Линейные диссипативные системы

КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ [c.325]

КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ДИССИПАТИВНОЙ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [c.325]

Линейные диссипативные системы [c.358]

Доказательство. При отсутствии диссипативных сил ij = О и, следовательно, не выполнен критерий Гурвица, необходимый для асимптотической устойчивости линейной автономной системы. [c.201]

Ограничивая качественное рассмотрение свободных колебаний в линейных и нелинейных диссипативных системах разобранными примерами, отметим, что в более сложных случаях, особенно для нелинейных задач, целесообразно пользоваться методом изоклин, построение которых позволяет составить представление об основных чертах фазового портрета исследуемой системы и, тем самым, о характере совершаемых ею движений. При этом, как уже указывалось, в диссипативных системах мы должны получить независимо от начальных условий такие движения, которые приводят систему к устойчивой особой точке — состоянию покоя, т. е. к диссипации всей энергии, связанной с изучаемым движением. [c.55]

Как и исследование линейных систем, изучение вынужденных колебаний в идеализированных консервативных системах дает нам очень много ценных сведений о протекании самого явления в реальных диссипативных системах. Для нелинейных систем это, вероятно, еще более справедливо, так как для большого класса явлений в таких системах основным фактором, определяющим характер вынужденных процессов, служат именно нелинейные свойства элементов, а не наличие затухания, как было в линейных системах. [c.98]

Из выражения для А , ясно видна роль нелинейности сопротивления (Р) системы. Если Р О, т. е. если уменьшать нелинейность системы, то амплитуда параметрических колебаний будет постепенно увеличиваться, и в пределе дтя линейной системы должна обратиться в бесконечность, что согласуется с теорией параметрического возбуждения линейных диссипативных систем, [c.165]

Диссипативные системы. Гироскопическая устойчивость. Рассмотрим следующую систему N линейных дифференциальных уравнений с действительными постоянными коэффициентами [c.367]

Широкополосное (шумовое) воздействие. В процессе работы колесо подвергается силовому воздействию типа широкополосного шума, что отражается в спектре отклика на него. Когда линейная упругая система находится под воздействием широкополосного шума, в окрестности собственных частот ее спектральная плотность отклика возрастает, образуя пик. Предположим, что вблизи собственных частот спектральная плотность постоянна (белый шум). Тогда кривая отклика в этих окрестностях будет совпадать с соответствующими резонансными кривыми, максимумы кривой отклика будут отвечать частотам, близким ж собственным частотам системы. Таким образом, по спектру отклика на широкополосный шум можно судить о величине собственных частот системы. Если же собственные частоты достаточно далеки друг от друга (когда резонансные колебания по различным собственным формам допустимо рассматривать как колебания независимых осцилляторов), то по ширине резонансных пиков можно оценивать и диссипативные свойства системы [33]. [c.193]

Цля диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой (рис. 1, а) суммарная силовая характеристика показана на рис. 1,6 площадь, ограниченная гистерезисной петлей, по величине равна работе силы сопротивления за один период движения. При нелинейной восстанавливающей силе осевая (скелетная) линия гистерезисной петли — криволинейная (рис. 1, в). Если при заданной амплитуде изменяется частота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояния между ветвями петли и ограниченная ими площадь, как правило, изменяются, причем законы этих изменений зависят от характеристики сопротивления исключениями служат случаи кулонова трения, а также внутреннего трепия в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний (рис. 1,е). [c.17]

Вынужденные колебания. Решение задачи о вынужденных колебаниях в диссипативных системах с конечным числом степеней свободы может быть получено с использованием нормальных координат недиссипативной системы. В случае, если матрица В является линейной комбинацией матриц А и С, это решение будет точным. При произвольной матрице В придется пренебречь, как указано выше, недиагональными элементами преобразованной матрицы демпфирования. [c.326]

Для диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой осевая скелетная) линия петли гистерезиса представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 6.5.3, а). При нелинейной восстанавливающей силе скелетная линия петли гистерезиса -криволинейна (рис. 6.5.3, 6). Если при заданной амплитуде изменяется часг ота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояние между ветвями и ограниченная ими площадь, как правило, изменяется, причем законы этах изменений зависят от характеристики трения исключениями служат случаи кулонова трения (рис. 6.5.3, в), а также внутреннего трения в материале, когда гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний [66]. [c.365]

