ВОПРОСЫ СХОДИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ

При переходе от точной задачи (6.1) к приближенной (6.2) возникают вопросы сходимости приближенных решений к точным и устойчивости приближенных схем. [c.137]

ВОПРОСЫ СХОДИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ [c.85]

В процессе численного решения как прямой, так и обратной задач возникает вопрос сходимости приближений. Опыт выполненных расчетов и анализ сходимости предложенных методов позволили дать рекомендации [7, 11, 27] по выбору расчетных сеток и коэффициентов релаксации, введение которых ускоряет расчетный процесс, а во многих случаях оказывается необходимым для достижения сходимости. [c.204]

После введения указанных упрощений тело можно рассматривать как дискретную систему, т. е. как совокупность элементов, соединенных между собой в узловых точках. Разбиение конструкции на подобласти и выбор аппроксимирующих функций для каждой из них можно осуществить различными способами. При этом должны быть учтены особенности геометрии тела и обеспечена хорошая аппроксимация перемещений, деформаций и напряжений для всего тела в целом. В этом случае решение, полученное по методу конечных элементов, будет в пределе (при уменьшении размеров элементов) стремиться к точному. Более подробно вопрос о сходимости приближенного решения к точному будет рассмотрен в гл. 6. [c.108]

Отсюда следует, что для установления факта сходимости приближенного решения к точному достаточно решить вопрос об аппроксимации функций с помощью кусочно-полиномиальных сплайнов. [c.285]

Более сложный для исследования вопрос о сходимости приближенного решения, которое получаем, применяя проекционный метод к точному решению трехмерной задачи. Численный анализ ограничивается теми немногими случаями, когда возможны точные решения. Общие соображения по этому поводу [c.17]

Поскольку в зтой главе основной целью является построение метода решения систем вида (2.6), а не анализ сходимости приближенного решения, то все вопросы, обеспечивающие сходимость, сведем к одному требованию. [c.138]

Вопрос сходимости указанного процесса последовательных приближений теоретически не исследован. В силу единственности решения задачи можно лишь утверждать, что если приближения сходятся, то они сходятся к искомому решению. Примеры расчетов (один из которых приводится ниже) показывают, что даже при весьма грубом задании исходного распределения скорости процесс сходится очень быстро и уже третье приближение практически не отличается от второго. [c.158]

Следует заметить, что метод Фурье не является единственным методом решения задач этого рода. В работах Г. А. Гринберга ) путем применения метода функций Грина выводятся интегральные уравнения, численные решения которых могут проводиться при помощи последовательных приближений. Вопрос об эффективности метода, конечно, и в этом случае решается рассмотрением быстроты сходимости приближений. [c.399]

Если решение уравнения (12) каким-либо способом найдено, то оно может быть снова принято за приближенное решение уравнения (5), к которому методом Ньютона вновь может быть найдена поправка и т.д. Вопрос о сходимости этого процесса к решению уравнения (5) требует специального исследования. [c.629]

В условиях сформулированной задачи в [1] было построено приближенное решение в окрестности поверхности Rt, и для случая сжатия газа найдены предельные времена существования гладких потенциальных течений в зависимости от геометрии поверх ности So и закона движения поршня. Оказывается, что методом, использованным в [1], можно построить точное решение поставленной задачи в виде функционального ряда со специальными независимыми переменными. Однако вопрос об области сходимости этого ряда в общем случае остается открытым. [c.314]

Для решения полученного эквивалентного граничного интегрального уравнения используются, как правило, два основных метода решения — метод механических квадратур и метод последовательных приближений. В теории интегральных уравнений для случая одномерных уравнений доказано, что приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма (не расположенных на спектре), получаемое методом механических квадратур, сходится к точному решению при уменьшении размеров элементарных областей [152]. Вопрос о сходимости метода механических квадратур для сингулярных уравнений в двух измерениях остается открытым, в то время как сходимость последовательных приближений для уравнений теории упругости доказана. [c.50]

Компьютерная реализация этой схемы позволила сделать вывод о неудовлетворительной поточечной сходимости порождаемой ею эволюции приближения к решению уравнения (3.17). Стало ясно, что без подходяш ей регуляризации описанной процедуры не обойтись. Процесс построения эффективной регуляризации, как известно, является в высшей степени творческим и увлекательным. Однако авторов интересовал не ои сам по себе, а, в конечном счете, ответ на вопрос с какой скоростью должен двигаться шар в оптимальном режиме Поэтому был выбран другой способ приближенного решения уравнения (3.17). Он базируется на дискретной версии исходной задачи. [c.67]

Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем интегрирования уравнений движения (дискретных моделей). Вопросы, которые здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов сохранения. По существу речь идет о методах построения таких дискретных моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерывной модели законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема и т. д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений движения имеют чисто теоретическое значение, так как при использовании ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближенного решения рассматривается соответствующая ломаная с достаточно малым, но не равным нулю шагом интегрирования И. Одним из возможных методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип [c.290]

Всегда ли полученное решение справедливо Очевидно, оно становится неверным при очень малых ujq ujq 0), но не потому, что амплитуда в (12.6) стремится к бесконечности, а потому, что вся теория справедлива при Т 2ж/соо, и при Wo О неизвестно, какие Т выбирать. Второй вопрос насколько близко найденное решение к точному Если бы ряд (12.4) сходился равномерно, то вопроса о точности не возникало бы. Но равномерной сходимости обычно не бывает — с увеличением числа слагаемых в разложении точность не обязательно повышается. Впрочем, для нас это желательно, но не необходимо. Чтобы иметь право пользоваться приближенным решением, необходима лишь его асимптотическая сходимость, т. е. приближенное решение должно переходить в точное при стремлении к нулю малого параметра 1/Т (Т оо). [c.242]

Такая запись системы ( ) имеет то преимущество что если применить для ее интегрирования метод итерации (последовательных приближений) и взять в качестве исходного приближения решения плоской задачи и уравнения Пуассона, то при переходе от ге-го шага приближений к ( +1)-му все время приходится решать плоскую задачу и уравнение Пуассона. Очевидно, при переходе от данного шага к последующему меняются лишь правые части уравнений а краевые условия после начального шага можно считать однородными. Вопрос сходимости процесса, разумеется требует особого исследования. Для обеспечения сходимости [c.87]

Возникает вопрос о сходимости градиента в равномерной норме для обеспечения принадлежности приближенных решений шару В. Сразу отметим, что из среднеквадратичной сходимости градиента с первым порядком не вытекает сходимости в норме С, ибо оценка вложения функций v [c.254]

Здесь мы намерены дать такое доказательство, основанное на идеях, предварительный вариант которых был изложен в двух более ранних работах автора 112]. Будет развит аппарат теории возмущений, который позволит вычислять запаздывающие функции г в любом порядке по константе связи путем решения методом последовательных приближений уравнений условия унитарности с определенными граничными условиями. Будет строго доказано, что этот формализм приводит к конечным результатам во всех конечных порядках теории возмущений. Однако о важнейшем вопросе сходимости рядов теории возмущений мы не получим никаких сведений. Таким образом, всюду в дальнейшем любое утверждение типа Л справедливо в теории возмущений следует понимать Л справедливо в любом конечном порядке теории возмущений . [c.12]

Излагаемые ниже методы являются наиболее общими приближенными методами решения, применимыми принципиально для любых краевых задач пластичности. Вопросам сходимости этих методов, которые здесь не затрагиваются, посвящена достаточно обширная литература. В отдельных же случаях возможны более эффективные частные (в основном аппаратные ) методы, позволяющие получать даже точные решения. Описание таких методов будет проводиться по мере их применения к конкретным задачам в последующих главах. [c.71]

Реализация метода механических квадратур менее предпочтительна по сравнению с методом последовательных приближений. Для второй внутренней задачи получается вырожденная система, для которой требуется разработка специальных методов решения. Кроме того, вопрос о сходимости метода механических квадратур остается открытым, тогда как сходимость метода последовательных приближений доказана. [c.99]

N (где N — число элементарных областей). В случае задачи 11+ система будет вырожденной, что требует для ее решения применения специальных уточненных методов. Заметим также, что остается открытым вопрос о сходимости метода механических квадратур, поскольку необходимо доказать, что при увеличении числа N получаемое приближенное (в кусочно-постоянном представлении) решение стремится к точному. [c.575]

Следует отметить, что вопрос о сравнительной ценности двух указанных подходов к решению задачи с точки зрения сходимости и оценки погрешности последовательных приближений изучен недостаточно и заслуживает специального исследования. [c.162]

Вопрос об оценке погрешности решения в целом и о сходимости последовательных приближений в связи с начальными данными и [c.333]

