Поверхности — Кривизна Уравнения

Величины Иав теперь следует назвать параметрами изменения кривизны вопрос о том, как выразить в общем случае деформации ва И параметры изменения кривизны через перемещения точек срединной поверхности или каким уравнениям совместности они удовлетворяют, изучается в общей теории оболочек, которая здесь рассматриваться не будет. Следует заметить, что формула (12.13.1) не является точным следствием гипотезы прямых нормалей. Это ясно из рис. 12.13.1, абсолютное удлинение элемента тп есть отрезок пп = v.zds, но длина этого элемента есть не ds, а ds i + z/R), как видно из чертежа. Поэтому относительное удлинение будет [c.420]

Произведем упрощение уравнений Навье —Стокса (2.29, 2.30), имея в виду получить уравнения для исследования пограничного слоя. Сделаем это для простого случая плоского течения жидкости вдоль поверхности малой кривизны. Пусть контур тела совпадает с осью X, тогда система уравнений, описывающая движение жидкости, имеет вид [c.105]

Ради упрощения изложения здесь не учитывается зависимость давления насыщенного пара от кривизны поверхности жидкости, определяемая уравнением Томсона. Для рассматриваемых условий связанная с этим погрешность в количественном отношении незначительна. [c.110]

V. Следствие. Если тело вынуждено двигаться по поверхности данной кривизны, то, характеризуя эту поверхность с помощью трех переменных X, , Z VI предполагая ее выраженной уравнением [c.122]

Одномерное нестационарное распределение температуры Т(г, t) в слое термоизоляции, нанесенной на теплоизолируемую поверхность двоякой кривизны (см. рис. 3.1), при отсутствии внутренних источников энерговыделения можно описать дифференциальным уравнением в частных производных [12] [c.104]

Из уравнения Лапласа следует, что для плоской поверхности раздела (т. е. такой поверхности, радиус кривизны которой равен бесконечности) величина р, как и следовало ожидать, равна нулю. [c.152]

Уравнение движения стационарного пограничного слоя. Рассмотрим стационарное течение жидкости вдоль полубесконечной двумерной поверхности малой кривизны, когда скорость вне пограничного слоя равна и . Ось X направим вдоль поверхности, ось у — перпендикулярно к ней. Требование нулевой тангенциальной скорости на поверхности обусловливает развитие динами-38 [c.38]

Таким образом, течение в пленке управляется динамическим капиллярным давлением. В процессе течения устанавливается механическое равновесие между капиллярными и вязкими силами. Например, если выталкивающая сила внезапно выключается, поверхность пузыря стремится принять форму поверхности постоянной кривизны, как это диктуется уравнениями (6.1) и (6.2). [c.106]

Уравнение (67), известное как уравнение Киселева, представляет собой не что иное, как выражение баланса работы адсорбции и работы образования межфазной поверхности. Физически это соответствует представлению о поверхности адсорбента как о поверхности постоянной кривизны. Средний радиус кривизны менисков определяется, как известно, уравнением Кельвина [c.66]

Полученное решение, вообще говоря, теряет смысл, если sin Я. обращается в нуль где-либо в интересующей нас области изменения а, т. е. если край 71 касается прямолинейных образующих или проходит вдоль них. Это объясняется тем, что прямолинейные образующие поверхности нулевой кривизны являются характеристиками безмоментных уравнений. [c.217]

Вернемся к оболочкам положительной кривизны. Если один из краев такой оболочки закреплен от тангенциальных смещений, то независимо от того, имеются ли другие края, и от того, как они закреплены, ее срединная поверхность не может иметь изгибаний. Этот факт известен. Он относится к любым поверхностям положительной кривизны и очевиден с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так как построение изгибаний при таком закреплении края сводится к однородной задаче Коши. Из сказанного вытекает, что по теореме о возможных изгибаниях ( 15.21) решение полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки, рассмотренной в предыдущем параграфе (один край свободен от тангенциальных закреплений, а второй — заделан в обоих тангенциальных направлениях), должно существовать и быть единственным. Однако это утверждение может оказаться и неверным, и чтобы разобраться в получающемся несоответствии, вернемся еще раз к задаче построения аналитической функции по условию (18.38.4). [c.269]

Для расчета на прочность оболочки в форме резной поверхности Монжа воспользуемся уравнением поверхности (1.154). В этом случае коэффициенты квадратичных форм (4.35) подтверждают, что координатная сеть а, р является криволинейной ортогональной системой координат в линиях кривизны (см. рис. 1.25), где -линии совпадают с параллелями резной линейчатой поверхности Монжа, а р-линии — прямолинейные образующие торса. [c.214]

Итак, система уравнений динамической устойчивости тонкостенных слоистых анизотропных оболочек сформулирована в системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности приведения. Статические уравнения устойчивости, основанные на концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия, получаются из этих уравнений, если отбросить в них инерционные слагаемые. Для этой системы остаются справедливыми все те предельные переходы и упрощения, какие были указаны ранее для тензорной формы уравнений задачи устойчивости. [c.74]

