Координаты твердого тела Кинематические уравнения движения

Координаты твердого тела. Кинематические уравнения движения. Под твердым телом в механике понимается непрерывная система материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными. Аналитическое описание положения твердого тела в пространстве, а также изменения этого положения со временем, т. е. движения тела, должно определять положение и движение любой точки тела. Хотя число точек твердого тела неограниченно, число степеней свободы благодаря жестким связям невелико. [c.44]

Описывая аналитически движение твердого тела вокруг неподвижной точки, начала координат подвижной и неподвижной систем совмещают с неподвижной точкой тела. В таком случае положение тела в пространстве определяется углами Эйлера г 5, , ф (соответственно тело имеет три вращательные степени свободы движения). Кинематические уравнения движения согласно (2.1) имеют вид [c.52]

Сила Кориолиса. Равенство (4. 102) является основным кинематическим уравнением, служащим для получения динамических уравнений движения твердого тела. Однако оно применимо не только к движению твердого тела, но и к движению материальной точки или системы материальных точек во вращающейся системе координат. Одной из наиболее важных задач этого рода является задача о движении материальной точки относительно системы, связанной с вращающейся Землей. [c.154]

Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела. Углы Эйлера дают нам систему трех координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования характеристик движения твердого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом. Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. [c.163]

Общие уравнения пространственного движения вертолета в связанной системе координат представляют собой обычные уравнения динамики твердого тела (уравнения Эйлера) и кинематические уравнения связи (1). [c.60]

Пересказывать содержание этого труда означает повторять то, что до сих пор составляет основное содержание главы Динамика твердого тела в учебниках механики. Характерно для Эйлера, что он нередко идет от движения к силам , методически отделяет кинематическую часть от динамической, систематически использует, помимо неподвижной, подвижную систему координат, связанную с телом,— систему главных осей инерции. Наконец, составив достаточно сложного вида уравнения вращательного движения, Эйлер обнаруживает, что они значительно упрощаются, если ввести в каче- [c.154]

Большая часть сделанных добавлений связана с включением в курс параграфов, содержащих дополнительные сведения о движении твердого тела вокруг неподвижной точки (кинематические и динамические уравнения Эйлера), и главы, где излагаются основы метода обобщенных координат (уравнения Лагранжа) разнообразие требований, предъявляемых к курсу теоретической механики при подготовке специалистов разных профилей, заставляет уделить какое-то место этому материалу и в кратком курсе. Изложение в минимальном объеме элементарной теории гироскопа и таких актуальных в наши дни вопросов, как движение в поле тяготения (эллиптические траектории и космические полеты) и движение тела переменной массы (движение ракеты), в книге сохранено дополнительно написан параграф, посвященный понятию о невесомости. Представление о содержании книги в целом и порядке изложения материала дает оглавление. [c.9]

По разделу Кинематика точки и простейших движений твердого тела проводится одно занятие. На нем преподаватель обычно решает комплексную задачу типа домашнего задания (по заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах определить все кинематические характеристики). Усвоения этого раздела мы добиваемся за счет домашнего задания и решения задач при защите домашнего задания. [c.10]

Кратко излагается метод механики твердого тела, связанный с использованием специальной системы координат, введенной П. В. Харламовым. Приведены кинематические уравнения, полученные П. В. Харламовым, позволяющие дать прямое, не использующее промежуточных систем координат, кинематическое толкование движения. Эффек тивность этих методов показана в ряде работ П. В. Харламова и его учеников. [c.125]

Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку [случай в)], имеет три степени свободы и определяется тремя обобщенными координатами ф, я]) и 0 — углами Эйлера. Кинематические уравнения Эйлера имеют такой вид [c.17]

Сколько степеней свободы имеет твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Как выбираются при этом обобщенные координаты Какой вид имеют кинематические и динамические уравнения движения в выбранных координатах 2. Сколько степеней свободы имеет твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки Как при это,м выбираются обобщенные координаты Какой вид имеют кинематические и динамические уравнения Эйлера [c.174]