Свободные колебания диссипативной системы (F (i) = О, г >> 0) постепенно затухают, причем их частота не остается постоянной, а огибающая отличается от экспоненты, характерной для линейных систем этой задаче, в частности, посвящена работа Л. Г. Лойцянского (1954). [c.95]

Решение уравнения (В2.27-44) для атомной двухуровневой системы делает возможным вычисление времен релаксации и ширин линий (ср. п. 3.113). Для расшифровки эмпирических результатов часто требуется такое описание диссипативной системы и взаимодействия, которое исходит из названных выше главных свойств. Так, в ряде проблем оказывается необходимым применение более сложных операторов взаимодействия, в которых операторы атомной и диссипативной систем не входят исключительно в линейном виде [В2.27-2]. [c.118]

Вначале построим методами статистической механики уравнения для определения средних характеристик движения системы частиц переменной массы. Ограничимся линейными диссипативными силами. Поведение системы частиц в газовом потоке описывается обобщенной функцией Гамильтона (6.67). Кинетическое уравнение для этой системы частиц, согласно со-отнощениям (6.67), (6.72), (6.98), (6.99), в пространстве Г будет иметь вид [c.177]

Вывод макроскопических законов для линейных диссипативных систем. В предыдущих рассуждениях мы использовали-в качестве отправного пункта соотношения Онсагера. Однако возможен и другой путь. Именно, мы можем проследить действительное изменение макроскопических переменных в том случае, когда система находится не в полном равновесии, и найти законы их изменения. Для этого необходимо лишь слегка модифицировать предыдущие вычисления [22]. [c.387]

Потери энергии в нелинейных диссипативных системах вызываются большей частью сухим (кулоновым) трением, иногда в сочетании с вязким, а также внутренним неупругим сопротивлением, которое возникает в материале частей системы, деформирующихся при колебаниях. Все эти сопротивления, как правило, нелинейны и не линеаризуемы. Расчет колебаний систем с такими сопротивлениями представляет существенно нелинейную задачу, которая не может быть решена методами линейной теории. [c.490]

Аналогично рассматривается и случай двух ударов за период. Замкнутая фазовая траектория для этого случая представлена на рис. 2.43. Здесь проявляется принципиальное отличие автоколебательных систем от диссипативных и консервативных систем. В диссипативных системах незатухающие колебания невозможны по определению (см. 2.12). В консервативных системах (см. 2.11) возможны периодические колебания и, следовательно, возможны замкнутые фазовые траектории в фазовом пространстве этих систем. Однако там всегда был континуум неизолированных замкнутых кривых. Отметим еще, что в любых линейных системах замкнутые изолированные траектории также невозможны. [c.91]

Линейное сопротивление и диссипативная функция. Вели на точки системы с одной степенью свободы кроме потенциальных сил действуют еще силы сопротивления, то дифференциальное уравнение Лагранжа выразится в форме [c.434]

Исследовать структуру решений линейной системы вблизи положения равновесия, когда на нее кроме потенциальных сил действуют диссипативные силы с отрицательно определенной по скоростям диссипативной функцией Рэлея. [c.624]

Это соотношение показывает, что диссипативная функция Ф характеризует скорость убывания полной механической энергии системы вследствие действия сил линейного сопротивления. На убывание полной механической энергии указывает знак минус в (22). Диссипативная функция Ф согласно (16) является величиной положительной. [c.402]

Дифференциальное уравнение малых собственных движений при действии линейного сопротивления. Вблизи положения равновесия системы имеем следующие выражения для кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции [c.424]

Так как использование главных координат при учете линейного сопротивления не ведет к существенным упрощениям системы дифференциальных уравнений, но в то же время нарушает симметрию, то целесообразно использовать произвольные обобщенные координаты и q . В этом случае кинетическая и потенциальная энергии выражаются формулами (57) и (60), а диссипативная функция — (62). [c.468]

Именно, если имеется некоторая механическая система, движение которой сопровождается диссипацией энергии, то движение может быть описано посредством обычных уравнений движения, в которых надо только к действующим на систему силам добавить диссипативные силы или силы трения, являющиеся линейными функциями скоростей. Эти силы могут быть представлены в виде производных по скоростям от некоторой квадратичной функции скоростей, называемой диссипативной функцией R. Сила трения /а, соответствующая какой-нибудь из обобщенных координат qa системы, имеет тогда вид [c.178]

Теорема 5. Если ускоряющие силы доминируют над диссипативными, то система будет неустойчива при любых других линейных и нелинейных силах. [c.200]

