Нормальные колебания вырожденные,

Линейная трехатомная молекула СО2 относится к одной из точечных групп средней симметрии, а именно к группе D h, которая содержит одну ось симметрии бесконечного порядка Соо,. проходящую через все три атома, оси второго порядка Сг и плоскости симметрии о. Эта молекула имеет 3N—5=4 внутренние степени свободы и, следовательно, 4 нормальных колебания (рис. 37). Первое колебание v(s) является валентным и симметричным, при котором атомы кислорода одновременно приближаются к атому углерода или удаляются от него вдоль валентных связей. Второе колебание v as) — валентное антисимметричное. Наконец, колебание 8 (as) является антисимметричным деформационным и дважды вырожденным. Вырождение этого колебания связано с наличием оси симметрии Соо. Его можно представить н виде двух независимых колебаний, происходящих в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, которые проходят через ось Ссо. [c.93]

Молекула СО2 имеет три нормальных колебания симметричное валентное Vj, деформационное V2 и несимметричное валентное Vg. Деформационное колебание дважды вырождено. Соответственно, заполнение колебательных уровней молекулы СО2, в том числе не только нормальными частотами Vj, Vg, Vg, но и их обертонами и составными колебаниями, определяет тот набор колебательных квантовых чисел Wj, Уд, который описывает колебательное состояние молекулы. Обозначаются уровни комбинацией квантовых чисел Ух 2 3 (индекс I вводится из-за вырождения деформационного колебания [c.46]

Вышеприведенные рассуждения относятся к случаю невырожденных колебательных уровней, когда каждой частоте соответствует одно определенное нормальное колебание. Но при более высокой симметрии молекул появляются двукратное и трехкратное вырождения. При этом два или три нормальных колебания совершаются с одной и то1"1 же частотой. [c.757]

МОЖНО разложить на два взаимно-перпендикулярных колебания, которые совершаются крайними атомами перпендикулярно к оси молекулы с равными частотами и соответствуюш,ими значениями амплитуд и фаз. Таким образом, одной и той же частоте 6( ) отвечают два нормальных колебания. Этот случай является характерным примером дважды вырожденных собственных колебаний молекулы. [c.758]

В целях упрощения решения уравнения воспользуемся свойствами симметрии молекулы ХУ , которая, как известно, принадлежит к группе Вырожденных колебаний в данном случае нет. Поэтому нормальные колебания относительно элементов симметрии (оси и плоскости симметрии) будут либо симметричными, либо антисимметричными. [c.777]

В самом общем случае различных степеней вырождения нормальных колебаний колебательные термы могут быть записаны в следующей удобной форме [c.95]

В качестве второго примера рассмотрим нормальные колебания молекулы типа Хз, образующей равносторонний треугольник (ось симметрии третьего порядка), изображенные на фиг. 32, а. На фиг. 32,6 и в показаны результаты поворота молекулы по часовой стрелке на угол 120 и 240° (или—120°). Мы видим, что колебание Vj остается при этих поворотах без изменения, т. е. оно симметрично относительно оси симметрии третьего порядка, два же колебания и вырожденные между собой (см. ниже), не являются ни симметричными, ни антисимметричными, а превращаются в другие колебания, имеющие, однако, как это очевидно, ту же частоту. Единственное отличие этих колебаний состоит в том, что, например, атом N , находящийся на вершине треугольника, после поворота вместо движения вверх и вниз (колебание v ), движется под углом 120° [c.98]

Для молекулы, имеющей ось симметрии третьего порядка С , введенное выше число I может принимать значения 1 и 2. Однако, так как 2= р — 1=3 — 1, то имеется только один тип вырожденных колебаний, а именно тот, при котором векторы смещения, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, поворачиваются на угол 120° при повороте молекулы на 120°. Мы уже видели (фиг. 32 и 33, б), что это действительно выполняется для пары вырожденных колебаний и Vjj, молекулы типа Xj при а = 120° (положительный знак соответствует вращению против часовой стрелки). Обратно, если нам была неизвестна форма вырожденного нормального колебания, мы могли бы ее определить, исходя из сформулированного выше условия, что при повороте [c.102]

Таким образом, для колебаний, удовлетворяющих упомянутым выше ограничениям, целиком применимы все полученные ранее результаты. Теперь мы, однако, можем также исследовать и те вырожденные нормальные колебания, которые не удовлетворяют этим ограничениям. [c.108]

