Методы, использующие ряды Фурье

Методы, использующие ряды Фурье [c.204]

Методы, использующие ряды Фурье, основаны на том факте, что точное рещение конечно-разностного уравнения (3.365) может быть представлено в виде разложения по собственным функциям, содержащего конечное число членов. Например, для прямоугольной области размером XX У с количеством внутренних точек МХ (N =/ 2,М = J — 2) при постоянных Ал и Аг/ и при г)) = О на всех границах точное решение уравнения (3.365) можно записать в следующем виде (Дорр [1970]) [c.204]

Все эти методы обладают одним или несколькими из следующих недостатков ограничены ) прямоугольными, Ь- или Т-образными областями и выбором граничных условий типа г]) = 0 требуют большого объема памяти ЭВМ неприменимы в случае системы координат, отличной от декартовой из-за накопления ошибки округления могут быть использованы лишь для областей ограниченного размера (т. е. для ограниченных значений I и /) накладывают ограничение на выбор узлов расчетной сетки (например, /—1 и 7—1 должны иметь вид 2 , где /г — целое число) требуют громоздких предварительных вычислений для построения сетки приводят к сложным программам и алгоритмам. Однако для решения больших задач все большее применение находят именно прямые методы, особенно методы, основанные на разложении в ряды Фурье. Наиболее гибкий и простой по сравнению с другими прямыми методами метод расчета распространения вектора ошибки обсуждается в разд. 3.2.8 в разд. 3.2.9 рассматриваются методы, использующие ряды Фурье (и играющие все большую и большую роль). [c.177]

Методы, использующие ряды Фурье, основаны на том факте, что точное решение конечно-разностного уравнения (3.365) может быть представлено в виде разложения по собственным функциям, содержащего конечное число членов. Например, для прямоугольной области размером с количеством внут- [c.204]

Первая форма решения для установившегося режима. Воспользуемся решением в виде (4.72), полученным с помош ью метода условного осциллятора. Поскольку в (4.72) используется разложение в ряды Фурье, эта форма решения более эффективна, когда функция W t) непрерывна и дифференцируема, что обычно свойственно цикловым механизмам с непрерывным движением ведомого звена типа рычажных, эксцентриковых и т. д. В нашем случае при учете (4.25), (5.5) и (5.8) [c.168]

Для решения этой же задачи могут быть использованы и другие методы, такие, как ряды Фурье, сплайн-функции, основанные на полиномах. Для всех этих методов интерполяция Z х, у) относительно заданных Z (х,-, yi) может быть построена при использовании интерполяции Z (х, yj) для каждого /. В результате всегда имеем гладкую функцию. [c.145]

Затем были проведены эксперименты по определению динамических характеристик выхлопной трубы, с тем чтобы по ним подобрать соответствуюш,ее демпфирующее покрытие. Для нахождения передаточных функций и форм колебаний, необходимых для расчетов, использовались как аналоговые, так и цифровые ЭВМ, причем в первых применялся метод передаточных функций, а во вторых — численное разложение в ряды Фурье. Патрубок выхлопной трубы прикреплялся болтами к жесткой плите, что имитировало реальные граничные условия. [c.359]

Для получения исходных данных, необходимых для применения численного разложения в ряды Фурье, использовался метод импульсов. К патрубку прикладывался импульс внешней силы, причем одновременно замерялись величина этого импульса с помощью динамометрического датчика и динамическая реакция системы в этой же точке с помощью акселерометра. Входной и выходной сигналы затем пропускались через фильтры, преобразовывались в цифровую форму и использовались для численного преобразования Фурье, в результате чего были получены зависимости амплитуд и фаз от частоты колебаний. Затем вычислялось отношение динамической реакции к возбуждающей колебания силе и получали зависимость податливости от частоты колебаний, т. е. динамическую реакцию. Типичная зависимость податливости от частоты колебаний в точке приложения возмущающей силы показана на рис. 6.73. Вследствие большого числа наблюдаемых форм колебаний в дальнейшем были рассмотрены лишь типичные резонансные частоты колебаний и соответствующие им формы. Этими частотами были 52,7 84 207 и 339,8 Гц. Формы колебаний получались методом импульсов путем построения графиков передаточных функций для различных точек выхлопной трубы. Известно, что построе- [c.359]

Этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения в ряд Фурье по малому параметру правых частей уравнений (5.5). В дальнейшем ограничимся, как уже отмечалось, первым приближением, что соответствует исследованию основного резонанса и позволит определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмуш,ений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой вывод является вполне оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмуш,ениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений % и г[ значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превосходит (но не превосходит величины /Ро), то возможно применение стохастических методов на основе замены реального процесса возмуш,ений % и if] эквивалентными S-коррелированными и использование аппарата процессов Маркова и уравнения ФПК [81 ]. Стохастические методы, связанные с использованием процессов Маркова, могут быть использованы при любом времени корреляции, если уменьшать интенсивность флюктуаций возмущений, оставляя скорость ее изменения постоянной. В этом случае время релаксации амплитуды и фазы будет увеличиваться и условие < Тр будет выполненным. [c.201]

Решение уравнения (1) при прямоугольно пульсирующем законе изменения частоты собственных колебаний может быть построено методом кусочно-линейного припасовывания [6]. Однако эта методика приводит к довольно громоздким выкладкам, как следует, например, из работ [3, 4]. Поэтому можно, используя разложение функции р (t) в ряд Фурье и оставляя в дальнейшем только первую гармонику этого разложения, гораздо проще получить основные результаты. [c.115]

В практике, как правило, колебания отличаются от синусоидальных и носят более сложный характер. В этом случае для формального математического описания периодических колебаний используется их спектральное разложение, основанное на рядах Фурье. Согласно методу Фурье периодическую функцию / (t) периода Т можно разложить в ряд по отдельным гармоникам [c.9]

При приближенном решении нелинейных уравнений методом гармонической линеаризации используется лишь первая гармоника разложения функции в ряды Фурье [39,70]. [c.468]

При применении метода гармонической линеаризации нелинейностей используется лишь первая гармоника от разложения нелинейной функции в ряд Фурье. Поэтому условием применимости метода гармонической линеаризации к системам с сильно выраженными нелинейностями является требование, чтобы приведенная линейная часть системы автоматического регулирования обладала свойством фильтра. Как показывает последний вывод из результатов экспериментальных исследований, гидравлические следящие приводы удовлетворяют этому условию. [c.130]

Эти решения обычно более удобны для численных расчетов, чем ряд Фурье (6.8). Кроме того, данный метод оказывается достаточно общим и формулы (6.14) и (6.18) непосредственно пригодны для любой задачи, в которой решение для постоянных внешних условий выражается в виде суммы ряда экспонент с показателями -—aj), а решение для внешних условий, задаваемых (6.9), можно получить при помощи теоремы Дюамеля. Таким образом, используя результаты 8 и 12 настоящей главы с соответствующими значениями а . легко записать решения задач по теплообмену стержня со средой, имеющей температуру или с подводом тепла, задаваемым [c.112]

Как и в 14 гл. I, общую задачу можно свести к задаче установившейся температуры, какой-то заданной начальной температуры и нулевой температуры граничной поверхности (или теплообмена со средой нулевой, температуры). Если начальная температура представляет собой произведение функций X и у, то, как и выше, решение можно записать в виде произведения в противном случае следует использовать теорию двойных рядов Фурье и решение примет вид двойного ряда. Этот метод будет детально рассмотрен для прямоугольного параллелепипеда в 3 и 6 следующей главы. Кроме того, в 4 и 5 гл. XIV мы покажем, что для той же цели можно применить функцию Грина ). Общий обзор применяемых методов приведен в 1 следующей главы. [c.175]