Метод Кирхгофа имеет преимущество перед методом Коши— Пуассона благодаря большей наглядности и физической ясности в основу теории положены упрощения, имеющие вполне определенный физический смысл и очевидную преемственность от хорошо проверенной опытами теории балок. Введение понятий о внутренних усилиях и моментах еще более сблизило теорию пластин с теорией балок и привело к окончательному выяснению вопроса о граничных условиях для пластин, который, как было уже сказано, долгое время оставался предметом дискуссии. В то же время нельзя не отметить существенный недостаток этого метода, а именно — его ограниченность теория Кирхгофа является приближенной и не может быть развита в точную теорию. В этом отношении теория Коши—Пуассона была бы предпочтительней, если бы удалось, наконец, выяснить условия сходимости ее рядов, поскольку она позволяет, в принципе, неограниченно уточнять решение. [c.7]

Сходимость этого метода исследовалась различными авторами. Достаточно подробная библиография по этому вопросу содержится в [188, 235]. На практике при решении конкретных задач обнаружено, что скорость сходимости метода упругих решений весьма высока, так что достаточно нескольких приближений, чтобы получить необходимую точность. [c.46]

Но в классической теории возмущений, основанной на применении метода последовательных приближений, приводящего к рядам, расположенным по степеням возмущающих масс, уже в первом приближении получаются члены не только чисто тригонометрические, но и вековые (т. е. пропорциональные какой-либо целой степени времени), а также смешанные (содержащие произведения степени времени на тригонометрическую функцию), и такие же члены возникают и во всех последующих приближениях. Поэтому обрывками подобных рядов, сходимость которых к тому же остается неизвестной, для решения вопросов космогонического характера пользоваться нельзя, что и привело к необходимости вводить в небесную механику чисто математические задачи о свойствах бесконечных рядов, о их сходимости и об оценках их сумм, образуемых некоторым конечным числом первых членов. [c.329]

Системы соотношений вида (7.3.71) — (7.3.72) в случае краевых задач для дифференциальных уравнений более высокого порядка или для систем уравнений составляются аналогичным образом. Существует целый ряд вариантов разностных схем и методики решения получаемых систем конечных уравнений (см. [3], [9]). Важными являются вопросы о погрешности получаемых таким путем приближенных численных решений краевой задачи, а также о сходимости процесса при последовательном уменьшении интервала разбиения. [c.688]

Обсуждение важного вопроса о существовании и единственности решения для неявного отображения, а также условий сходимости последовательных приближений содержится в работе [474].— Прим. ред. [c.181]

Обычно решение, полученное методом конечных элементов, является приближением к истинному, нли точному, решению. Как близко это вычисленное решение к точному и сходится оно или нет — вот два важных вопроса. В этой главе с помощью эвристических аргументов оцениваются точность и сходимость метода конечных элементов. [c.168]

Во второй части, являющейся центральной, излагается собственно метод конечных элементов. Показана его связь.с методом Ритца (гл. 4), описаны некоторые конечные элементы сплошной среды (гл. 5), рассмотрены вопросы сходимости приближенного решения к точному (гл. 6). Для более глубокого понимания существа метода конечных элементов необходимо иметь хотя бы общую ориентировку в вопросах его сходимости. Именно такую ориентировку дает гл.6, не претендующая на математическую строгость, но содержащая зато доступное для инженера изложение этой темы. [c.7]

В главе 3 кратко излагаются вопросы сходимости приближенных решений метода Бубнова — Галёркина в следующей последовательности аппроксимирующие свойства конечных элементов, условия сходимости приближенных решений, выбор экономичных кубатурных формул, способы аппроксимации границы и главных краевых условий, повьппение точности приближенных решений на основе экстраполяции Ричардсона с разных сеток. [c.11]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Если рассматривается линейная упругая среда, то система (2.9) является линейной алгебраической. После решения каким-либо образом системы (2.9) приближенное решение задачи (2.1), (2.2) записывается в виде (2.4). Метод Ритца достаточно математически обоснован [60], причем для его сходимости необходимо число N в (2.4) устремить к бесконечности. Однако на практике, оказывается, не всегда получается тем лучший результат, чем взято большее число кооординатных функций. Оказывается, что при некотором достаточно большом N система Ритца (2.9) становится плохо обусловленной [60]. Поэтому важно в зависимости от применяемой ЭВМ и от желаемой точности решения исследовать вопрос о числе координатных функций. [c.254]

Вопросы сходимости решений, получаемых методами Ритца и Галеркина, и оценок даваемых ими приближений рассматриваются в многочисленных работах и монографиях. См. книги Л. В. Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, Гостехиздат, 1949 и С. Г. М и X л и н, Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950. [c.697]

