Применение к задаче трех тел

Метод сведения задачи о возмущенном движении к рассмотрению решений, бесконечно близких к известному решению системы дифференци-.альных уравнений, развит Пуанкаре в применении к задаче трех тел. [c.605]

Применение к задаче трех тел [c.66]

Теперь мы обратимся к построению квазипериодических решений гамильтоновых систем, начав с неавтономных систем с одной степенью свободы, затем перейдем к системам с двумя и более степенями свободы и закончим некоторыми применениями к задаче трех тел. Сначала рассмотрим систему [c.340]

А. Пуанкаре изучал интегральные инварианты канонических уравнений. Он внес ценный вклад в теорию возмущений в применении к астрономии и особенно в исследование задачи трех тел. Его интересовали также вопросы [c.393]

Переходя к рассмотрению вопроса о вычислении 3-го вириального коэффициента несвязанных атомов ni T), заметим, что в выражения (21, 22), определяющие полный 3-й вириальный коэффициент, входит вклад от взаимодействий между двумя связанными и третьей свободной частицей. Чтобы получить требуемую формулу для Сц1, необходимо исключить из них этот вклад. Прямой путь, аналогичный тому, который был применен при выводе формулы для Ьц в работах [4, 6], скорее всего крайне сложен, так как требует исследования фазового пространства трех взаимодействующих частиц. Не исключено, что эта задача по сложности эквивалентна задаче трех тел классической механики. [c.391]

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ К ПЛОСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ [c.237]

Сюда относятся, например, изыскание периодических решений вблизи известных лагранжевых решений ограниченной (круговой или эллиптической) и общей задачи трех тел, исследование периодических решений в задаче Фату, т. е. задачи о движении материальной точки в осесимметричном гравитационном поле, нахождение периодических решений некоторых специальных случаев задачи многих тел и, наконец, применение общих методов теории периодических решений Ляпунова — Пуанкаре к задачам о вращательном и о поступательно-вращательном движении взаимно притягивающихся твердых тел (не заменяемых материальными точками ). [c.355]

Соответствующее преобразование Г. Мы намерены теперь определить преобразование кольца Г, связанное с проблемой бильярдного шара, и показать, как геометрическая теорема Пуанкаре в своей первоначальной форме приводит к выведенным в предыдущем параграфе заключениям. Приведение задачи к вопросу о преобразованиях кольца имеет большое значение, даже не принимая во внимание его связь с вопросом о периодических движениях. Нужно отметить также, что в наиболее интересных случаях, как, например, ограниченная задача трех тел, метод приведения к преобразованиям кольца и применения геометрической теоремы Пуанкаре вполне приложим к изучению периодических движений, в то время как метод максимума и минимума до сих пор не мог быть приложен к этим задачам. [c.177]

Самые ранние приложения обсуждаемых в настоящей монографии методов, как и вообще применение самой гамильтоновой механики, связано с попытками предсказать движение планет на достаточно большом интервале времени. Именно к этой области относится знаменитая задача трех тел и ее упрощенный вариант, так называемая ограниченная задача трех тел. Первая касается движения трех произвольных гравитационно взаимодействующих масс. В более простой ограниченной задаче масса одного из тел полагается равной нулю и исследуется его движение в изменяющемся со временем гравитационном поле двух других тел. В 1904 г. Уиттекер, [c.486]

В главе VII рассматривается применение метода Лагранжа к круговой ограниченной задаче трех тел. [c.5]

В то время как главы I и II касаются произвольных канонических систем, в главе III учитывается специфическая квадратичная структура динамической функции Гамильтона. Единственным нетривиальным случаем, в котором сейчас доступны в явном виде формальные аналитические операции, является случай двух степеней свободы, и он рассматривается достаточно детально с целью его дальнейшего применения к ограниченной задаче трех тел. [c.8]

Иногда в задачах статики приходится рассматривать равновесие не одного, а нескольких тел, связанных между собой и образующих неизменяемую систему. Силы, действующие на такую систему со стороны других тел, не входящих в нее, называются внешними, силы взаимодействия между сочлененными телами системы — внутренними. В этом случае для плоской системы сил число уравнений, которые можно составить, больше трех. Соответственно может быть больше и количество неизвестных, которое нужно определить. Для каждого тела, входящего в систему, можно составить три уравнения равновесия, если действующая на него система сил является плоской. Каждое тело или группу тел системы можно выделить и рассматривать в состоянии равновесия под действием приложенных к этой части системы внешних и внутренних сил. Такой прием решения задач на равновесие системы тел называется методом расчленения. Иногда при рассмотрении равновесия системы сочлененных тел удобно составлять уравнения равновесия не только для отдельных частей системы, но и для всей системы в целом. Ниже приводим пример, поясняющий применение метода расчленения. [c.33]