Если начальная температура или граничные условия таковы, что метод, изложенный в 15 гл. I, оказывается непригодным, то используется комбинация рядов Фурье и рядов Фурье — Бесселя. Наряду с этим можно применить функцию Грина (см. гл. XIV) или непосредственно использовать, как в гл. XV, преобразование Лапласа ). [c.225]

Полученное решение можно использовать для оценки точности общего метода решения подобных задач в рядах Фурье, так как рассмотренная выше задача, может быть решена при соответствующем задании коэффициента Рп и использовании общей системы уравнений для сплошного ложемента, полученной в разд. 2.1. Приведем соответствующий пример расчета. [c.51]

Для построения решений линейных неоднородных систем (2.10) обычно используются отрезки рядов Фурье по подходящим системам функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям. Такая схема малого параметра широко используется при исследовании конвекции в замкнутых полостях различной формы с условиями прилипания на границах (тогда интегрирование в (2.12) ведется по объему полости G). Однако, при изучении конвекции в горизонтальном слое обычно используется другой вариант метода малого параметра. Для представления основных функций также применяются формулы (2.8), но число е уже не определяется из (2.9), а для числа Релея Ra вводится представление [7 [c.374]

Основным назначением любого канала (системы) связи является получение и воспроизведение информации, и фундаментальным параметром, который наиболее полно характеризует такую систему служит информационная емкость. Независимо от природы системы будь то электрическая, оптическая или электрооптическая система она предназначена для обработки информационного сигнала, кото рый может быть либо полностью детерминированным, либо стати стическим. В детерминированном случае сигнал обычно задается в виде ряда или интеграла Фурье, т. е. он является периодической или затухающей волной, величина которой точно определена для всех значений переменной (время или пространство). С другой стороны, статистические сигналы для любых значений независимой переменной (время или пространство) не принимают определенных значений, а нам известны лишь их вероятности. Анализ и синтез информационного содержания этих статистических сигналов, обычно называемых случайными , проводят статистическими или вероятностными методами. В сущности случайные сигналы в бесконечных пределах не имеют фурье-образов, и приходится обращаться к статистическому анализу. Статистические методы можно применять и к детерминированным сигналам, однако наиболее широкое применение они нашли в анализе случайных процессов. В оптике такие методы используются как основной аппарат в построении классической теории частичной когерентности, при анализе шумов зернистости фотографических материалов и исследовании когерентных оптических шумов, называемых спеклами . [c.83]

В настоящее время разработано несколько практических способов численного обращения преобразования Лапласа, которые основываются на определении численных значений оригинала по соответствующим значениям изображений в равноотстоящих точках на действительной оси [73]. Для решения рассматриваемой задачи используется метод численного обращения преобразования Лапласа с помощью ряда Фурье [125]. Сущность его состоит в том, что известный интеграл Лапласа [c.290]

В практике инженерных расчетов температурного режима многослойных аэродромных покрытий могут быть использованы численные методы обращения преобразования Лапласа при помощи ортогональных многочленов Лежандра и рядов Фурье с использованием алгоритма, представленного на рис. 8.1. Это позволяет получить решения задач с достаточной для практики точностью, достижимой с помощью ПЭВМ, и относительно небольшим временем вычислительного процесса при простоте в программировании. [c.307]

Для того чтобы получить наиболее полное представление о применении методов, использующих ряды Фурье, нужно ознакомиться со статьей Лебейля [1972]. [c.207]

Связь между трехмерными уравнениями теории упругости и частными теориями проиллюстрируем на примере плоской деформации бесконечной упругой пластины (плоского слоя). Для построения приближенных уравнений используем метод представления перемещений и напряжений в виде рядов по полиномам Лежандра [23, 73]. Этот подход в задачах динамики представляется более логичным, чем представление в рядах по степеням расстояния от срединной поверхности, так как, во-первых, используя ряды Фурье вместо степенных, получаем право без каких-либо оговорок включить в рассмотрение решения с разрывами первого рода (т. е. применять теорию к задачам о распространении волновых фронтов) во-вторых, разлагая напряжения в ряды по полиномам Лежандра, отделяем самоуравно-вешенную по сечению пластины часть поля напряжений от несамоуравновешенной, что важно, если учесть роль принципа Сен-Венана в задачах динамики. [c.226]