Естественным методом приближенного решения задач об управлении системами с распределенными параметрами является замена соответствующих функциональных уравнений подходящими конечномерными разностными схемами. В результате получается задача об оптимальном управлении аппроксимирующей системой, описываемой уравнениями в конечных разностях или системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие аппроксимирующие задачи, по крайней мере, если речь идет о линейных системах, оказываются эффективно разрешимыми, и тем самым доставляется возможность численного решения исходной проблемы. К сожалению, и здесь вопросы обоснования подобной конечноразностной аппроксимации исследованы еще недостаточно. Следует, наконец, отметить одно существенное обстоятельство, характерное для аппроксимации задач об управлении системами с распределенными параметрами и проявляющееся, в частности, уже в задачах об управлении системами с последействием. Пусть, например, речь идет об оптимальном программном управлении, обеспечивающем предельное быстродействие для бёсконечномерной системы при ограничении [[ м [<Л , и пусть эта система, аппроксимируется конечномерной системой, описываемой системой из п обыкновенных дифференциальных уравнений. В большинстве случаев для конечномерных систем условие максимума, фигурирующее в принципе максимума, не вырождается, т. е.- соответствующее выражение Н [ , X ), "ф, м] зависит фактически от и, и тем самым доставляется достаточная информация о значениях ( ). Вследствие этого невырожденного условия максимума оказывается, как правило, что эти значения лежат на границе области 7 ( гг [[<Л ), и их можно найти, зная вектор Ь). Далее, оказывается, однако, что если даже и устанавливается сходимость аппроксимирующих управлений м ( ) к оптимальному управлению и Ь) исходной системы при г -> оо, то в весьма широких случаях эта сходимость имеет достаточно нерегулярный характер и, в частности, аппроксимирующие оптимальные движения сходятся к оптимальному движению исходной системы подчас лишь как к скользящему режиму (хотя весьма нередки случаи, когда на деле этот предельный режим может осуществляться обыкновенным управлением и ( ), регуляризирую-щим, следовательно, данный скользящий режим). На языке принципа максимума это выражается в том, что соотношение, определяющее u (t) из условия максимума, при п оо вырождается (в пределе оно оказывается уже не зависящим от и) и его формальная запись для соответствующей исходной системы с распределенными параметрами имеет лишь относительное значение, поскольку оно не доставляет необходимую инфор- [c.241]

Мы развивали в предыдущих параграфах разного рода приближенные решения дифференциальных уравнений, пользуясь ряда 1и, не обращая внимания на сходимость этих рядов, на условия возможности их дифференцирования и пр. Спрашивается, каки]У1 образом убеждаться что получаемые таким образом решения удовлетворяют предлолсенным уравнениям с тою степенью точности, которая в том вопросе, к которому дифференциальное уравнение относйтся, требуется. [c.186]

При рассмотрении того или иного метода численного обращения необходимо кратко оговаривать вопросы сходимости последовательности приближенных решений к действительным распределениям. Как и ранее, не будем прибегать к излишнему формализму, который во многих случаях весьма тривиален, особенно если предполагать, что искомая функция so r) в операторном уравнении Ks=p и алгоритмически получаемая последовательность приближенных решений принадлежат одному и тому же компакту. Практически, однако, подобное предположение часто нарушается, в чем нетрудно убедиться на примере обратной задачи светорассеяния. [c.58]

То что мы установили в этом параграфе для задачи Дирихле, легко распространяется на все другие задачи, рассмотренные в предыдущих параграфах. Однако так как эти результаты не решают в общем случае вопрос о сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не будем рассматривать другие задачи, и снова, сославшись на хорошие результаты, обнаруженные на численных примерах, свидетельствующие о возможности получения общего доказательства сходимости, дадим в следующих параграфах еще один способ приближенного решения интересующих нас задач, родственный первому и для которого удается доказать сходимость. [c.394]

Фундаментальное значение для метода малого параметра имеет вопрос о сходимости приближений. Для упругопластических задач этот вопрос нуждается в решении. В данной книге сходимость метода проиллюстрирована на двух примерах. Л. А. Галин [7] и Г. П. Черепанов [81] дали замечательные точные решения в напряжениях соответственно для двуосного растяжения толстой и тонкой пластины с круговым отверстием. Это пока единственные точные решения нетривиальных двумерных упругопластических плоских задач. Если ввести параметр б, характеризующий разность между растягивающими усилиями (при 6 = 0 имеет место осесимметричное состояние пластин), то решения Галина и Черепанова могут быть разложены в ряд по б. Показано, что четыре приближения, полученные непосредственно методом малого параметра, в точности совпадают с четырьмя членами разложений точных решений. Естественно, что единый алгоритм метода позволяет получить и последующие приближения, однако для описания точных решений в первом случае достаточно двух, а во втором — четырех приближений. Точные решения упругопластических задач основаны на знании аналитических выражений для напряжений в пластической зоне, для метода малого параметра не играют в принципе никакой роли отсутствие аналитичес- [c.8]

