Выражение граничного условия через ф и её производные

Выражение граничного условия через ч/> и её производные [c.189]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции U (p) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, t), и подставить в решение х = I. [c.101]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Для расчета одного режима вулканизации подготавливается исходная информация в соответствии со следующими идентификаторами программы Н — толщина эквивалентной пластины, м КТ — температурный коэффициент вулканизации Кт , ТЭ — температура эквивалентного изотермического режима вулканизации Тэ, °С N — общее число элементарных слоев, выделяемых в эквивалентной пластине N — номер границы между элементарными слоями (номер узловой координаты), для которой при сокращенном объеме выводимой на печать информации печатаются значения температуры и эквивалентного времени вулканизации наряду с такими же величинами для поверхностей эквивалентной пластины TAY — шаг интегрирования по времени Ат, с, задаваемый постоянным либо условным выражением в зависимости от времени, обозначаемого идентификатором TAY ВП — время процесса вулканизации, анализируемое с помощью программы Тв, с Г1, Г2 — тип граничного условия, принимающий значения 1, 2 или 3 соответственно для двух противоположных поверхностей эквивалентной пластины ТО — начальное значение температуры пластины Tq, °С, задаваемое в том случае, если начальная температура эквивалентной пластины не принимается переменной ТН1, ТН2 — начальные температуры соответствующей поверхности эквивалентной пластины, задаваемые в том случае, если формулируется для соответствующей поверхности граничное условие первого рода, °С Т1, Т2 — приращения температуры границ пластины за шаг по времени АГь АГг, °С, при граничном условии первого рода или температуры теплоносителей, контактирующих с соответствующими сторонами пластины, при граничных условиях третьего рода (при граничных условиях второго рода данные параметры пе задаются) AL1, AL2 — коэффициенты теплоотдачи к соответствующим поверхностям пластины ai и а2 при граничных условиях третьего рода, Вт/(м-К), или плотность теплового потока через соответствующую поверхность пластины q[ или q2, Вт/(м -К), при граничных условиях второго рода (при граничных условиях первого рода данные параметры не задаются) ПП — признак вида печати результатов (при ПП = 0 печатается в цикле по времени массив узловых значений температуры и массив значений эквивалентного времени вулканизации, при ПП= 1 печатаются лишь элементы указанных массивов, имеющие индексы 1, N , N - - 1) ЧЦ — число шагов по времени в циклах интегрирования, через которое планируется печатание текущих результатов ПХ, ПТ — признаки задания массивами соответственно линейных координат по толщине пластины, выделяющих элементарные слои, и узловых значений температуры в тех же точках для начального температурного профиля пластины (указанные величины формируются в виде массивов при ПХ=1 и ПТ=1) СИГМА—весовой коэффициент смежного слоя ко второй производной в уравнении теплопроводности, принимающий значения от нуля до единицы в зависимости от выбираемой сеточной схемы интегрирования (возможно задание этого коэффициента в зависимости от критерия Фурье для малой ячейки сетки, значение которого в программе присваивается идентификатору R4) А(Т, К)—коэффициент температуропроводности, для которого задается выражение в зависимости от температуры материала и линейных координат Х[К] и Х[К + 1], ограничивающих элементарный слой эквивалентной пластины L(T, К)—коэффициент теплопроводности для эквивалентной пластины, для которого задается выражение в зависимости от тех же параметров, что и для коэффициента температуропроводности X[N - - 1] — массив линейных координат Xi пластины, i=l, 2, 3,. .., -h 1, который при ПХ = 0 является рабочим [c.234]

Для решения полученной системы уравнений необходимо составить четыре граничных условия (по два в каждом крае), выраженные через функции V и j. Если, например, край оболочки имеет заделку, то i=0 и 2=0, при наличии опоры 2=0, Mi=0. Величины 2 и должны быть выражены через V и 1 и их производные - с помощью уравнений (9.5.12). При нахождении деформированной формы оболочки вместо и и w целесообразно рассматривать радиальное Ui и осевое и ] перемещения [c.147]

Необходимо получить решение этой системы уравнений при граничных условиях, заданных в каждой точке граничного контура и выраженных через, компоненты вектора / и его первые производные по X и у. [c.81]

С помощью этих граничных условий мы можем выразить все производные WW, выше второй, через первые две и Обозначим их соответственно f gj = а и == Ь. Выражения производных fw получаются вида [c.311]