Задача, в которой определяется траектория движения тела (ракеты) с учетом притяжения Солнца НЛП одной из других планет, называется задачей трех тел. Она настолько сложна, что в общем виде, в форме, пригодной для практического применения, не рещена до настоящего времени. Влияние возмущающей силы каждой из других планет на движение рассматриваемого тела (ракеты) учитывается отдельно с помощью бесконечных сходящихся рядов и связано с весьма трудоемкими вычислениями. В этих вычислениях огромную помощь оказали быстродействующие электронные вычислительные машины. Они позволяют вычислять сотни н тысячи траекторий возмущенного движения тела (ракеты) н выбирать из них оптимальные, т. е. те, полет по которым требует наименьших затрат топлива, минимального времени и т. д. В частности, действие возмущающих сил приводит к тому, что элементы орбиты оказываются непостоянными и медленно изменяются со временем. [c.121]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Современная теория годографа в ньютоновой механике позволяет полностью исследовать поведение годографа траектории в ньютоновом векторном пространстве любого данного порядка. Теория годографа для баллистических траекторий представлена уравнениями движения, контурными сетками и функциями преобразования годографа в векторных пространствах скоростей и ускорений. Одно из основных направлений, в которых эта область продолжает развиваться,— разработка и применение определяющих уравнений годографа и метода синтеза к исследованию активных участков траекторий главным образом путем использования дифференциальной геометрии. Другое важное направление — применение теории годографа к траекториям, связанным более чем с одним притягивающим центром (ограниченная задача трех тел и задача п тел). Оба направления обещают принести свои плоды как с аналитической точки зрения современной небесной механики, так и в отношении технических приложений к проектированию перспективных систем наведения и управления. Илл. 25. Библ, 50 цазв. [c.236]

Основной прием метода осреднения состоит в том, что правые части сложных систем дифференциальных уравненией, описывающих процесс колебаний или вращения, заменяются сглаженными , осредненными функциями, не содержащими явно время i и быстро изменяющихся параметров изучаемой системы. Этот метод издавна применялся в небесной механике, с ним связаны известные схемы осреднения Гаусса, Делоне — Хилла и др. В Лекциях Ю. А. Митропольского (1966) в качестве характерного примера применения осреднения в задачах небесной механики рассматривается ограниченная плоская круговая задача трех тел (см. также Н. Д. Моисеев, 1945). Эта задача приводит к уравнениям вида ( 2/- / (II [c.116]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

Теорема, изложенная в предыдущих двух параграфах, имеет многочисленные применения к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы — в особенности к вопросу об устойчивости периодических решений. Как мы видели, задача об изоэпергетической устойчивости такой периодической орбиты может быть сведена к вопросу об устойчивости неподвижной точки некоторого двумерного отображения, сохраняющего площадь. В качестве применения мы еще раз вернемся к много раз обсуждавшейся ограниченной задаче трех тел. [c.319]

Закончим это обсуждение интересным применением к движению астероидов. Астероидами называются малые планеты, которые в большом числе движутся нреимугцественно между Марсом и Юпитером и образуют приблизительно кольцо вокруг Солнца. Если пренебречь влиянием всех планет, кроме Юпитера, то движение астероидов может быть рассмотрено на основе ограниченной задачи трех тел, где в качестве Pi берется Юпитер, в качестве Р2 — Солнце и в качестве Р3 — астероид, массой которого мы полностью пренебрегаем. Предполагая, что большинство астероидов движется вблизи круговых периодических орбит в той же самой плоскости, что Солнце и Юпитер, мы можем попытаться применить описанный выше критерий. Для большинства из наблюдаемых астероидов отношение частоты 1/3 их обрахцения по орбите к частоте Юпитера щ лежит в интервале [c.321]

Закончим этот параграф применением наших результатов к ла-гранжевым решениям ограниченной задачи трех тел. Эти решения, которые мы изучали применительно к общей задаче трех тел, сохраняют свое значение также и для ограниченного случая. Мы предполагаем, что Pi, Рг — частицы масс /i, 1 — соответственно, и рассматриваем движение точки Рз нулевой массы во вращающейся системе координат, в которой Pi, Р2 неподвижны. При этих условиях уравнения для координат (xi, Х2) точки Р3 имеют гамильтонов вид [c.330]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

Большой прогресс в решении многих задач механики и, в частности, в решении задачи трех тел связан с развитием современных методов вычислительной математики. Применение электронно-вычислительных машин позволило находить численные решения дифференциальных уравнений с большой точностью, превосходящей точность аналитического решения, причем численное решение задачи трех тел отличается от решения задачи двух тел главным образом объемом вычислительной работы. В точности и бьгстроте вычислений заключается большое преимущество численных методов перед аналитическими. Однако численные методы в настоящее время еще не позволяют выявлять общие свойства движения и устанавливать функциональные зависимости между переменными, характеризующими состояние движения той или иной механической системы. Поэтому аналитические методы исследования движения, несмотря на успехи вычислительной математики, не утратили своей ведущей роли. Кроме того, чрезвычайно полезные качественные способы исследования целиком относятся к области аналитических методов. [c.161]