В качестве примера рассмотрим такие нормальные колебания молекулы типа Xg (фиг. 38), которые являются перпендикулярными (антисимметричными) к плоскости молекулы. Только одно из таких колебаний, симметричное относительно оси, является ненастоящим колебанием, состоящим в переносе в направлении оси z (на фиг. 38 оно не показано). Другие колебания этого типа вырождены по отношению к этой оси. Легко заметить, что колебание, совершающееся параллельно оси, может быть вырождено только совместно с колебанием, также параллельным оси (так как в противном случае поворот на угол 2ix/jp не мог бы преобразовать одно из вырожденных колебаний в линейную комбинацию (2,75) двух первоначальных колебаний). Таким образом, векторы смещений отдельных атомов для двух взаимно вырожденных колебаний не перпендикулярны, а параллельны друг другу. Чтобы они были ортогональны [см. (2,18)] необходимо потребовать выполнения условия [c.108]

В качестве иллюстрации на фиг. 41 показаны нормальные колебания тетраэдрической молекулы типа ХУ . Для каждого из двух трижды вырожденных колебаний и изображены три его составляющие. В результате операции симметрии (например, поворота вокруг одной из осей симметрии третьего порядка) любое из этих вырожденных колебаний превращается в колебание, являющееся в общем случае линейной комбинацией всех трех взаимно вырожденных колебаний. Различные преобразованные векторы смещений определенного атома не лежат более в одной плоскости. [c.113]

В качестве примера на фиг. 45 изображены в масштабе нормальные колебания молекулы N63, принадлежащей к точечной группе (см. стр. 195). Мы имеем два полносимметричных колебания (тип симметрии А ) и два. вырожденных колебания (тип симметрии Е). При колебаниях первого типа моле- [c.124]

Одна из двух невырожденных частот совпадает с дважды вырожденной и, таким образом, возникает трижды вырожденное нормальное колебание. Этот результат находится в полном согласии с симметрией Та молекулы Х1 (см. таб.т. 36) и не зависит от предположения, что силы центральные. Согласно (2,176), отношение трех частот центрально-силовой системы должно быть равно [c.183]

Необходимо отметить, что вырождение, связанное с наличием. нескольких одинаковых потенциальных минимумов, не учитывалось при предыдущем рассмотрении нормальных колебаний и их типов симметрии. Это было вполне законно, так как при строго квадратичной потенциальной функции невозможны переходы из одного потенциального минимума в другой. [c.240]

В качестве последнего примера мы рассмотрим тетраэдрическую молекулу ХУ , принадлежащую к точечной группе симметрии Для такой молекулы мы имеем одно настоящее колебание типа Ах, одно — типа Е и два — типа (см. стр. 159 и фиг. 41). Имеется группа атомов, лежащих на осях третьего порядка (группа У , г., = 1 в табл. 36) и участвующих в одном колебании типа (настоящем или ненастоящем), в одном колебании типа Е, одном — типа Е и двух — типа Е . Вторая группа состоит из одного атома X в центре молекулы (ото=1), который участвует в одном трижды вырожденном колебании типа Три вращения принадлежат к типу Р , к которому не принадлежат настоящие нормальные колебания. Три поступательных движения образуют одно трижды вырожденное ненастоящее колебание типа Р , т. е. 1 для Р.. Таким образом, мы и.меем [c.254]

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (нормальные моды) — собственные (свободные) гармоник, колебания линейных динамик, систем с пост, параметрами, в к-рых отсутствуют как потери, так и приток извне колебат. энергии. Каждое Н. к. характеризуется определ. значением частоты, с к-рой осциллируют все элементы системы, и формой — нормиров. распределением амплитуд и фаз по элементам системы. Линейно независимые Н. к., отличающиеся формой, но имеющие одну и ту же частоту, наэ. вырожденными. Частоты Н. к. наз. собственными частотами системы. [c.362]

Для нелинейных многоатомных молекул классификация электронных состояний по типам симметрии может быть произведена в соответствии с принадлежностью равновесной конфигурации молекулы к сшре-деленной точечной группе конечного потядка (см. табл.) и аналогична классификации колебат. состоя-ний по типам симметрии (см. Нормальные колебания молекул) при этом необходимо, однако, учитывать, что, согласно Яна — Теллера теореме, вырожденные электронные состояния нелинейных молекул неустойчивы, о чем упоминалось выше. Правила отбора для переходов между электронными состояниями также аналогичны правилам перехода между колебат. состояниями. В соответствии с типами симметрии состояний отдельных электронов можно рассматривать для нелинейной молекулы электронные оболочки и их заполнение и характеризовать электронное состояние молекулы заданием электронной конфигурации. Для невырожденных состояний отдельных элект1)онов получаются оболочки, заполняемые 2 электронами, для дважды вырожденных — 4 электронами и для трижды вырожденных — 6 электронами. [c.296]

