Операторы углового момента

Сферические функции > /т(Р, у) являются собственными функциями оператора углового момента —До или угловой [c.225]

Операторы Jx, Jy, Jz, входящие в представляют собой компоненты ровибронного углового момента J [см. (7.78) и (7.79)]. В дальнейшем нам понадобятся выражения компонент оператора углового момента через углы Эйлера. Классические выражения для них определяются по формулам (см. формулу (6) книги [121] с. 261 русского перевода) [c.158]

Лестничный оператор углового момента [c.199]

Можно ввести лестничные операторы углового момента следующим образом. Из уравнения (7.147) находим [c.200]

Зная вид операторов г шр, можно написать выражение для оператора момента импульса М. Другие названия этого оператора — оператор момента количества движения, оператор углового момента. В классической механике М = г х р. Имеем отсюда [c.471]

Таким образом, скалярные сферические гармоники являются собственными функциями операторов и D , Читатели, знакомые с квантовой механикой, заметят совпадение этих операторов с операторами углового момента. [c.457]

Нахождение 5 -генераторов КП как функций от колебательных операторов, углового момента и параметров потенциала [c.76]

Операторы углового момента [c.301]

Операторы углового момента 30 Оптическая плотность 7 Основное состояние гелия 3U Осциллятора сила 242 [c.411]

Все эти результаты получены для электрона со спином /г. Соотношения (5.5), (5.12) — (5.14) и те, что стоят в квадратных скобках (5.10), справедливы только для этого случая. Выражения же для скалярного произведения и коммутационные соотношения такие же, как для общего оператора углового момента, и поэтому соотношения (5.6) — (5.9) и (5.15) — (5.18) применимы в случае ионов или атомов с произвольным полным спином 161. Используя соотношения (5.6) — (5.9), можно убедиться в том, что 5 коммутирует с поэтому состояния могут быть собственными состояниями обоих этих операторов одновременно. Можно также сразу показать, что, действуя на собственное состояние оператора 8], оператор 5 увеличивает собственное значение на 1, а оператор 5г уменьшает его на 1, оставляя собственное значение оператора 8/ -З неизменным. [c.523]

Мы измеряем L в таких же безразмерных единицах, как и спин, так что каждая компонента орбитального момента и имеет целочисленные собственные значения, а орбитальный момент, измеряемый в обычных единицах, есть ЙЬ. Операторы углового момента обозначены жирным рубленым шрифтом. Отметим, что под Ь мы понимаем векторный оператор с компонентами и Ьг. (Аналогичные замечания относятся к оператору спина 8 и к оператору полного углового момента и.) [c.262]

Собственные значения оператора Уз наблюдаются экспериментально и являются интегралами движения. Они относятся к сохраняющимся квантовым числам. Таким образом, симметрия системы привела к определенному закону сохранения. Тот факт, что в разных экспериментах, проводимых при различной ориентации измерительных приборов, получаются одинаковые физические результаты (т. е. имеет место вращательная симметрия), приводит к закону сохранения углового момента. Можно показать, что операторы углового момента Уi образуют алгебру Ли. [c.135]

Наблюдаемая — принципиально наблюдаемая физическая величина (координата, импульс, энергия, угловой момент, спин и т. д.), которой в пространстве состояний сопоставляется некоторый самосопряженный оператор (оператор этой наблюдаемой). [c.271]

В качестве примеров для О. Р р,г) может служить оператор Гамильтона (гамильтониан) Н, играющий принципиальную роль во всей квантовой теории и определяющий данную конкретную систему, и О. орбитального (углового) момента М. Для N взаимодействующих между собой нерелятивистских частиц гамильтониан имеет вид [c.412]

Каждый электрон i молекулы имеет спин s, с величиной Й/2, а полная электронная спиновая функция [S, ms) зависит от двух квантовых чисел S и ms тогда собственные значения операторов (квадрата полного спинового углового момента электронов) и Sz (Z-компоненты спинового углового момента электронов) соответственно равны S S и msh, и можно записать [c.114]

