет собой модульную систему программ со специализированным языком. Обеспечивает решение задач параболического и эллиптического типов. В общем случае ТЕКОН может быть одним из блоков некоторого более общего вычислительного процесса. Названные задачи решаются в произвольных пространственных областях ступенчатого типа,заданных в локально-ортогональных координатах, описываемых с помощью коэффицпентов Ламе. При переходе от исходной системы уравнений к конечно-разностной аппроксимации используется интегро-интерполяционный метод построения разностных схем [79]. Рассматривается класс неявных консервативных разностных представлений. Алгоритмы, реализующие процедуры вычислений по соответствующим схемам, содерл<ат итерационные процессы по нелинейности, сводящиеся к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге. В рассматриваемом ТЕКОНом клас- [c.178]

Управляющая программа исследования НДС осесимметричных конструкций, регламентирующая взаимодействие совокупности составляющих процедур, описанных ранее, имеет имя R00A21. Ее текст приведен в приложении. Она обеспечивает ввод исходной информации во внутреннем или внешнем представлении формирование разрешающей системы линейных алгебраических уравнений метода перемещений решение этой системы методом LDU-факторизации и определение компонент узловых перемещений для заданных вариантов нагружения конструкции вычитание при необходимости (при заданных единичных значениях соответствующих параметров) характеристик напряженного состояния в центрах тяжести конечных элементов и реакций в жестких и упругих опорах вывод на печать исходной информации вывод на печать узловых перемещений и (или) параметров напряженного состояния в центрах тяжести элементов, и (или) реакций в опорах. [c.132]

Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом обеспечении САПР численным методам решения систем ОДУ, нелинейных и линейных алгебраических уравпепин. Из рис. 2.2 также видно, что такие системы уравнении приходится роптать при проектировании объектов па микро- и макроуровнях, а часто и на ме-тауровие. От эффективности этих методов существенно зависит общая эффективность выполнения проектных процедур функционального проектирования. [c.45]

Тогда уравнения (13.8.4) линейны и однородны для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций fi, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Uj в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца. [c.438]

Слаг аемые Л,, I,, Л/,, Л, и т. д. выражаются через и функции, соответствующие -1] итерации. За масштаб длины берем величину зазора - 7- , и в безразмерных переменных условие г> означаег, что г /(г -> )> 1, Процедура удовлетворения граничным ус ювиям затруднений не вызываег находим из второго условия в (1.55) после этого с помощью первого из условий (1.55) при г = г исключаем в оставшихся трех уравнениях и приходим к линейной неоднородной системе алгебраических уравнений для g f , которая имеет единственное решение, если а ф 0. [c.34]

Хотя в этой главе рассматриваются лишь системы линейных уравнений вида (10,1), получающиеся в случае эллиптических дифференциальных уравнений, аналогичные процедуры существуют и для других типов задач. Например, конечиоэлементная формулировка линейной задачи иа собственные значения приводит к алгебраической задаче на собственные значения, которая может быть решена либо прямым, либо итерационным методом. Рекомендации относительно выбора метода аналогичны рекомендациям для стационарной задачи. Линейные динамические задачи, однако, приводят к уравнениям, зависящим от времени, для которых более подходящими являются итерационные методы. Для решения нелинейных систем уравнений не существует прямых методов, поэтому приходится использовать итерационные процедуры, В следующих разделах дан краткий обзор прямых и итерационных методов,, а также некоторых соответствующих приемов уменьшения времени и стоимости решения, [c.223]

Возможности программного обеспечения эта интерактивная, структурированная моделирующая программа может быть использована для решения системы дифференциальных (в том числе нелинейных), разностных и алгебраических уравнений, возникающих в задачах идентификации и проектирования. В программе предусмотрены различные блоки 55 типов, включая интегратор с насыщением, блок временной задержки и другие. Пользователь может назначать блокам символические имена. В программе используются пять методов интегрирования четыре метода с фиксированным шагом (метод Эйлера, метод Адамса—Башфорта-2, метод Рунге—Кутты-2 и метод Рунге—Кутты-4) и один с изменяющимся (метод Рунге—Кутты-4). Линейная и квадратичная интерполяция (от 11 до 201 точек) проводится на основе генераторов функций трех типов. Алгоритмические петли могут быть решены интерактивным методом, что позволяет решать нелинейные алгебраические уравнения. Все переменные, получаемые в процессе моделирования, сохраняются в памяти. В дальнейшем они могут быть использованы для обработки, сохранены на диске или использованы как начальные условия для следующего прогона. Кроме того, предусмотрены средства многократного прогона. Программа содержит процедуру оптимизации, причем пользователь может задавать критерий оптимизации и до девяти произвольных оптимизируемых параметров. Каждый параметр может быть ограничен сверху и снизу. Для улучшения скорости процедуры оптимизации для каждого параметра может быть выбран соответствующий масштаб. Несколько моделей могут быть объединены в одну новую модель. Рассчитанные переходные характеристики и параметры могут быть использованы в последующих прогонах. Пользователь может легко определить блок нового типа, для чего необходимо выполнить операцию компоновки. Программа не предназначена для решения дифференциальных уравнений с частными производными, полиномиальных и матричных уравнений. [c.320]

Фактическое вычисление интенсивностей мультиполей из граничных условий приводит к бесконечной нелинейной алгебраической системе, разрешаемой рекуррентным способом, для чего системы функций у , Г , необходимо последовательно орто-гонализировать. Эта процедура монсет оказаться весьма трудоемкой, если для построения приближенного численного решения требуется большое число собственных функций. Тем не менее расчет течения по полученным решениям в ряде случаев оказывается достаточно эффективным, поскольку не содержит итераций по пе-линейиости, характерных для решений уравнений движения обычными сеточными методами [174, 220]. В частности, вклад членов, возникающих в результате итераций но нелинейности, асимптотически мал при оо, поэтому достаточно ограничиться решением линейной задачи при больших N, что сильно упрощает алгебраическую систему для определения В , С , Д . [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...