Прямое произведение представлений д( (я) ф д1 (я)

В настоящем параграфе завершается анализ, начатый в 17. Там мы ввели в рассмотрение прямое произведение представлений и, согласно (17.4), коэффициенты приведения. Коэффициенты приведения показывают, сколько раз каждое неприводимое представление содержится в прямом произведении представлений. [c.61]

Прямое произведение представлений <" > [c.135]

Возможно, полезно заметить также, что случай совпадающих звезд к и к не вносит ничего нового. В этом случае мы должны рассматривать обычное прямое произведение представления само на себя. Соответствующие коэффициенты приведения для волнового вектора можно получить аналогично (56.10) [c.144]

Другими словами, прямое произведение представлений начального и конечного состояний должно содержать представление полярного вектора. При этом вероятность перехода определяется формулой [c.15]

Эти колебания активны в рассеянии, если соответствующее прямое произведение представлений содержит одно из представлений (5.14). Однако в принципе можно сказать больше. [c.49]

Таким образом, при преобразовании, соответствующем оператору однофононная температурная функция Грина преобразуется как базисная функция прямого произведения представлений [46, 47], по которым преобразуются операторные сомножители. В символическом виде имеем [c.79]

Теперь мы можем ввести понятие композиции, или прямого произведения, представлений группы. [c.47]

Представление матрицами D g) х D (g) называют композицией шм прямым произведением представлений D g) nD (g). Если представления D и D унитарны, то по свойству б) их прямое произведение также унитарно. [c.48]

Особенно простой результат получается, если разложение прямого произведения представлений (13.57) не содержит кратных представлений, как это имеет место дпя группы трехмерных вращений. В этом случае в правой части (13.59) будет только одно слагаемое, и индекс т может быть заменен на и [c.161]

Если мы составим всевозможные произведения спиновых и координатных функций, то получим некоторый базис П представления у точечной группы. Это представление является прямым произведением представлений, по которым преобразуются спиновые и координатные функции. Рассмотрим представление точечной группы Н, которое получается из антисимметричного (симметричного) представления Аа Аз) группы 3 отбором соответствующих элементов. Обозначим его через 7 (7 ). Мы покажем, что статистический вес рассматриваемого уровня равен кратности этого представления в представлении 7. В самом деле, расширим пространство, натянутое на базис О, так же, как мы делали выше, до пространства, инвариантного относительно группы 5 . В расширенном пространстве реализуется представление группы 5 , которое индуцируется представлением 7 группы Н. Представление Ал Аз) согласно теореме Фробениуса может быть индуцировано только представлением 7 (7 ). Поэтому кратность представления Аа Аз) в расширенном представлении должна быть равна кратности в представлении 7. Это и доказывает наше утверждение. [c.204]

С помощью теории групп для матричных элементов электронных переходов можно получить правила отбора точно так же, как мы это делали для колебательных спектров (глЛ). Вибронная волновая функция будет преобразовываться по представлению, равному прямому произведению представлений электронного и колебательного со- [c.208]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

Особенно важное свойство прямого произведения Г неприводимых представлений и Гт состоит в том, что представление Г содержит полносимметричное представление Г один раз ), если Г = Гт, и вовсе не содержит F >, если Г ФГт-Доказать это можно следующим образом. Характер представления Г для операции R согласно (5.92) дается выражением [c.85]

Применяя последовательно (6.40), можно записать прямое произведение трех представлений [c.108]

Теперь рассмотрим классификацию электронных спиновых функций по неприводимым представлениям пространственной группы К(П). Пара спиновых функций (а, р) электрона с квантовым числом спинового углового момента S = /2 преобразуется по двумерному представлению )( W пространственной группы К (П). [Группа К (П) является спиновой двойной группой для группы К(П), а введение этой расширенной группы К (П) требуется для классификации состояний с полуцелым значением углового момента. Этот вопрос рассматривается более подробно в гл. 10.] Произведения 2" спиновых функций п-электронной системы преобразуются по прямому произведению (g) [c.116]

Прямые произведения неприводимых представлений группы 0,8 >) [c.256]

Это означает, что в произвольном п-представлении соответствующая матрица плотности ПОЛНОГО ансамбля записывается в форме прямого произведения матриц [c.46]