Существенные результаты для случая га = 3, но при ограничительном предположении, что система дифференциальных уравнений есть система уравнений классической динамики (каноническая система) и, следовательно, обладает интегральным инвариантом, получил Ж. Адамар Он дал классификацию возможных в этом случае траекторий, которые совпадают с геодезическими линиями поверхности отрицательной кривизны. Эти геодезические линии, как оказалось, могут быть трех категорий. Первую составляют замкнутые линии, иначе говоря, периодические орбиты, и геодезические, асимптотические к замкнутым геодезическим. Вторую составляют линии бесконечного удаления или, если угодно, отбрасывания на бесконечность. Они расположены на бесконечных полах поверхности. Третью и последнюю категорию образуют геодезические, которые остаются целиком в конечной области, и таких линий заведомо существует бесконечно много. [c.136]

Эти условия интегрируемости, которые действительны для случая деформации поверхностей любой кривизны и любой формы, называются уравнениями совместимости для тензора относительной деформации. Благодаря этим уравнениям теперь можно описать деформацию поверхности не вектором смещения, а двумя внутренними симметрическими тензорами у и Кг. Для частного случая пластинки, когда В = О, уравнение (5.25) становится тривиальным, а (5.26) принимает вид [c.161]

Для поверхностей умеренной кривизны (выпуклых относительно жидкости), обтекаемых двумерным потоком, Гольдштейн [25] получил уравнения пограничного слоя типа уравнений Прандтля с учетом радиуса кривизны Я. Градиент давления в пограничном слое приблизительно определяется следующим образом [c.269]

Первые две главы посвящены уравнениям Ньютона и Лагранжа и вполне традиционны по содержанию. Лекция 16, посвященная движению частицы по поверхности произвольной кривизны, представляет собой введение в общий тензорный анализ. В четвертой главе при изучении линейных [c.7]

Для формообразования оболочек положительной гауссовой кривизны применяют многие разновидности поверхностей двоякой кривизны. Весьма удобна поверхность эллиптического параболоида (сж. рис. 7.1, а), получаемая способом переноса и описываемая уравнением [c.102]

Предположим, например, что центр шара радиуса А расположен в точке пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей опустим из некоторой точки его поверхности перпендикуляры на все три плоскости в обозначим их буквами X, у, г очевидно, что радиус шара, проведенный к рассматриваемой точке, будет диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами х, у, г, что его квадрат будет равен сумме квадратов трех ребер, и, таким образом, мы будем иметь уравнение у = А Если предположить, что точка меняет свое положение на поверхности шара, то и расстояния ее X, у, 2 до перпендикулярных плоскостей изменятся, но расстояние до центра не изменится, и сумма квадратов трех ее координат, всегда равная квадрату радиуса, будет сохранять то же значение между координатами этой точки будет продолжать существовать соотношение, выраженное уравнением х у = А Это уравнение, справедливое для всех точек поверхности шара, — и только для них — представляет собою уравнение его поверхности. Каждая кривая поверхность выражается своим уравнением и если не всегда легко выразить это уравнение в таких простых величинах, как расстояния дг, у, г, то всегда можно это сделать, пользуясь более сложными выражениями, как, например, наклонами касательных поверхностей или радиусами кривизны для нашей цели достаточно одного приведенного примера. [c.91]

В локальном подвижном ортонормированном базисе, например, в трехграннике Дарбу, уравнение поверхности приведенной кривизны приводится к виду [c.210]

Коэффициенты А и В первой квадратичной формы (7.8) связаны с главными кривизнами поверхности ki и уравнениями Ко-дацци [c.231]

Изложена методика расчета ущугого сближения тел качения, имеощвх поверхности переменной кривизны. Решение выполнено методом конечных элементов, исходя из уравнения Буссинеску. Оно поэ- [c.133]

Такие уравнения (уравнения интенсивности тепло- и массо-обмена) получены в настоящей работе, и на их основе могут быть разработаны способы определения локальных характеристик и полей скоростей, температур, концентраций сред в контактных аппаратах. Однако задача эта представляется очень сложной, так как помимо математических трудностей имеются специфические осложнения, связанные с нечеткостью, неопределенностью формы и размеров, полидисперсностью поверхности контакта, ее стохастическим характером, разнонаправленностью процессов на поверхностях различной кривизны. В настоящее время не существует чисто аналитических методов расчета взаимосвязанного тепло- и массообмена в контактных аппаратах. Даже в хорошо разработанных математических моделях применяются эмпирические зависимости [20]. Более того, отсутствуют и достаточно общие инженерные методы расчета, которые базировались бы на теории подобия. [c.39]