Заметим, однако, что не всякое решение системы, удовлетворяющее граничным условиям, заданным в напряжениях, является истинным решением задачи, поскольку истинное решение должно удовлетворять некоторым обязательным для данной конкретной задачи граничным условиям, выраженным через составляющие и Оу вектора скорости и их производные по координатам. [c.172]

Интегральное уравнение (10.18) для собственных функций I варианта, разумеется, может быть получено и непосредственно из дифференциальной постановки однородной задачи. Для этого достаточно записать известное выражение для решения волнового уравнения через разрывы функции и ее нормальной производной на контуре 5 и воспользоваться граничными условиями (10.4а). [c.105]

Комплексную постоянную С можно найти из граничных условий задачи. Для этой цели определим напряжение а и затем подсчитаем напряжения и на боковой поверхности цилиндра. Подставим в уравнения (3.17.118) функцию /, выраженную через функцию ф( ) согласно (3.17.122), и определим из них частные производные функции а по переменным гиг. Получим [c.635]

В противоположность поведению интегралов дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа [первое из уравнений (37.54)] интегралы гиперболических уравнений, имеющие различные аналитические выражения через две независимые переменные, могут склеиваться друг с другом вдоль характеристических кривых в плоскости х, у. Таким образом, интегральная функция, удовлетворяющая некоторым заданным граничным условиям вдоль кривой, может быть продолжена за пределы области, в которой она имеет силу, в соседнюю область, в которой может использоваться другая интегральная функция, и этот процесс [c.625]

Центр тяжести при решении задач о плоском деформированном состоянии лежит в решении бигармонического уравнения (10) с граничными условиями, выраженными через производные функции F. Знание этой функции позволяет определить напряжения по формулам (3). [c.306]

Этот метод состоит в том, что выражения (14), (15) и (38) подставляют в уравнения равновесия (30). Полученную систему трех дифференциальных уравнений восьмого порядка в частных производных интегрируют при некотором варианте граничных условий, записанных через смещения и их производные. Следует, однако, заметить, что полученная система уравнений очень громоздка, даже для оболочек простой формы. Поэтому в статических задачах ее используют сравнительно редко. [c.641]

Остановимся коротко на случае, когда объемные силы отсутствуют. В этом случае выражения для производных Р и для г ), напряжений и перемещений через комплексные потенциалы и граничные условия для них мы полу- [c.134]

При этом будем считать, что в выражении (7.40) учтены граничные условия для массового расхода и геометрического возвышения поверхности. Через М обозначена матрица массы для всей области, а / представляет производные по времени от массового расхода и возвышения поверхности во всех узлах. Все другие члены включаются ъ Р м вычисляются прн t = или прн использовании итераций в конце временного шага их значения получаются по предыдущей итерации. Для интегрирования по времени уравнения (7.40) можно воспользоваться как явными методами (методом Рунге — Кутта или Эйлера), так и неявными (методами трапеций, Галеркина и др.). [c.212]

Подставляя (142.4) и (142.5) в граничные условия, выраженные при помощи формул 141 через потенциалы и их производные, получим уравнения для определения коэффициентов отражения. [c.459]

Дальнейший план решения заключается в следующем. Разложим неизвестные значения поля на поверхности и его нормальной производной в ряды по некоторой полной системе функций с учетом граничных условий на поверхности тела. Обозначим неизвестные коэффициенты через Хд. Подставив такое разложение в выражение (2.84), получим бесконечную систему уравнений относительно коэффициентов Хд. Особенность метода переходных матриц состоит в том, что связь между Ьт и От можно получить, не вычисляя коэффициентов. [c.89]

В макроскопической теории исходным моментом является задание уравнений состояния, включая восприимчивости, внешних полей, граничных и начальных условий, выраженных через значения (локальные) термодинамических параметров, а основной математической проблемой является решение соответствующей краевой задачи математической физики для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных. [c.235]

Установим граничные условия на образе контура прос филь криволинейный, то его образ в плоскости годограс собой заранее неизвестную кривую /3 = /3 Х) (или /3 = /3 р)). Однако то, что кривизна контура профиля является известной функцией угла его наклона, позволяет сформулировать, помимо условия т/ = О, дополнительное соотношение между углом наклона образа контура в плоскости годографа и нормальной производной ф. Это соотношение выводится аналогично случаю потенциального течения путем выражения кривизны контура через производные (или фр, ). Получим сначала допол- [c.45]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Если на всей поверхности тела заданы усилия, граничные условия задают на поверхности линейные комбинации искомых функций, т. е. напряжения. Но если заданы перемещения точек поверхности, то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно эти условия будут содержать некоторые интегралы от напряжений и их производных, которые получатся, если в формулы Чезаро внести выражения деформаций через напряжения по закону Гука. Иногда, например, в плоской задаче теории упругости соответствующие преобразования удается довести до конца. [c.251]