В гл. 15 исследована нелинейная (и очетп. кратко - линейная) диссипативная система только с одной степенью свободы. Осталась в стороне вся теория вьшужденных колебаний в линейных системах с двумя и И степенями свободы. Эта теория подробно изложена в лекциях Л.И. Мандельштама [17], в уже упоминавшейся книге С.П. Стрелкова [24] и в учебных пособиях [3,21]. Краткий анализ нелинейных систем с П степенями свободы дан в гл. 5 справочника [8] и в цитированной в нем литературе по механическим колебаниям (в той же главе можно найти дополнительные сведения и по колебаниям нелинейной системы с одной степенью свободы). Теория неавтономных квазилинейных систем с двумя степенями свободы разработана Н.В. Бутениным [5, 6] и получила дальнейшее развитие в зарубежных работах [9]. [c.325]

Тегрсма 2, Равновесие системы, находящейся под действием произвольных неко/1сервативных позиционных сил и линейных диссипативных сил, всегда неустойчиво. [c.193]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Совери енно ясно, что в линейной и нелинейной диссипативных системах невозможен автоколебательный процесс. Для осуществления автоколебательного процесса необходимо, чтобы функция днсснпацин F (t) была знакопеременной. При этом в течение одной части периода происходит пополнение колебательной энергии (что можно описать с помощью известного нам понятия отрицательного сопротивления R ), в течение другой его части — уменьшение колебательной энергии. Тогда можно обеспечить энергетический т [c.187]

Существует связь между Ф. физ. величин в равновесном состоянии и линейными диссипативными процессами, вызванными как внеш. механич. возмущениями (электропроводность, реакция на внешнее переменное маг.н. поле), так и внутр. неоднородностями в системе (напр., диффузия, теплопроводность и вязкость). Соотношения, связывающие характеристики линейных диссипативных процессов (проводимость, магн. восприимчивость, коэффициенты диффузии, теплопроводности, вязкости и т. д.) с пространственно-временными корреляционными ф-циями <А (г, t)AB(r, )> флуктуирующих динамич. переменных, наз. флуктуационно-диссипативньши теорема.ии. К флук- [c.326]

Все остальные системы можно отнести к неконсервативным. Будем считать, что во всех колебательных системах имеются позиционные консервативные (квазиупру-гие) силы. Системы, находящиеся под действием диссипативных сил, будем называть диссипативными системами. В зависимости от характера сил диссипации будем различать системы с полной диссипацией, с неполной диссипацией и с отрицательной диссипацией. Первые два типа систем называют также пассивными системами. Системы с отрицательной диссипацией и (или) с позиционными неконсервативными силами относят к активным системам. В пассивных системах возможны либо стационарные, либо затухающие колебания. В активных системах возможно самовозбуждение колебаний. Активные линейные системы являются линейными моделями автоколебательных или потенциально автоколебательных систем. [c.90]

Использование нормальных координат. Из алгебры известно, что не существует такого линейного преобразования, которое одновременно приводило бы к диагональному виду три матрицы. Поэтому ра деление системы (6.1.33) на независимые уравнения возможно, если матрицы А, В и С линейно зависимы, а именно В=2еА+2с1С. В ЭТОМ случае нормагщные координаты совпадают с нормальными координатами не диссипативной системы, а преобразование (6.1.27) после умножения (6.1.33) Сздева на матрицу № (6.1.26) приводит к системе независимых уравнений [c.326]

Из оценки (5.5) и асимптотической устойчивости линейной системы (5.3) следует диссипативность системы (3.11), (3.12). [c.277]

Для линейной и нелинейной оптики представляют 1нтерес результаты воздействия электромагнитного излучения на реальную атомную систему. Но достаточно точное описание свойств атомной системы требует, вообще говоря, учета влияния диссипативной системы. В разд. В2.27 были выведены уравнения движения для типичных операторов реальной атомной системы, на которую воздействует диссипативная система. При этом имело важное значение то, что диссипативная система характеризуется корреляционным временем Тс. Оно считалось малым по сравнению с тем временем, в течение которого типичные операторы атомной системы претерпевают существенные изменения. Действующее на атомную систему электромагнитное излучение мы будем считать состоящим из монохроматических или квазимоно- [c.207]

Аттрактор - это 1 онечное состояние или конечный ход эволюции диссипативной системы, т.е. финальное состояние любой траектории в пространстве. При этом его изображение, как показал Н. Пригожин, может быгь не только линейным (или точечным), но и поверхностным или объемным. Странный аттрактор характеризуется не целыми, а дробными размерностями и относится к фрактальным объектам. Примером такого объекта в трибологии является конструктивная пара седло клапана - клапан. [c.434]