Чтобы учесть влияние соседних волокон при регулярном расположении, Пилер [49] и Блум и Уилсон [7] решили задачу для случая гексагонального расположения волокон (рис. 3, а), используя соответственно ряды Фурье и методы функций комплексного переменного. Распределение напряжений оказалось очень похожим на то, которое получили Эберт и Гэдд [16] отличие состоит лишь в слабом изменении напряжений по окружности волокна. В этом случае напряжения также наиболее интенсивны на поверхности раздела. [c.53]

Предполагая полноту системы собственных функций, принадлежащих точечному спектру собственных значений оператора L, можно использовать метод разложения в ряд Фурье любой интересующей нас функции /(г,т), при этом знание биортогонального базиса позволяет просто вычислить коэффициенты разложения. Действительно, умножив равенство вида [c.215]

Методы решения. Для исследования и приближённого решения смешанных задач используют разделения переменных метод (метод Фурье) при условии, что коэф. в ур-нии и в граничном условии не зависят от времени ь. Идея метода, напр. применительно к задачам (3), (10), (13), состоит в следующем искомое решение ы(х, I) и правую часть /(х, I) разлагают в ряд Фурье по собств. ф-циям 1 краевой задачи (12), (13) [c.65]

Несмотря на несомненную важность этого случая в связи с задачами о распространении тепла от проложенных в земле кабелей и труб, об охлаждении шахт и т. д., области такой формы изучаются сравнительно недавно. Николсон [18] первым предложил решение (5.6), однако его аргументацию нельзя считать безупречной. Титчмарш использовал интеграл Фурье Смит [19] применил метод контурных интегралов, изложенный в книге [20]. Ряд решений, для получения которых использовались операционный метод и метод преобразования Лапласа, можно найти в работах Гольдштейна [1] и Карслоу и Егера [7]. Некоторые численные результаты опубликованы Егером [21, 22]. [c.329]

Классический метод решения задач теплопроводности заключается в нахождении решения в виде ряда частных решений дифференциального уравнения и некоторых граничных условий, причем коэффициенты ряда определяются из теории рядов Фурье или аналогичных им рядов. Этот метод вполне пригоден для задач с ограниченными областями. Однако при рассмотрении неограниченных областей соответствующий метод с использованием интегралов Фурье следует считать чисто формальным вследствие трудностей, связанных со сходимостью. (Весьма важные функции, например единица, не имеют преобразования Фурье.) Тем не менее эта формальная теория действительно дает правильные результаты, которые могут быть проверены а posteriori ее можно сделать строгой путем обобщения [1] теории преобразования Фурье на комплексную плоскость. Кроме того, все чаще используется не интеграл Фурье, а эквивалентный метод преобразования Фурье <см. 3 гл. И). [c.445]

Хотя ряды при решении нелинейных краевых задач используются чрезвычайно широко, далеко не всегда они обладают перечисленными свойствами. Так, ряды Тейлора зачастую сходятся медленно и при этом в небольших областях, применение рядов Фурье для нелинейных уравнений приводит, как правило, к бесконечным системам нелинейных уравнений для определения коэффициентов, которые необходимо обрезать и решать затем приближенно. В то же время наличие точных методов нахождения коэффициентов рядов позволяет даже при небольшой области сходимости и медленной скорости сходимости ряда применять современную технику аналитических продолжений (например, аппроксиманты Падэ), ускорения сходимости, определять характер особенностей. Разумеется, каждый конкретный ряд позволяет получить аналитическое решение в какой-либо области в предположении, что в ней отсутствуют разрывы. Тем не менее, при построении обобщенных решений, в частности уравнений гиперболического типа, выделяя линии разрывов решений или каких-либо их производных, можно с помощью операций сшивок рядов получать конструктивные описания решений и в этих случаях. [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...