При образовании нелинейной молекулы Х г (точечная группа Сг,) из X и 2 необходимо рассматривать два атома совместно, как двухатомную молекулу, а затем полученные неприводимые представления точечной группы JJ h разложить на иредставления группы Сг и > памятуя о том, что ось второго порядка группы Сги перпендикулярна оси С , группы 7>оо/(. В качестве примера рассмотрим случай, когда атомы находятся в состоянии, а атом X — в зр -состоянии, как это имеет место при образовании молекулы НзО (или нелинейной формы молекулы СНг) из атомов в их основных состояниях. Два атома , согласно правилам Вигнера — Витмера,. дают состояния 2 , и молекулы г, которые при разложении по неприводимым представлениям С гв, согласно табл. 59, дают состояния и 4 2- Рд-Состояние атома X дает при раз.пожении (табл. 58) - - -г Комбинируя состояния молекулы г и атома X (т. е. образуя прямое произведение представлений), получим [c.290]

Равенство (17.2) дает несколько разных эквивалентных способов записи прямого произведения матриц. Прямое произведение представлений (17.2) также является представлением группы [1]. Поэтому группа гомоморфно отображена на группу ( ф I i (ф) ), так что каждому элементу ф (ф) соответствует матрица из (17.2). [c.59]

Более полный анализ можно выполнить в том случае, когда прямое произведение представлений в виде (17.1) или в виде (17.2), подобном (17.1), преобразуется унитарной матрицей и при этом приводится к полностью приведенной или блочно-диагональной форме. Матричные элементы унитарной матрицы, преобразующей одновременно все матрицы к приведенной форме, называются коэффициентами Клебша — Гордана. Эти матричные элементы имеют также и другой валшый и близко связанный с предыдущим смысл они являются элементами матрицы, преобразующей пространство прямого произведения [левая часть равенства (17.5)] в неприводимые пространства [правая часть равенства (17.5)]. Другими словами, эти матричные элементы позволяют определить правильные линейные комбинации произведений функций (каждое из этих произведений содержит по одной функции из каждого пространства), являющихся базисом для неприводимого представления пространства прямого произведения. Как вскоре выяснится, коэффициенты приведения содержат меньшую информацию. [c.61]

Роль коэффициентов приведения для волновых векторов и правил отбора для волновых векторов состоит в том, что они выделяют только те звезды, которые возникают при нахождении прямого произведения представлений. Другими словами, при разложении произведения следует лищь найти [c.146]

Перед тем как переходить к приложениям, введем еще понятие композшдаи, или прямого произведения, представлений группы и понятие прямого произведения групп. С этой целью введем сначала понятие прямого произведения матриц. [c.45]

Сравнивая (13.15) с (12.23), мы видим, что в рассматриваемом случае составляющие оператора полного момента количества движения совпадает (с точностью до множителя) с инфинитезимальными операторами прямого произведения представлений и. Поэтому наша задача просто сводится к разложению прямого произведения двух неприводимых представлений группы вращений на неприводимые представления. Применяя правило Клебша—Гордана, мы получаем, что квантовое число Ь может принимать значения /1+ 21 Л + 2 - 1, , 1 1 Собственные функции операторов и согласно (12.28) имеют вид [c.153]

Разложением Клебша—Гордина называется правило, позволяющее эффективно выразить систему инвариантов представления, которое является прямым произведением двух представлений той же группы, через инварианты этих представлений. [c.911]

Продолжение примечания с предыдущей страницы. Движение лиувиллевой системы (рис. 49) в проекции на каждую координатную ось имеет такой же колебательный характер, как движение в потенциальной яме (рис. 41). Таким образом, лиувиллева система сводится к двум системам с одной степенью свободы (но эти системы зависят, вообще говоря, от полной энергии исходной системы как от параметра, так что здесь нет такого тривиального распадения системы на одномерные, какое наблюдается при линеаризации после перехода к нормальным координатам иначе говоря, лиувнллева система в общем случае не является прямым произведением одномерных). Наконец, представление Пуансо (см. рис. 66) тоже можно рассматривать как сведение случая Эйлера к (ненатуральной) гамильтоновой системе с одной степенью свободы (см. рис. 74), [c.286]

Неприводимые представления Л. г. (точнее, её подгруппы L+) полностью характеризуются собств. значениями /I, ii операторов j, g. Для конечномерных представлений удобнее трёхмерная реализация (2) алгебры Ли. Вследствие её расщепления представление jjOk h) д г. строится как прямое произведение пред- [c.607]

