Линейные уравнения — Системы дифференциальные 215 — Система

О линейных гамильтоновых системах дифференциальных уравнений. Пусть в системе (1) функция Гамильтона не зависит от времени и система допускает решение, для которого величины qi pi i = 1, 2,..., п) постоянны. Это решение отвечает положению равновесия механической системы, имеющей уравнения движения (1). [c.394]

Ниже показывается использование фазовой плоскости применительно к нормальной форме ) линейной однородной системы дифференциальных уравнений свободных линейных колебаний системы с одной степенью свободы [c.75]

При р = I функции ф (t) и ф (i) связаны соотношением (17.1), т. е. и их производные являются линейно зависимыми. Система дифференциальных уравнений движения машинного агрегата при р/ = I имеет порядок (2п + 1), а при р/г = О — порядок (2я + 3). Следовательно, при переходе от р = 1 к р = О можно удовлетворить условиям (17.5), а переход же от р = О к рд. = 1 неосуществим, так как функции ф (t) и ф (t) являются линейно зависимыми. [c.114]

Общее решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений (6.35) может быть представлено в виде 8 72] [c.174]

Линейность системы дифференциальных уравнений позволяет применить к ним так называемый принцип суперпозиции при действии в колебательной системе нескольких возбуждающих сил, разных по величине, фазе и месту приложения. Под этим понимается возможность наложения в любых точках системы движений, найденных по отдельно действующим внешним возбуждающим силам. Благодаря этой возможности при полигармоническом возбуждении проще всего искать решения уравнений отдельно при возбуждениях с каждой из частот рсо спектра, а затем складывать для искомых точек по абсциссе времени синусоиды перемещений с учетом сдвига фаз 0,- (гармонический синтез). [c.32]

Bin— постоянные коэффициенты в линейной части системы дифференциальных уравнений. [c.534]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

Решение сформулированной задачи Коши не вызывает затруднений. Вначале заметим, что фундаментальной матрицей Ф(х х , z) [150] линейной однородной системы дифференциальных уравнений [c.43]

Чтобы распространить теперь изложенные представления на задачи, отличные от задач для уравнения Лапласа, заметим, что в предыдущем изложении мы опирались на (а) линейность и эллиптичность уравнения Лапласа (б) существование фундаментального решения 1/г, подстановка которого совместно с функцией ф во вторую формулу Грина (в) приводила к основному тождеству (3). Таким образом, естественно рассматривать задачи, которые описываются линейной эллиптической системой дифференциальных уравнений [c.15]

Вопрос об устойчивости линейной системы (7) решается непосредственно на основе изучения характеристических чисел этой системы (а иногда еш,е и структуры элементарных делителей фундаментальной интегральной матрицы решений системы). Но, как видно, и для нелинейной системы вопрос об устойчивости получает полное решение, если все характеристические числа % отрицательные (а система первого приближения правильная или неправильная, но обладает дополнительными свойствами) или если есть хотя бы одно ки > 0. Мы видим, таким образом, что первый метод позволяет не только решать задачу об устойчивости нулевого решения (безусловной или условной), но и получать уравнения интегральных кривых. Вместе с тем, пользуясь этим представлением решений, можно получить различные дополнительные сведения о поведении решений рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Выделяя главную часть этих представлений, можно получить решение с необходимой точностью в виде элементарных функций. При этом мы увидим различное влияние на происходящий процесс параметров, входящих в правую часть рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, если имеет место асимптотическая устойчивость, то можно видеть, как эти параметры влияют на скорость приближения точки ( 1 ( ),. . Хп ( )) к началу координат при - оо. [c.71]

Главные колебания (9.9) дают возможность построить обш,ее решение — совокупность всех движений системы. Линейная однородная система дифференциальных уравнений (9.1) обладает следую-ш,им свойством линейная комбинация решений с постоянными коэффициентами является также решением, т. е. по главным колебаниям [c.39]

О структуре областей неустойчивости линейной канонической системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, Успехи мат. наук, 1955, 10, №1(63), с. 3-40. [c.269]

Таким образом, устойчивость лагранжевых решений в первом приближении исследована достаточно полно. Обилие работ, посвященных этой задаче, объясняется ее важностью для небесной механики и трудно преодолимыми сложностями исследования линейной неавтономной системы дифференциальных уравнений. [c.148]

Таким образом, фурье-преобразование интересующего нас трехчлена получается из фурье-преобразований координаты просто умножением на те самые множители dj (ii2), которые фигурировали выше при построении частотных характеристик. Поэтому в результате преобразования Фурье система дифференциальных уравнений (55) в случае Qi(t) = Q (i), Q/(i) = 0, (j = = 2,. .., n) переходит в систему линейных алгебраических уравнений относительно фурье-преобразований [c.254]

Для получения матрицы Ь при каком-либо значении V нужно интегрировать на ЭВМ систему линейных дифференциальных уравнений шестнадцатого порядка. Таким образом, нормализованная система дифференциальных уравнений запишется в виде (2.94), где [c.132]