Введение в механику понятия квазикоординат и обобщение уравнений Лагранжа на квазикоординаты интересно тем, что оно позволило объединить в одной и той же форме обычные уравнения Лагранжа, уравнения движения неголономных систем и такие уравнения, как, например, динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой ). Чтобы сделать очевидным важность этого обобщения не только с формальной стороны, заметим, что при исследовании движения конкретных механических систем существенную роль играет удачный выбор неизвестных параметров (обобщенных координат и квазикоординат), определяющих движение. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена и исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела с закрепленной точкой. В квази-координатах же исследованы С. А. Чаплыгиным задача о плоском неголономном движении и трудная задача о качении неоднородного шара по плоскости. Квазикоординаты как некоторые кинематические характеристики движения, определяющие скорости движения точек системы, употреблялись в механике очень давно. Однако лишь на рубеже двадцатого века обобщенные координаты и эти кинематические параметры были объединены в одном общем понятии квазикоординат, а в подытоживающей работе Гамеля были получены уравнения движения в квазикоординатах, по форме написания близкие к уравнениям Лагранжа и применимые как к голономным, так и к неголономным системам ). Хотя по своему [c.123]

В динамике твердого тела Эйлер разработал теорию моментов инерции и получил формулу распределения скоростей в твердом теле. В 1750 г он получил уравнения движения в неподвижной системе координат, которые оказались малопригодными для применения. В цикле работ 1758-1765 гг. Эйлер впервые ввел подвижную систему координат, связанную с телом, и получил уравнения Эйлера-Пуассона в окончательной форме (вклад Пуассона, отразившийся в названии, видимо, состоит в систематическом их изложении в своем известном курсе механики). В них также используются углы Эйлера, получены кинематические соотношения, носящие имя Эйлера, а также указан случай интегрируемости при отсутствии поля тяжести. Этот случай Эйлер доводит до квадратур и разбирает различные частные решения. Отметим также вклад Эйлера в прикладные науки — кораблестроение, артиллерию, теорию турбин, сопротивление материалов. [c.20]

После нахождения явных зависимостей Ш , шг, < з от времени получение всех направляющих косинусов а, /3, 7 не представляет труда — тем самым мы определим движение твердого тела в абсолютном пространстве. Из кинематических уравнений Пуассона для центра масс, имеющего координаты ( 3, / з, 7з) легко получить д = —аз, /З3 = —/З3 (где два штриха означают двойное дифференцирование по т), интегрируя которые, найдем /з [c.148]

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Этот частный случай движения твердого тела очень часто встречается в технике и требует более подробного рассмотрения. Неподвижность мгновенной оси вращения означает неизменное ее положение в теле и в пространстве. В данном случае она называется просто осью вращения. Если совместить оси О г и Oz подвижной и неподвижной систем координат с осью вращения тела, то при движении будет изменяться только угол ф (рис. 2.7). При таком движении тело обладает одной вращательной степенью свободы. Кинематическое уравнение вращательного движения задает угол как функции времени ф = ф(/). Во время движения отдельные точки тела описывают окружности с центрами на оси вращения. Перемещения точек тела за один и тот же промежуток времени неодинаковы и пропорциональны расстояниям их до оси вращения. Также неодинаковы и скорости различных точек тела. [c.51]

Сложное движение твердого тела. Как уже выяснено в 2, для описания движения свободного твердого тела надо задать шесть независимых кинематических уравнений (2.1) три координаты полюса Хо, Уо. 2о и три эйлеровых угла г] , О, ф как функции времени. Радиус-вектор, определяющий движение произвольной точки [c.62]

Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг какой-то неподвижной оси используются те л<е величины (и уравнения связи между ними), что и для описания движения точки по окружности угловая координата какой-либо точки тела (ф), угол поворота радиус-вектора г точки тела (Аф), средняя и мгновенная угловые скорости ( .р и со), линейные скорости различных точек тела (v). Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси, называется периодом враш,ения, а величина V, обратная периоду,— частотой вращения. [c.35]