Рабочие лопатки влажнопаровых турбин обычно выполняют с входными и выходными участками в виде поверхностей малой кривизны. Наибольший интерес представляет движение влаги именно на этих участках. Поэтому целесообразно изучить картину движения влаги на враш,ающейся пластине при различных углах ее установки. Эту задачу рассмотрел Е. Миллиес [100] без учета трения, получив легко решаемое биквадратное характеристическое уравнение. Им были определены траектории влаги на пластине для некоторых частных случаев. Ниже дано более общее решение задачи [37]. [c.90]

КАПИЛЛЯРНОЕ ДАВЛЕНИЕ — разность давлений по обе стороны искривлённой поверхности раздела двух жидкостей или жидкости и газа. Величина К. д. связана с поверхностным натяжением и радиусом ср. кривизны поверхности жидкости Лапласа уравнение. . В случае вогнутой поверхности жидкости давление в iieii понижено по сравнению с давлением в соседней фазе и К. д. Др<0, для выпуклой поверхности Др>0, для плоской поверхности 4р=0. К. д.— следствие действия сил поверхностного натяжения, к-рыс направлены по касательной к поверхности, что приводит к появлению составляющей, направленной внутрь объёма контактирующих фаз. См. также Капиллярные явления. [c.239]

В литературе по пограничному слою эмпирическое соотношение (1) использовалось недостаточно, поскольку в большинстве работ, посвященных анализу потока с турбулентным касательным напряжением, мало обраи алось внимания на дифференциальные уравнения, описы-ваюш ие основной поток. Для стационарного двухмерного потока сжимаемой жидкости, обтекающей поверхность малой кривизны, могут быть записаны следующие уравнения турбулентного пограничного слоя [c.139]

Если hn < 0,1, где к = (1/i i + IR< 2 — средняя кривизна поверхности стенки (см. рис. 5.4), то в такой стенке при неравномерном распределении температуры (5.43) напряженное состояние для каждого значения Хд можно считать равномерным двухосным (<Тц = = СТ22, СГ33 — 0) и для расчета использовать условия (5.40). При /гх > 0,1 допущение 033 (хд) = О становится достаточно грубым if необходимо рассматривать трехосное напряженное состояние. В случае резкого изменения условий теплообмена на одной из поверхностей стенки (например, при == 0) возмущение температурного поля возникает сначала в пределах достаточно тонкого слоя Алгз С h, так что в этот период времени стенку можно рассматривать ка.к тело весьма больших размеров, ограниченное поверхностью двоякой кривизны с радиусами Ri и R . Нестационарное распределение температуры Т Хз, t) в однородном слое стенки, прилегающем к этой поверхности, описывается уравнением [c.209]

Существует, однако, практически важный класс достаточно пологих поверхностей, для которых метрика поверхности мало отличается от метрики плоскости. Для таких поверхностей гауссова кривизна К = IIR1R2 может считаться приближенно равной нулю и уравнения (6.13) оказываются независимыми по отношению к выбору масштабов Iq и R . [c.113]

Замечание. В приближении (0) главные уравнения чисто моментного итерационного процесса ( 19.5) однородны. Поэтому тривиальное решение, удовлетворяющее условиям (20.10.10), конечно, существует, но оно, как уже говорилось, недопустимо. Других решений задача не имеет, так как в однородном случае геометрические безмоментиые уравнения совпадают с уравнениями изгибаний, а последние, как доказано в теории поверхностей, невозможны для поверхности положительной кривизны с закрепленным краем. [c.294]

Рассмотрение начнем с куполов, т. е. с оболочек всюду положительной кривизны, имеющих один замкнутый край, и будем всегда считать, что выбрана такая ортогональная система координат, в которой край купола задается уравнением 1 = ю == onst (условие 1 применимости метода расчленения для купола всегда выполняется, так как на поверхности положительной кривизны нет действительных асимптотических линий). [c.294]

Уравнение является общим уравнением равновесия для формоизменяющих операций листовой штамповки с осевой симметрией деформирования при наличии сил трения на одной из контактных поверхностей. В это уравнение радиусы кривизны следует подставлять со своидш знаками (если центр кривизны находится с наружной стороны оболо чки в меридиональном ее сечении, то радиус считается отрицательным). [c.18]

Целый ряд нелинейных дифференциальных уравнений типа рассматриваемых в этой книге допускает непосредственную геометрическую интерпретацию. В частности, в таком виде можно переформулировать уравнения Гаусса, Петерсона—Кодацци н Риччи и, таким образом, через их репшния выразить компоненты метрического тензора, векторов кручения и тензоров вторых квадратичных форм двумерных минимальных поверхностей. В целом данная интерпретация связана с внутренней геометрией поверхностей в евклидовом, псевдоевклидовом или аффинном пространствах (минимальные поверхности и двумерные поверхности постоянной кривизны). Простейшие из этих уравнений (в частности, уравнения Лиувилля, синус-Гордона и Лунда — Редже) впервые возникли именно в задачах дифференциальной геометрии. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...