ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы, использующие ряды Фурье из "Вычислительная гидродинамика " С ЭТИМИ работами (см. также работу Колони и Рейнольдса [1970] ), поскольку упомянутые здесь методы выходят за рамки данной книги. [c.205] Заметим, однако, что, хотя эти методы в своей основной форме довольно ограничены по типу граничных условий задачи, при известной модификации их можно применять и к более общим задачам. Рассмотрим сначала случай прямоугольной области с граничным условием Дирихле = f x,y), где всюду f ф 0. Введем вспомогательную функцию я] , которая определяется как точное решение уравнения с граничными условиями я] = О на всей границе. Затем введем вторую вспомогательную функцию i] , которая определяется как точное решение конечно-разностного уравнения Лапласа = О с граничным условием я] = f x,y). Точное решение получается при помощи метода разделения переменных, разработанного для дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, Вейнбергер [1965]) и применяемого к конечноразностному уравнению. (Необходимые разложения по собственным функциям уже известны из разложения, которое требуется при решении уравнения Пуассона.) Тогда в силу линейности задачи окончательное решение получается суперпозицией. Поскольку у2я з = и У я] = О, имеем у2(я15 + я] ) = и, поскольку на границах ф == О и я = f (х, (/), имеем я15 + я15 = = f(x,y). Поэтому функция я15 = я]з я удовлетворяет уравнению у2я з = и граничному условию я] = f(x,y). [c.205] Если ставятся граничные условия типа Неймана с нулевым градиентом, то разложение проводится в ряд по косинусам. Если же градиент по нормали к границе отличен от нуля, д /дп = g x, у), то задача решается следующим образом (Уильямс [1969]). Теперь вспомогательная функция я]з вводится следующим образом я) = О во всех внутренних точках, ф = +g(x, у) Ап на границах г = / и / = / и я] = —g x, у) Ап на границах г = 1 и / = 1. Эта функция я) является решением вспомогательного дискретизированного уравнения Пуассона у2я] 1 = с граничным условием 8i y8n = g x, у) и с = О всюду, за исключением точек, смежных с границами, где = = у2я )1 ф 0. (В узле, отстоящем на две позиции внутрь от границы, У я] = О, поскольку я з = О во всех соседних точках.) Если ввести я] = я15 — я]з и = —то исходная задача сведется к нахождению решения конечно-разностного уравнения У я = с граничным условием бя1з 7бп = О, что можно сделать с помощью разложения по косинусам. Искомое решение имеет вид я з = я + я . [c.205] Несмотря на то что величина для такого суммарного решения в точке (2,2) равна а X X (истинное) 2,2, она не оказывает влияния на решение, поскольку точка (2,2) является граничной точкой суммарной задачи и поэтому 2,2 не фигурирует в решении этой задачи. [c.206] Вернуться к основной статье