В некоторых задачах принцип Даламбера оказывается даже более гибким, чем более развитый принцип наименьшего действия. Дифференциальные уравнения движения, определяющие ускорения движущейся системы, являются уравнениями второго порядка. Ускорение qi — это вторые производные координат qi или первые производные скоростей qi. Может, однако, оказаться более удобным — и такая ситуация встречается, в частности, в динамике твердого тела — характеризовать движение при помощи некоторых скоростей, не являющихся производными действительных координат. Такие величины называют кинематическими переменными . Хорошим примером является вращение волчка вокруг оси симметрии. Его можно охарактеризовать угловой скоростью вращения со = defi it, где d p — просто бесконечно малый угол поворота, а не дифференциал от какого-либо угла ф, так как такой угол ф существует лишь в случае, если ось симметрии закреплена. Тем не менее и при незакрепленной оси удобно использовать d(f/dt как величину, характеризующую движение волчка. В принципе наименьшего действия нельзя использовать кинематические переменные, а в принципе Даламбера можно. [c.117]

Определение ориентации твердого тела в абсолютном пространстве для движения Эйлера-Пуансо. После того как в п. 102 величины р, г были определены как функции времени, можно из кинематических уравнений Эйлера (5) найти углы определяющие ориентацию твердого тела относительно неподвижной системы координат OXYZ. Задача сильно упрощается, если, как и в п. 100, ось 0Z направить вдоль неизменного кинетического момента Ко (рис. 96). При таком выборе неподвижной системы координат проекции Ар, Bq Сг вектора Ко на оси связанной с телом системы главных осей инерции Ож, Оу Oz вычисляются, согласно рис. 96, по формулам [c.202]

Выразим проекции р, г абсолютной угловой скорости тела на оси Ох, Оу, Oz через углы Эйлера, их производные и угловую скорость (15) движения центра масс по орбите. Для этого заметим, что твердое тело участвует в сложном движении оно вращается относительно орбитальной системы координат OXYZ, а орбитальная система координат за счет движения центра масс по орбите вращается вокруг оси 0Y. Проекции угловой скорости первого из указанных вращений получаются из кинематических уравнений Эйлера, а угловая скорость второго вращения направлена по оси 0Y и равна и. Поэтому [c.250]

В IX главе дано решение некоторых задач динамики твердого тела. Здесь выведено винтовое уравнение динамики и показаны примеры его применения. В задачах динамики принцип перенесения не действует, поэтому уравнение разделяется на отдельные векторные уравнения. В некоторых задачах, когда момент количества движения тела сохраняет постоянное нулевое значение, оказывается возможным отделение динамической части задачи и сведение ее к чисто кинематической. В других случаях она решается с помощью задания винта шестью плюккеровыми координатами. [c.10]

Важно отметить, что твердое тело т совершает сложное (комбинированное) вращательное движение первое вращение происходит относительно орбитальной системы координат mXYZ, а второе вращение происходит за счет вращения системы тХУZ вокруг оси mY в связи с движением центра масс по орбите. Первое вращение описывается кинематическими уравнениями Эйлера, а во втором вращении угловая скорость движения центра масс по орбите направлена по оси mY и равна а (П1.52). Следовательно, для проекций угловой скорости р, q, г можно написать [c.420]

Но задачу можно решить и иначе — используя не кинематическое соотношение между ускорениями, а геометрическое соотношение между координатами нашей точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета ). Действительно, пусть Oxyz — инерциальная, а Ax y z (рис. 36) — неинерциальная системы отсчета. Проинтегрировав уравнение движения точки М х, у, Z) в инерциальной системе, мы найдем x t), y t), z(t). Далее, закон движения системы Ax y z как твердого тела относительно системы Oxyz определяется тремя координатами точки А и тремя эйлеровыми углами ) так как этот закон должен быть известен, то мы знаем шесть функций времени XA(t), i/a(0 2а(О PIO 0(0 ф(0- нахождения относительного движения точки М мы должны найти ее координаты х, у г в системе Ax y z Из равенства г = г — г а (рис. 36) получим, проектируя все векторы на оси Ax y z [c.120]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...