Методом Ритца можно получить ряд последовательно все более точных приближений. Вопрос о сходимости этих приближений к искомому решению вариационной задачи, а также об оценке погрешности этого метода представляет собой относительно трудную задачу 28, 411. [c.109]

Как указывалось в 4 гл. 5, если рассмотреть задачу с начальными данными, то мояшо получить строгое доказательство того, что разложение Гильберта является асимптотическим (при 8- 0) решением уравнения Больцмана и что то же самое справедливо для процедуры Чепмена — Энскога, оборванной на приближении Навье — Стокса. Из этих результатов ясно, что рассмотренные разложения, действительно, дают разумные приближения (при определенных значениях параметров), но вопрос о сходимости разлоя ений и, следовательно, о самом существовании нормальных решений не проясняется. Ввиду того что сходимости иногда придают большое значение (хотя при обычных применениях основное свойство ряда — его асимптотичность, а не сходимость), обсудим кратко вопрос о сходимости разложения Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана. [c.168]

Сходимость этого метода исследовалась различными авторами. Достаточно подробная библиография по этому вопросу содержится в [19], [39]. Па практике при решении конкретных задач обнаружено, что скорость сходимости метода упругих решений весьма высока, так что достаточно несколько приближений, чтобы получить необходимую точность. Папример, нри решении задачи о переменном упругопластическом изгибе круглой трехслойпой пластины (см. 8.4) понадобилось пять итераций. [c.166]

Дело в том, что построенные аналитические теории всегда оказываются приближенными и сводятся, по существу, к нахождению некоторого количества членов бесконечных рядов ( обрывков ), о сходимости которых в большинстве Случаев ничего не известно, а математические оценки возникающих ошибок представляют почти безнадежно трудную задачу. Поэтому, естественно, всегда возникает вопрос о какой-либо проверке качества построенной аналитической теории, т. е. вопрос о ее соответствии истинному движению или, лучше сказать, тощюму (нам не известному) решению дифференциальных уравнений. [c.349]

А. С. Гиневским и Я. Е. Полонским в 1962 г. были опубликованы расчеты (по способу дискретных вихрей) решеток из двухпараметрических дужек с максимальным прогибом до 30% и его положением на 30—50% хорды. На основании результатов этих расчетов были получены полезные интерполяционные формулы для основных гидродинамических параметров решеток используемых в осевых вентиляторах и компрессорах. Несколько позже вихревой метод был запрограммирован и применен в практических расчетах решеток паровых турбин и стационарных газотурбинных двигателей (М. И. Жуковский, Н. И. Дураков и О. И. Новикова, 1963 В. М. Зеленин и В. А. Шилов, 1963). В теоретическом отношении и для реализации численных методов важны вопросы разрешимости уравнений, сходимости последовательных приближений и оценки точности решений. В теории гидродинамических решеток эти вопросы изучены еще недостаточно они более продвинуты в теории упругости в связи с близкими задачами о напряжениях в плоскости, ослабленной бесконечным рядом равных вырезов (Г. Н. Савин, 1939, 1951 С. Г. Михлин, 1949) и их двоякопериодической системой (Л. М. Куршин и Л. А. Фильштинский, 1961 Л. А. Филь-штинский, 1964). [c.116]

После того как былн выяснены особенности свойства сходимости ряда (6), можно было бы поставить вопрос, имеют ли вообш е получающиеся в теории возмущений ряды действительный математический смысл Если бы для достижения этого захотели бы ограничить средние движения, а значит, также и V, такими значениями, для которых ряд (6) сходится, тогда на практике можно было бы получить этим путем сколь угодно хорошее приближение, так как точки сходимости образуют повсюду плотное множество. Но в действительности на этом пути мы только переместили бы трудности, а не преодолели бы их. По теореме Коши— Пуанкаре известно, что координаты в задаче трех тел суть аналитические функции постоянных интегрирования, и едва ли можно объяснить, как можно использовать решение дифференциальных уравнений, которые не обладают этим свойством, для определения постоянных интегрирования из наблюдений. [c.504]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...