Известны попытки построения обобщенной функции Лагранжа для частных случаев линейных диссипативных систем [4, 27, 84, 115—117]. При этом существует два способа вводится дополнительная система, поглощающая энергию, выделяемую диссипативной системой, или отыскивается замена переменных, преобразующая уравнения движения диссипативных систем в уравнения с нулевой правой частью. В монографии [84] наряду с заданной системой рассматривается ее зеркальное отражение , обладающее отрицательным трением . Полная энергия двух систем остается постоянной. Построение обобщенной функции Лагранжа производится на примере системы гармонических осцилляторов со стоксовским трением. При этом [c.157]

Будем предполагать, что множество всех возможных состояний и", m=l,2,...N (соответствующих = -оо и зависящих от и , где r—l,2,...ni) и множество всех возможных состояний vf, j—l,2,...N (соответствующих = оо и зависящих от и+, где 6—1,2,..П2) пересекаются. Так например, в упоминавщем-ся случае, когда поверхность разрыва разделяет проводящую и непроводящую среды, в проводящей среде Е, В и v связаны при 1 1 = оо соотношением Е = В х (v/ ), а в непроводящей среде, где Е, В VIV независимы, имеется, однако, подмножество состояний, где Е = В X v/ ). Итак, если множество состояний пересекается с множеством состояний то р и постоянны в объединении этих множеств, что и принимается в дальнейшем. Поскольку при rnui > О в диссипативной системе все возмущения затухают в направлении своего распространения, то р и q равны соответственно числу различных малых (линейных) возмущений, описываемых полной системой уравнений, которые распространяются направо и налево. [c.105]

В заключение приведем результаты физического эксперимента с простой диссипативной системой КЬС-контуром), в котором режим стохастических автоколебаний также возникал в результате последовательности удвоений [22]. Исследовались колебания в последовательном нелинейном ЛХС-контуре, на который подводился периодический сигнал с частотой, равной собственной частоте контура в линейном приближении (/о = 1,784 МГц). В качестве нелинейного элемента использовался полупроводниковый диод, емкость которого зависела от напряжения по формуле С и) = Со(1 - г//г/о)-° 4. с ростом амплитуды внешнего воздействия в спектре колебаний появлялись последовательно субгармони- [c.482]

В качестве другого примера диссипативной системы мы рассмотрим осциллятор с сухим трением (рис. 115), причем для простогъ будем считать, что при отсутствии трения система представляет гармонический осциллятор. Такую задачу об осцилляторе, который при отсутствии трения был бы гармоническим, мы уже рассматривали в гл. I, 4, предполагая, однако, при этом, что сила. трения пропорциональна скорости. Этот закон трения удовлетворительно определяет сопротивление движению тела со стороны жидкой или газообразной среды при не слишком больших скоростях. Однако этот линейный закон совершенно не отображает закономерностей сухого трения — трения между твердыми поверхностями (без слоя смазки между ними), имеющегося в рассматриваемой колебательной системе. Достаточно хорошо основные черты этих закономерностей, во всяком случае в области малых скоростей, передаются предположением о постоянном [c.175]

Диссипативные системы характеризуются рассеянием энергии за счет сопротивлений, что при отсутствии поступления энергии извне обусловливает затухание колебательного процесса. Мы рассмотрим здесь две наиболее существенные нелинейные задачи свободные колебания системы с сухим, или кулоновым трением и свободные колебания с квадратичным сопротивлением. В обоих случаях ограничимся линейной восстанавливающей силой. В заключение рассмотрим графический метод, предложенный французским инженером Льенаром и одинаково эффективный в применении к диссипативным системам и к системам автоколебательным, которым посвящен следующий параграф. [c.121]

В обычных жидкостях (а также в нематических жидких кристаллах) существует лишь одна ветвь слабозатухающих звуковых колебаний — продольные звуковые волны. В твердых криста ллах и аморфных твердых телах существуют три звуковые (акустические) ветви линейного закона дисперсии колебаний ( 22, 23). Одномерные кристаллы — смектйки — и здесь занимают промежуточное положение в них имеются две акустические ветви Р. G. de Gennes, 1969), Не интересуясь здесь коэффициентами затухания этих волн, и имея в виду лишь определение скоростей их распространения, пренебрежем в уравнениях движения всеми диссипативными членами. Полная система линеаризованных уравнений движения складывается из уравнения непрерывности [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...