ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение к задаче трех тел из "Лекции по небесной механике " Наш результат показывает, что мы можем аналитически продолжить Хк, у к через особенность t = ti теперь нужно исследовать поведение Хк, у к при прохождении s через si по действительной оси s. В соответствии с разложением (14) t остается при этом действительным и проходит, возрастая, через ti. Вследствие действительности всех коэффициентов разложений в ряды Хк, Ук также остаются действительными при этом аналитическом продолжении. Из разложения (13) можно заметить, что обе материальные точки Pi п Рз, двигаясь по направлению вектора ( f i), сталкиваются при i = ii и затем отталкиваются друг от друга. Это заключение имеет, разумеется, только математический смысл, но не имеет физического значения. Для всех t t, достаточно близко лежагцнх к ti, опять имеем х О, и у является конечным. В силу обратной подстановки (7 31), (7 32) можно ввести опять старые координаты Хк, у к вместо f , Щ- При этом значения постоянных в интегралах движения центра инерции, постоянных в интегралах пло-ш,адей и постоянной в интеграле энергии остаются те же, что и для т i 1, так как они получаются при аналитическом продолжении функций переменной t. То же самое справедливо и для дифференциальных уравнений, поэтому уравнения (7 16) также удовлетворяются, и можно опять перейти от них через (7 6) к системе (7 2). [c.70] Пусть теперь сугцествует определенное значение i ii, до которого решение (7 2) уже продолжено. Обозначим это значение времени опять через т мы можем применить к новому т все до сих пор доказанное. Если при осуш,ествленни аналитического продолжения для возрастаюш,его t т мы встретим новую особенность при конечном значении t = t2, то тогда снова только два тела должны столкнуться, так как по предположению постоянные плогцадей не все равны нулю. Это могут быть и не Pi и Рз, но и в этом случае можно при i = 2 провести соответствующую регуляризацию, как ранее для t = ti. Продолжив решение через 2 и идя дальше, мы можем встретить снова особые точ-кн i = i (гг = 1, 2,. ..). Если число особенностей будет конечным или если tn при п оо стремится к бесконечности, то для всех конечных t т мы получим аналитическое продолжение. Докажем теперь, что оставшийся нерассмотренным случай, в котором i имеют конечную точку накопления too, вообще невозможен. [c.70] Однако это рассуждение доказывает только существование такого параметра. Чтобы произвести явно указанное конформное отображение, нужно лучше знать область, образуемую перекрытием кругов сходимости Кд. Весьма возможно, что радиус ро круга Кд как функция зо не имеет положительной нижней грани. Тогда не существует параллельной полосы, которая целиком содержалась бы в С и включала бы в себя действительную ось 5. В действительности этот случай не встречается в следующем параграфе будет доказана теорема Зундмана о том, что радиус сходимости ро имеет положительную нижнюю грань 5, поэтому время t и координаты к = 1,. .., 9) будут регулярными в полосе —5 и 5 функциями определенного формулой (17) параметра 5 = сг+гг . Доказательство можно выполнить сразу, если выразить 5 как функцию начальных значений и масс, предполагая по-прежнему, что не все постоянные площадей равны нулю. Прежде всего при этом исследовании нужно доказать две важные вспомогательные теоремы. [c.73] Вернуться к основной статье