Итак, дифференциальным уравнением малых колебаний системы при указанных силах является неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. [c.272]

Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы [c.392]

Если разделить обе части уравнения (4) на а и обозначить положительную величину = то получим дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы с одной степенью свободы в окончательной форме [c.394]

Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы. Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следует кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где = 0. [c.414]

Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний. Если разделить обе части уравнения (4) на а и обозначить положительную величину с а = к , то получим дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы с одной степенью свободы в окончательной форме [c.416]

Так как использование главных координат при учете линейного сопротивления не ведет к существенным упрощениям системы дифференциальных уравнений, но в то же время нарушает симметрию, то целесообразно использовать произвольные обобщенные координаты и q . В этом случае кинетическая и потенциальная энергии выражаются формулами (57) и (60), а диссипативная функция — (62). [c.468]

Мы получили систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Найдем приближенное решение уравнений (1). Для этого в членах, содержащих произведения X OS 2nt и у os 2ni положим х равным Xi и соответственно у равным уг- Тогда каждое из уравнений системы (1) приобретает вид уравнений вынужденных линейных колебаний при отсутствии сил сопротивления [c.434]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Применяя формулы линейного преобразования (b) предыдущего параграфа и формулы (II. 196), можно найти общее решение системы дифференциальных уравнений малых колебаний в координатах Х . То, что этим способом будет найдено общее решение в координатах ж,-, вытекает из линейности как дифференциальных уравнений движения, так и формул преобразования. [c.253]

Замена переменных, приводящая систему (2.92) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей G(t) неоднозначно. Изложим алгоритм построения линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (2.92) к нормальной форме [18]. Будем предполагать,чтохараюеристические показатели Ху системы (2.92) чисто мнимые, Ху lOj, а все мультиштикаторы [c.129]

Линейная колебательная система (линейная система)— колебательная система, колебания которой описываются лине11ными дифференциальными уравнениями и граничными условиями. [c.138]

В некоторых практических задачах в механизме с двумя степенями свободы бывает известен закон изменения одной из обобщенных координат и потому он не зависит от динамики рассматриваемой системы. Бывает и так, что одну из обобщенных координат с достаточной для практики точностью можно принять изменяющейся с течением времени по линейному закону. Хотя положение такой системы и определяется двумя обобщенными координатами, тем не менее уравнений динамики будет только одно, потому что вторая обобщенная координата имеет уже предписанный закон изменения и уравнение относительно этой координаты будет следствием первого уравнения системы. Дифференциальное уравнение такой системы можно получить из уравнений (174). Предполагая, что Ш4 = onst, получим [c.157]

Поскольку уравнение (3.12) описьтает некорректную задачу, при ее решении важное значение имеет априорная информация об искомой вектор-функции Pk(x). В рассматгиваемых задачах такая информация имеется. Так как напряженно-деформированное состояние тела описывается системой дифференциальных уравнений линейной теории упругости, то, как известно, напряжения (деформации) в объеме тела, в том числе и на поверхности L (сечение), должны быть функциями, принадлежащими классу С , т . функциями, непрерывными вместе со своими первыми и вторыми производными. Соответственно вектор напряжений Рк х) -= °ki x)nj(p ) при достаточно гладком разрезе, обеспечивающем rij(x) [c.69]

Функции Рк. х) и Qk x t) будем считать базисными (они заданы), а с помощью коэффициентов ak t) bk t)) можно удовлетворить уравнению (например, вида (2)) и дополнительным начальным или краевым условиям. Вид ряда (4) является стандарт ным при применении метода разделения переменных для линейных уравнений. Однако для нелинейных задач процедура получения коэффициентов ak t) существенно услож няется. Как правило, системы обыкновенных дифференциальных уравнений для ak t) оказываются зацепленными и нелинейными (например, когда Рк х) = sin А ж(со8 А ж) и (4) является рядом Фурье), рекуррентное точное определение ak t) становится невоз можным и необходимо соответствующие системы обыкновенных уравнений каким-то образом обрезать. Нахождение коэффициентов ak t) даже после обрезания нелинейной системы является достаточно трудоемкой операцией, особенно если требуется опреде лить много коэффициентов. [c.19]

Изучение малых колебаний неголономной системы, опирающееся на исследование линейных дифференциальных уравнений (2.5) и (2.6), по существу ничем не отличается от аналогичного исследования линеаризованных уравнений движения голономной системы. Так же, как и в случае голономной системы, при наличии решения, нарастающего во времени, результаты такого исследования будут справедливы лишь на конечном интервале времени и т. д. В этом смысле на неголономные системы полностью распространяются все положения обычной теории малых колебаний. Что же касается связи линеаризованных ураднений (2.5), (2.6) с движением исходной неголономной системы, то здесь есть особенность, присущая только неголономным системам. Эта особенность проявляется в наличии нулевых корней и в несимметричности матрицы коэффициентов характеристического уравнения, в случае консервативной системы. Обычный подход с позиций теории малых колебаний здесь не дает полного ответа ка вопрос об устойчивости и не позволяет вскрыть природу нулевых корней. Как мы увидим, эти вопросы тесно связаны между собой. Более подробное рассмотрение вопроса об устойчивости и малых колебаниях неголономных систем позволяет не только объяснить природу нулевых корней характеристического уравнения, но и обнаружить еще одну особенность неголо- [c.268]