Первый подход, заключающийся в интегрировании аэродинамических и инерционных нагрузок вдоль радиуса для получения момента в сечении, обеспечивает наилучшую точность при численном анализе с конечным числом тонов. Последнее выражение, М = Eld z/dr , часто не дает удовлетворительных результатов. Здесь необходим учет большого числа тонов из-за большого относительного влияния высших тонов на кривизну могут встретиться и вычислительные трудности, поскольку требуются вторые производные форм тонов. Если же уравнения движения получены методом Галеркина или Рэлея — Ритца, это выражение может быть вообще неприемлемым, поскольку граничные условия для тонов могут не соответствовать нагрузкам в комлевом сечении (например, от демпфера ВШ или от проводки управления). Если момент в сечении нужно выразить только через отклонения по некоторым тонам, предпочтительно второе выражение, так как в нем фигурируют интегралы от форм тонов. [c.641]

Формула (10 34) показывает, что wA w), а значит и wA w)e- , является производной по w от функции, выражаемой через X w) и граничные условия. Следовательно, при помощи комплексных формул Грина вклад от непрерывного спектра можно преобразовать в интеграл по границе. Подынтегральное выражение является аналитической функцией вне Я и может быть аналитически продолжено в Я указанным выше способом, если граничное условие Z w) аналитически продол-жимо в Я. Таким образом, аналитическое продолжение возможно при соответствующих граничных условиях. Однако, сдвигая путь интегрирования, мы включаем вклады вычетов от нулей аналитически продолженного дисперсиониого соотношения. Следовательно, даже когда уравнение (111) не имеет решения, основной вклад в последнее может появиться от дискретной собственной функции . [c.370]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Наличие старших производных в (5.2) требует и большего числа граничных условий. Дополнительные условия понятны либо 0, либо л ц с выражением их через поле и. Однако, такой незатейливый подход к постановке граничных условий лучше заменить другим — через принщ п виртуальной работы для всего тела. Известный образец такого подхода — классическая теория изгиба пластин (в одной из последующих глав). [c.103]

Замечание к определению критических напряжений для цилиндрической оболочки при чистом изгибе. Если цилиндрическая оболочка нагружена по концам парами сил, то распрёделение осевых напряжений по сечению будет изменяться по закону синуса или косинуса (в зависимости от начала отсчета угла, см. 23). Вследствие этого следует ожидать, что критическое напряжение для сжатой зоны в отличие от действия равномерного сжатия должно быть несколько выше в пределах одной ямки или выпучины напряжение сжатия не остается постоянным и как следствие этого форма деформированной поверхности будет отличаться от чистого сжатия. При изгибе граничные условия на сторонах у—О, у=Ь ямок и выпучин, выраженные через функцию ш и ее производные, по-видимому, будут ближе к упругой заделке, чем к шарнирному опиранию. Надежное теоретическое решение этой задачи, по-видимому, отсутствует. Экспериментальная проверка по изгибу цилиндрических оболочек указывает на то, что коэффициент к в этом случае по сравнению с чистым сжатием выше на 15—18%. [c.272]

Теперь уже кажется очень правдоподобным (хотя строго это как будто и не доказано), что собственные функции такой системы не могут быть делокализованными, как функции Блоха в идеальной решетке. Каждая волновая функция должна быть локализована вблизи какого-то участка цепочки, вне которого амплитуда ее спадает экспоненциально в обоих направлениях. Как подробно показано Робертсом и Мэйкинсоном [25] и Борландом [24] 1) для двух функций, удовлетворяющих граничным условиям (8.29) и экспоненциально нарастающих внутрь отрезка локализации, всегда можно найти промежуточную точку отрезка, в которой одна из них гладко переходит в другую. Такая точка может лежать, например, на островке из ячеек типа Т, в которых спектральная переменная X соответствует разрешенной зоне и, следо вательно, возбуждение легко перемещается. Мы имеем здесь аналог локализованного примесного уровня, лежащего в запрещен ной зоне идеальной решетки значительное изменение пространственной производной волновой функции при переходе через область, где заметно отлична от нуля потенциальная энергия электрона в поле примесного центра, позволяет сшить две части выражения (8.92), экспоненциально убывающие в противоположных направлениях. [c.371]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...