При использовании базиса симметричного волчка /, k, т и соответствия Г квантовое число k относится к вращательному угловому моменту относительно оси а. Поэтому при применении соответствия Г базис иногда записывается как /, ka, т), где ka вводится как вращательное квантовое число для вращения вокруг оси а. Чтобы определить матричные элементы гамильтониана, необходимо знать матричные элементы 71, (Ут) и 7тУ. в соответствии с табл. 8.1 ненулевые матричные элементы этих операторов равны [c.204]

Этот оператор коммутирует с оператором колебательного углового момента М, который записывается в виде [c.217]

Это описание продолжается в П3.2, посвященном различным вопросам физической интерпретации операторов. Дается понятие оператора полной энергии системы (гамильтониана), вводятся квантовые скобки Пуассона и поясняется оператор дифференцирования по времени. Говорится также и о матричном представлении физических величин. Среди операторов физических величин рассматриваются базовые операторы радиуса-вектора, потенциальной и кинетической энергии, импульса, углового момента, инверсии. [c.458]

Таким образом, J является квантовым числом полного рови-бронного углового момента, а k — квантовым числом проекции ровибронного углового момента на ось г. Можно ввести оператор углового момента для вращения вокруг пространственно-фиксированной оси S (см. рис. 7.1) [c.199]

В отсутствие резонансов вычисление поправок на центробежное искажение и кориолисово взаимодействие методом возмущений приводит к эффективному вращательному гамильтониану или уотсониану [113, 118, 133, 134, 136 ], в котором последовательные члены содержат вторую, четвертую, шестую и т. д. степени компонент оператора углового момента. Эффективный вращательный гамильтоииан коммутирует с операциями молекулярной группы вращений и в отсутствие резонансов между состояниями, вызываемых центробежным искажением или корнолисовым взаимодействием, число К остается приближенным квантовым числом для симметричного волчка, а неприводимые представления группы D2 дают хорошую классификацию уровней асимметричного волчка. Для молекул типа сферического волчка центробежное искажение и кориолисово взаимодействие приводят к важному явлеиию частичного расщепления (2/+ 1)-кратного вырождения по k каждого уровня. Максимальное число расщепленных компонентов равно полному числу неприводимых представлений группы МС, входящих в приводимое представление Frv. Например, вращательный уровень с / = 18 основного колебательного состояния молекулы метана состоит из уровней с различными типами симметрии группы МС (см. табл. 10.14) [c.331]

Инвариантность функции Гамильтона относительно инверсии в классической механике не приводит к новым законам сохранения. Инвариантность гамильтониана в нерелятивистской квантовой механике по отношению к инверсии, означаюш ая коммутативность операторов Я и Р, приводит к закону сохранения четности. Имеется в виду, что четность состояния замкнутой системы не изменяется со временем. Обратим внимание на то, что с операт ом инверсии Р коммутативен также оператор углового момента М = — г/г(г х V), т.к. при инверсии знаки у г и V изменяются одновременно, т.е. система имеет определенную четность вместе с вполне определенным значением М. [c.472]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

По известным значениям (01 = Ихх и со2=0 (toxx — угловая скорость холостого хода двигателя) из уравнения (29) находим значение Qo в момент времени =0. Для этих начальных условий численным интегрированием двух уравнений рассматриваемой системы находим зависимости mi(0. Q(0 и вычисляем моменты Мгд и М]д (блоки 4 и 5). Интегрирование двух уравнений системы (38) ведем до момента времени t, когда сила тяги М2диоикГ ш)/Гц станет равной силе сопротивления — дороги Рс, что проверяется условным оператором 6. Момент включения высшей передачи определяем условным оператором 7. Вводим порядковый номер включаемой передачи и ее передаточное отношение (блок 8). После этого осуществляем переход к интегрированию полной системы уравнений (блоки 9, 10), причем в качестве начальных условий принимаем значения (di( ), Q t) и Ш2=0. Вычисляем параметры разгонных характеристик автомобиля с гидромеханической трансмиссией (блок 11). [c.46]