Вырожденные колебания, обобщение понятия нормального колебания. Может оказаться, что два или несколько корней векового уравнения (2,11) или (2,34) и (2,38) совпадают между собой, т. е. что два или несколько нормальных колебаниГ обладают одинаковой частотой. Тогда эти два или несколько колебаний называются вырожденными между собой. В этом случае для вырожденной частоты имеется два или несколько наборов решений уравнений (2,10), скажем, М . 4 [c.87]

Хорошей иллюстрацией является рассмотренное выше движение упругого стержня, при условии, что он имеет квадратное или круглоэ сечение, так как в этом случае оба нормальных колебания обладают одной и той же частотой. В результате тело, подвешенное на стержне, может совершать простые гармонические колебания с одной и той же частотой в любом направлении, проходящем через положение равновесия. При сложении двух первоначально простых, гармонических движений, фазы которых различны, получится движение тела по эллипсу (фиг. 22, г или по окружности, если сдвиг фаз равен 90°, а амплитуды обеих составляющих движения равны друг другу) этот эллипс будет описываться с частотой вырожденного колебания. [c.88]

Два простых примера. В то врэмя как невырожденные колебания по отношению к любой операции симметрии могут быть только симметричными или антисимметричными, вырожденные колебания могут претерпевать изменения, большие, чем простое изменение знака. Прежде чем изучать причины такого поведения, рассмотрим два примера. На фиг. 25,6 изображены нормальные колебания линейной симметричной трехатомной молекулы типа ХУ, (например, молекулы СО.2). Очевидно, колебания и v,,, являются вырожденными колебаниями. Они, как и колебание v , являются антисимметричными относительно отражения в центре симметрии. Другой операцией симметрии является [c.96]

Плоские дважды вырожденные колебания. Рассмотрим теперь общий случай дважды вырожденных нормальных колебаний, при которых атомы движутся в плоскостях, перпендикулярных оси симметрии порядка р (см. Кабанн [189]). [c.101]

Для молекулы, имеющей ось симметрии четвертого порядка, I может принимать значения 1, 2 и 3. Но 1=2— соответствует колебаниям, антисимметричным относительно этой оси, а 1=Ъ= р эквивалентно 1, так что мы опять имеем лишь один тип вырожденных колебаний. В качестве примера на фиг. 37 показаны нормальные колебания молекулы типа Х, имек)-щей ось симметрии четвертого порядка. Колебание VJ является симметричным относительно поворота на угол 2я/4 = 90° вокруг этой оси, колебания [c.104]

Потенциальная энергия V инвариантна по отношению к преобразованию координат, если = или —i , т. е. если нормальное колебание является симметричным или антисимметричным относительно операции симметрии. Действительно, это явлиется единственной возможностью удовлетворить условию инвариантности V, если все (все частоты) различны. Поэтому невырожденные колебания могут быть только симметричными или антисимметричными. Однако в случае равенства друг другу двух или нескольких значений X , т. е. при наличии вырожденного колебания, соответствующие значения могут ивлнться линейными комбинациями S,-. Рассматривая случай двойного вырождения, положим, что и являются двумя вырожденными нормальными координатами и что зависящая от них часть потенциальной энергии имеет вид [c.107]

Согласно предыдупюму, необходимым следствием наличия оси симметрии порядка выше второго является появление вырожденных колебаний, т. е. колебаний, претерпевающих при повороте вокруг оси большие изменения, чем просто перемена знака. С другой стороны, так как нормальные колебания могут быть всегда выбраны так, что они будут оставаться без изменения или менять только знак при отражении в плоскости, при повороте вокруг оси симметрии второго порядка и при инверсии, молекула, не имеющая оси симметрии порядка выше второго, не должна обладать вырожденными колебаниями, хотя случайно два (или несколько) колебаниС могут быть вырождены между со5ой. Только в том случае, когда молекула обладает, по крайней мере, одной осью симметрии порядка выше второго обязательно появляются вырожденные колебания. [c.111]