Напр., в квантовых системах с группой симметрии в собств. ф-ции ф гамильтониана можно классифицировать по неприводимымП. г 6. Теория П. г. позволяет в этом случае установить т. н. правила отбора при рассмотрении процессов перехода из одного состояния в другое. Если процесс перехода задаётся оператором 0 , соответствующим неприводимому П. г. В С, 7,), то переход из яек-рого состояния соответствующего неприводимому П. г. В)(6, 7 ), может осуществляться лишь в те конечные состояния ф.,, представление к-рых Ву содержится в разложении прямого произведения = 2 гПуВу. [c.102]

Такое же вырождение встречается при разложении произведения двух неприводимых представлений в сумму по неприводимым представлениям (ряд Клеб-ша — Гордана, см. Клебша — Гордана коэффициенты). Это разложение в группе 51/(3) может содержать одно и то же представление неск. раз, тогда как для группы 51/(2) ряд Клебша — Гордана содержит каждое представление не более одного раза. Простым примером является прямое произведение двух октетов, в разложении к-рого октетное представление появляется дважды. [c.518]

Если в системе N частиц выделить подсистемы из а N2 частиц соответственно, где N= Ni + N2, то такие состояния описываются произведениями волновых ф-ций <)/(Afi) ) (JV2), преобразующимися по прямому произведению соответствующих представлений [c.652]

Фй0а). в группе Сзч Щ представление прямого произведения f приводится к сумме представлений Л1 ф / и Лг, из которых первое является представлением симметричной части произведения, а последнее — представлением антисимметричной части произведения. Запии1ем симметричную часть произведения [c.84]

Неприводимые представления группы К(П) обзначаются через /)( ) (полносимметричное представление), D< >, и т. д. и в общем случае через D<> Матрица операции вращения [а, р, у] в представлении записывается как D( >( [а, Р, v]) и имеет размерность (2/ +1). Строки и столбцы матрицы D< )([a, р, ]) нумеруют по значениям числа /п/ — —/,—/ 4-1,. .., Прямое произведение двух представлений группы К(П) удовлетворяет следующему правилу [c.107]

Тип симметрии группы К (П) для спиновых функций молекулы AaBft Dd... определяется построением прямого произведения с самим собой а раз для ядер А, Ь раз для ядер В и т. д. Тип симметрии полной ядерпой спиновой функции молекулы получается путем перемножения всех этих произведений. Данная ядерная спиновая функция Фпз преобразуется по неприводимому представлению где I — квантовое число полного ядерного спинового углового момента данного состояния. [c.118]

Предполагается, что после прочтения глав 1 и 2 читатель без труда определит элементы группы полной перестановочно-инверсионной группы ядер (ППИЯ) молекулы. Эта группа является прямым произведением полной перестановочной группы ядер (ППЯ) [см. (1.55)] и группы инверсии S = Е, Е . ППИЯ-группа может быть построена для любой молекулы, если известна ее химическая формула. Как было показано в гл. 6, гамильтониан изолированной молекулы при отсутствии внешнего поля инвариантен относительно операций ППИЯ-группы, и в принципе можно классифицировать ровибронные волновые функции и энергетические уровни по неприводимым представлениям этой группы. Однако часто в этом нет необходимости. [c.221]

S "-состояниями, не представляет большого труда, так как в нервом нриближении волновая функция есть просто произведение волновых функций отдельных составляющих систем (компонент), а, следовательно, результирующие неприводимые представления получаются из прямого произведения неприводимых представлений компонент (табл. 57 приложения III). Таким образом, 2+ так же как и 2 + 2", приводят к 2+-состоя- [c.286]

Рассмотрим образование нелинейной молекулы ХУ2 (точечная группа С ) из атомов X, У и г. Чтобы установить, какие типы молекулярных состояний могут быть получены таким способом, необходимо прежде всего разложить неприводимые представления точечных груни атомов X, и 2 на неприводимые представления точечной группы (Л, используя табл. 58 (приложение IV). Например, если исходные состояния атомов и Рд, как это имеет место в молекуле HNO, то получаются представления М, М" и А Н " -К А" соответственно. Согласно правилам для прямого произведения (табл. 57 приложения III), результирующие молекулярные состояния будут следующих типов А", А и А. Мультиплетность, как и для линейных молекул, получается при векторном сложении векторов >5 [уравнение (111,2)], что в настоящем случае приводит к результирующим значениям спинового квантового числа 3, 2, 2, 1, 1, 0. Таким образом, получаются следующие молекулярные состояпия Ы (2), А",. М (4), М" (2), (4), - А" (2), (2), М". [c.290]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...