В статье рассматриваются стопорные режимы в машинном агрегате с электроприводом постоянного тока. Механическая система схематизирована в виде дискретной цепной крутильной системы с конечным числом степеней свободы. Рассмотрены уточненное и упрощенное математические описания упруго-диссипативных свойств соединений. Динамические процессы в приводном двигателе с независимым возбуждением исследованы с учетом типовых САР скорости. При этом рассмотрены наиболее характерные примеры САР с линейными и нелинейными (задержанными) связями. На основе рассмотрения динамических процессов в механической системе и в проводном двигателе получена система дифференциальных уравнений движения с кусочно-постоянными коэффициентами при уточненном математическом описании динамических харак-геристик звеньев. Предложен эффективный численно-аналитический метод интегрирования системы уравнений движения. Рассмотрены возможные упрощения при приближенном исследовании стопорных режимов Получена система приближенных интегральнодифференциальных уравнений стопорного режима, для которой разработан метод отыскания решения в аналитическом виде. Изложенное иллюстрировано общим примером. Библ. Ill назв. Илл. 9. [c.400]

Но если эта область ограничена, то неизбежно возникает следующий весьма важный вопрос не уйдет ли система сама по себе в силу своих свойств за пределы той области, в которой применима наша идеализация Если этого не случиг я, если при начальных условиях, лежащих в пределах той области, в которой параметры системы можно считать постоянными, система и при всех дальнейитих движениях не выйдет за пределы этой области, то наша идеализированная задача позволит дать ответ на ряд вопросов, которые могут возникнуть при изучении данной системы. Для ответа на такие вопросы мы можем считать параметры системы не зависящими от состояния системы и описывать ее линейными дифференциальными уравнениями, т. е. рассматривать систему как линейную . [c.27]

Хорошо известно, что в физике существуют и иные подходы к концептуализации интуитивного понятия равновесия. И прежде всего это термодинамическое равновесие. В соответствии с этой концепцией система приходит в равновесие не потому, что ее влекут силы , а потому, что это наиболее вероятное состояние системы, состоящей из множества частей, обладающих независимой динамикой. Система может быть и механической, управляемой законами динамики, но ее поведение, если она очень сложна, в среднем начинает определяться совсем другими законами, которые очень непохожи на динамические. Это различие в математическом описании изменения состояний системы совершенно фундаментально. Вместо движения во времени система просто изменяет свое положение в пространстве макроскопических параметров, оставаясь на некой поверхности, называемой уравнением состояния. Время не входит в число параметров, важных для описания системы. Уравнение состояния задается линейным соотношением между дифференциалами макроскопических переменных, или так назьгоае-мым пфаффовым уравнением 4.1 . Меняя один или несколько макропараметров системы, мы просто сдвигаем ее по поверхности уравнения состояния. По существу, с математической точки зрения , это изучение дифференциальной топологии поверхности, определяемой уравнением состояния. [c.32]

Теорема 4.5.5. Процедура расширения пространства (q) конечна. Если она заканчивается, когда число линейно независимых операторов равно л 4- 1, то в системе дифференциальных связей го-лономные связи отсутствуют. Если число линейно независимых операторов, полученных процедурой расгиирения, меньше чем гг -Ь 1, то соответствующая всем этим операторам пфаффова система вполне интегрируема, а ее уравнения образуют го.лономные связи рассматриваемой механической системы. [c.330]

При расширении пространства (q) число уравнений Пфаффа уменьшается, причем согласно следствию 4.5.3 ни одного интеграла не пропадает. Пусть расширенная система дифференциальных уравнений в частных производных имеет п -Ь 1 — 1 линейно независимых уравнений, причем к < т. Тогда вновь полученная пфаффова [c.330]

Уравнение Ламе равносильно системе трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами относительно проекций вектора смещення. [c.241]

Так как использование главных координат при учете линейного сопротивления не ведет к существенным упрощениям системы дифференциальных уравнений, но в то же время нарущает симметрию, то целесообразно использовать произвольные обобщенные координаты [c.444]

Возвратимся вновь к кинетической и потенциальной энергиям, выраженным формулами (11.170) и (11.173). В некоторых простейщих задачах можно непосредственно, без упрощений, выразить кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами. В этих случаях, а также тогда, когда членами высщих порядков малости в выралсениях кинетической и потенциальной энергии можно обоснованно пренебречь, закон движения системы определяется из системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Если из некоторых соображений невозможно произвести упрощение выражений кинетической и потенциальной энергий, дифферехчциальные уравнения движения будут системами нелинейных уравнений второго порядка. [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...