Равновесие произвольной плоской системы сил. Метод последовательного сложения. Если твердое тело находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, то путем последовательного графического сложения таких сил можно определить з 1ачение неизвестных из условий равновесия. При этом число неизвестных не должно превышать трех для системы сил, приложенных к одному твердому телу, иначе задача будет статически неопределенной. Этот графический метод решения задач целесообразно применять, если общее число сил, действующих на твердое тело, невелико. По сравнению с аналитическим методом решения задач на равновесие плоской системы сил указанный графический способ более нагляден, но его применение при большом числе сил очень громоздко. [c.123]

Будем поступать абсолютно так же и при изучении движения четырехкратной системы, состоящей из Солнца, Земли, Луны и еще одной планеты. В первом приближении мы будем интегрировать уравнения движения трехкратной системы, состоящей из Солнца, Земли и Луны. Эту задачу мы решили в предыдущих главах. Таким образом, мы получили координаты трех тел этой системы в виде функций времени и определенного числа постоянных интегрирования С. Далее, мы должны изучить возмущения этого движения, вызванные притяжением планеты, т. е. определить малые вариации постоянных С, порождаемых притяжением этой планеты. Подобный подход к применению метода вариации произвольных постоянных был предложен Ньюкомбом и изложен в ого работах. [c.552]

Теорема о равновесии трех непараллельных сил, приложенных к твердому телу, применяется, например, в тех случаях, когда требуется найти две неизвестные силы, уравновииивающие третью известную силу, если известна точка приложшгия одной из неизвестных сил II линия действия второй. В следукш,ем параграфе мы покажем применение теоремы о равновесии трех сил к решению одной задачи строительной механики. [c.258]

Одной из основных целей при исследовании задач дифракции упругих волн на неоднородностях является получение не только формального математического рещения, а такого, с помощью которого можно было бы эффективно определить дифракционные поля деформаций и напряжений вблизи неоднородностей. В указанных трех традиционных направлениях отмеченная цель ие была достигнута. В последние годы в связи с созданием н применением ЭВМ наметились два направления, по которым проводятся исследования задач дифракции упругих волн на неоднородностях с целью определения динамической напряженности вблизи неоднородностей. Первое направление связано с развитием численных методов при соответствующей дискретизации задач и с применением ЭВМ на всех этапах рещения задач. Развитие этого направления в силу универсальности его алгоритмов, по-видимому, в будущем обеспечит возможность исследования весьма щироких классов задач. Все же основные результаты, полученные за последние годы в СССР и США, относятся ко второму направлению, которое связано на первом этапе рещения задач с применением аналитических методов (метода разделения переменных и его обобщений, методов теории возмущений, метода сведения к интегральным уравнениям после неполного разделения переменных и т. д.) и на заключительных этапах рещения — с применением ЭВМ. В этом направлении в настоящее время уже исследованы достаточно щирокие классы задач и опубликованы две обобщающие монографии по отдельным аспектам рассматриваемой проблемы [44] —по дифракции упругих волн в многосвязных телах (на нескольких полостях) н [125] — по дифракции упругих волн в односвязных телах (на одной полости). Создание же обобщающей монографии, относящейся ко всем основным аспектам рассматриваемой проблемы (в рамках второго направления), представляется в настоящее время целесообразным, так как уже исследованы достаточно щирокие классы задач. Предлагаемая вниманию читателей монография является попыткой реализации такого замысла, хотя при ее написании в значительной мере были использованы результаты авторов и их коллег, полученные в Институте механики АН УССР за последние 10—15 лет. [c.6]

В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1, С. Л, Зиглин доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера — Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. Этот результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых частных решений уравнений Эйлера — Пуассона [64]. [c.371]

Механика тел переменной массы — наука XX столетия. В течение первых трех десятилетий XX в. этот отдел механики разрабатывался главным образом астрономами и инженерами-ракетчиками. Идея межпланетных путешествий была тем творческим стимулом, который вдохновлял многих исследователей, начиная с Циолковского. Благодаря трудам Циолковского, Эс-но-Пельтри, Годдарда, Оберта, Гоманна, Цандера, Валье, Вет-чинкина, Зенгера, Тихонравова было поставлено много интересных задач о движении тел переменной массы. Эти задачи и опыт применения реактивного оружия во второй мировой войне явились тем фактическим материалом, на котором строится в наши дни более совершенная и более строгая теория. Связь теоретических изысканий в области механики тел переменной массы с ракетной техникой очевидна. Надежной теоретической базой дальнейших обобщений являются работы И. В. Мещерского, к сожалению, все еще не получившие мирового признания. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...