Отмеченный выше факт одинакоииго поведения относнтельно инверсии колебаний, вырожденных между собой, можно интерпретировать следующим образом если в уравнениях (2,Ш) Хд,, и 2/, заменить соотвсгственио через - - у, то мы получим те же уравнения, так как в молекуле, имеющей центр симметрии, силовые посто 1Н-ные инвариантны относительно инверсии. Поэтому отношение смещений (даваемое рядом миноров определителя уравнений) остается неизменным, иначе говоря, любое вырожденное нормальное колебание по отношению к инверсии может быть только симметричным или антисимметричным. Это также справедливо для линейной комбинации двух взаимно вырожденных колебаний, и поэтому оба взаимно вырожденных колебания должны вести себя одинаковым образом. Таким же, хотя и несколько более сложным, [c.111]

Симметрия полной колебательной собственной функции, разумеегся, определяется опять поведением множителей, входящих в нее, относительно операций симметрии. Если, например, в линейной трехатомной молекуле типа XY. возбуждается по одному кванту каждого из трех нормальных колебаний (фиг. 25, б), то полная собственная функция будет антисимметричной по отношению к отражению в плоскости, проходящей через атом X перпендикулярно оси молекулы, однако она будет вырожденной относительно поворота на произвольный угол вокруг оси молекулы. [c.117]

Вырожденные типы симметрии. Как указывалось ранее, молекула, обладающая, по крайней мере, одной осью симметрии выше второго порядка, всегда имеет как вырожденные, так и невырожденные нормальные колебания (собственные функции). В этом случае, кроме типов симметрии, подобных разобранным выше мы имеем один или несколько вырожденных типов симметрии, обычно обозначаемых буквой Е, если они дважды вырождены, и буквой Р, если они трижды вырождены В то время как влияние различных операций симметрии на невырожденные колебания или собственные функции может описываться просто множителем - -1 и — 1, такой способ описания не может быть применен в случае вырожденных колебаний и собственных функций, так как они в общем случае переходят в линейную комбинацию согласно уравнзнию (2,62). Можно показать, что для характеристики поведения вырожденного колебания или собственной функции достаточно указать для каждой операции симметрии значение суммы [c.122]

Таким же путем можно получить число вырожденных колебаний для других аксиальных точечных групп (с одной осью порядка вышэ второго). Соответствующие результаты приведены в табл. 36 вместе с данными о числе невырожденных типов симметрии этих же групп. Следует заметить, что атомам, лежащим на оси симметрии Ср, соответствуют только вырожденные колебания типа с /=1, но не колебания типа Е, или с еще ббльшим / (если они возможны для данной группы). Так как в линейных молекулах все атомы лежат на оси, то для этих молекул отсутствуют нормальные колебания типов симметрии Д, Ф,. ... Легко также видеть, что эти молекулы не могут в то же время обладать колебаниями типа симметрии V-. [c.154]

Для того чтобы получить частоты нормальных колебаний, необходимо преобразовать (2,182) к координатам симметрии (в этих координатах потенциальная функция попрежнему имеет квадратичную форму), составить соответствующее выражение для кинетической энергии и решить вековое уравнение. Однако мы ограничимся приведением результатов, полученных Деннисоном [276], Яуманом (см. Шефер [763]) и Радаковичем (см. Кольрауил [13]). В данном случае имеется одно невырожденное колебание VJ типа Л,, одно-дважды вырожденное колебание типа Е и два трижды вырожденных колебания Уз и У4 типа (см. стр. 159). Их частоты определяются формулами [c.184]

При применении изложенных выше соображений к реальным уровням энергии молекуЯы NH3 и других подобных молекул надо иметь в виду, что ни одно из нормальных колебаний не соответствует одномерному колебанию атома N только вдоль оси, перпендикулярной к плоскости Hj. Наоборот, при каждом из четырех нормальных колебаний высота пирамиды несколько изменяется (см. фиг. 45). Расщепление колебательных уровней зависит от величины этого изменения. Его можно оценить с помощью фиг. 72,а, определяя изменение потенциальной энергии, соответствующее изменению высоты, и интерполируя величину расщепления для данной энергии. В первом приближении изменение высоты равно нулю для обоих вырожденных колебаний Vj и v , и поэтому можно ожидать, что расщепление почти не будет зависеть от и г>4 (пока они малы). ) Но даже в первом приближении оно отлично от нуля для невырожденных колебаний Vj и v. , и, следовательно, расщепление уровней должно быстро увеличиваться с возрастанием г), и Наибольшее изменение высоты имеет место для колебаний v . [c.242]

Смотреть страницы где упоминается термин Нормальные колебания вырожденные, : [c.50] [c.91] [c.94] [c.306] [c.406] [c.406] [c.406] [c.188] [c.191] [c.40] [c.217] [c.88] [c.96] [c.100] [c.105] [c.106] [c.106] [c.128] [c.135] [c.143] [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...