ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейность и принцип суперпозиции из "Волны " Примеры, рассмотренные в п. 1.2, соответствуют случаю, когда возвращающая сила пропорциональна — ф и не зависит (например) от х ) и т. д. Диф( ренциальное уравнение, содержащее не более чем первую степень я и первые степени производных d ldt,. d ldt и т. д., называется линейным, относительно переменной г и ее производных по времени. При этом уравнение называется однородным, если оно не содержит членов, не зависящих от г] . Если в уравнении появляются степени функции г]) или ее производных, то уравнение называется нелинейным, например, уравнение (5) нелинейно, что очевидно, если подставить в него выражение (6) для з1пг . Только пренебрегая в разложении 51пг1 высокими степенями л1), мы получим линейное уравнение. [c.28] Обычно нелинейные уравнения решать трудно. (Нелинейное уравнение для маятника было решено в т. I, стр. 251.)К счастью, существует много интересных физических ситуаций, для которых линейные уравнения дают очень хорошее приближение. Мы почти всегда будем иметь дело с линейными уравнениями. [c.28] Линейные однородные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения имеют следующее интересное и важное свойство сумма двух любых решений уравнения также является его решением. Нелинейное уравнение таким свойством не обладает сумма двух решений нелинейного уравнения не будет его решением. [c.28] Уравнения (32) и (33) справедливы всегда. Равенства (34) и (35) неверны, если а и р не нули. Таким образом, мы видим, что суперпозиция двух решений является решением тогда и только тогда, когда уравнение линейно. [c.29] что суперпозиция решений также представляет собой решение, является особенностью однородного линейного уравнения. Говорят, что колебания, которые описываются такими уравнениями, подчиняются принципу суперпозиции. Мы не будем рассматривать никаких других колебаний. [c.29] Линейные неоднородные уравнения. Линейные неоднородные уравнения (т. е. уравнения, содержащие члены не зависящие от ор) также удовлетворяют принципу суперпозиции, хотя и несколько другого рода. Существует много физических явлений, аналогичных гармоническому осциллятору, подверженному воздействию внешней вынуждающей силы не зависящей от я1з( ). [c.29] Здесь Р t) — внешняя вынуждающая сила, не зависящая явхю от смещения ф(0- В этом случае принцип суперпозиции выглядит следующим образом. Предположим, что движение ф (О соответствует возмущающей силе ) (в том случае, когда на систему действует только сила Р ()), а движение 1133 Ц) вызывается возмущающей силой P t) [в том случае, когда действует только сила P t). Теперь, если обе возмущающие силы, Pl t) и/ а ( ), действуют одновременно, так что полная возмущающая сила представляет собой суперпозицию р1 ()- -Рг ) то соответствующие колебания системы [т. е. решение уравнения (36)] будут определяться суперпозицией ( )= 1)1 ( )-Ьг1)2 (О- Покажите сами, что это справедливо для линейного неоднородного уравнения (36) и несправедливо для нелинейного уравнения относительно гр t) (см. задачу 1.16). [c.30] Системы, с которыми мы имели дело в п. 1.2 и при иллюстрации принципа суперпозиции, обладают одной степенью свободы. Однако принцип суперпозиции применим для систем с любым числом степеней свободы (если уравнения линейны), и мы в дальнейшем очень часто будем им пользоваться. [c.30] Вернуться к основной статье