Рассмотрим теперь операцию инверсии Н. Под действием операции Е в системе осей (Х, У, Z) все радиус-векторы R переходят в —R, векторы импульсов Р в —Р (это полярные векторы), а спи1ювые векторы и Si не меняются, поскольку они являются аксиальными векторами. Аксиальный вектор под действием Е преобразуется как вектор углового момента R Х Р. а поскольку R и Р под действием Е переходят в — .R и —Р, то векторное произведение остается инвариантным. Читатель сам может убедиться, что операторы Res и Rns не меняются при замене R->-—R, Р- —Р, 1- 1, SS. Инвариантность Й° относительно Е рассмотрена в гл. 5. Так же как все члены внутримолекулярных электромагнитных взаимодействий, электрическое квадрупольное взаил одействие инвариантно относительно операции Е. Рассмотренный выше молекулярный гамильтониан инва- [c.103]

Рассмотрим действие операции [а,р,y] пространственной группы К(П) на молекулярную волновую функцию Ф. Можно показать, что молекулярный гамильтониан Н коммутирует с операторами (квадратом полного углового момента, включающим спиновые угловые моменты ядер и электронов) и Fz (Z-kom-понентой полного углового момента) см., например, гл. IV и VIII в книге [69]. Гамильтониан коммутирует с операциями [а, р, v], которые в свою очередь коммутируют с и Pz. Мы можем записать [c.108]

Здесь оператор электронного углового момента введем в оператор кинетической энергии ядер. Далее удобно ввести вместо операторов (5/(90 и д дф компоненты (х, у, z) оператора ровнброн-ного углового момента ) J, которые в системе осей ( , i-j, ) имеют вид [c.147]

Здесь для оператора ровибронпого углового момента использовано [c.147]

Рассмотрим переход от координат (I2, il2, I2.....ti) к ровибронным координатам Q,ф,x.Qu. .., Qs -e, Xn+i, . , Zi) в уравнении Шредингера для жесткой нелинейной многоатомной молекулы здесь три угла Эйлера (9, ф, %) определяют ориентацию молекулярно-фиксированной системы осей (х, у, z) относительно пространственной системы осей ( , т), ), а (ЗЛ — 6) нормальных координат Qr являются линейными комбинациями координат ядер Xi, yt, Zi). Тогда оператор выражается через операторы (1 , Qu. .., Рзлг-е, Р, . ... Ръи-%), где — компоненты ровибронного углового момента, а Рг = —itid/dQr. Такая замена координат позволяет разделить сумму и межъ-ядерной потенциальной функции Vn (которая получается в приближении Борна — Оппенгеймера, рассмотренном в следующей главе) на часть, зависящую только от 1х, Jy> и на (ЗЛ —6) частей, зависящих только от координат Qr и сопряженных им импульсов Рг. Новый набор координат содержит теперь три угла Эйлера вместо двух углов в (7.65) и (7.66) для двухатомной молекулы и (3N — 6) колебательных координат Qr вместо одной координаты R в (7.67) для двухатомной молекулы. Как видно из (7.58) и (7.60), такая замена координат не влияет на форму Те [см. (7.46)]. [c.153]

Таким образом, т является квантовым числом проекции рови-бронного углового момента вдоль пространственно-фиксированной оси I. Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать, что операторы J , /г и 7 коммутируют друг с другом. [c.200]

Обычно электронные матричные элементы операторов Са малы по сравнению с колебательными матричными элементами Рг, поэтому оператор fv является основной причиной нарушения приближения Борна —Оппенгеймера. Однако для случая нелинейных молекул типа NH2, переходящих при колебании через линейную конфигурацию, возмущение fev может быть очень важным. В этом случае он описывает взаимодействие между колебательными уровнями двух электронных состояний, которые в линейной конфигурации ядер становятся вырожденными. Важность этого взаимодействия в таких случаях связана с тем, что взаимодействующие электронные состояния могут иметь заметный электронный угловой момент относительно оси симметрии (2) линейной конфигурации молекулы, а энергии взаимодействующих колебательных уровней могут быть очень близкими (вследствие электронного вырождения в линейной конфигурации молекулы). Такое возмущение получило название эффекта Ренера [99, 67]. [c.328]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...