Плоские потенциальные волны

ПЛОСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ [c.307]

Плоскую задачу о потенциальных волнах бесконечно малой амплитуды на поверхности тяжёлой несжимаемой жидкости, занимающей всё нижнее полупространство, можно сформулировать в следующем виде. [c.105]

Ниже рассматривается новое приложение теории плоских двойных волн также в предположении потенциальности течения. Оказывается, что в классе двойных волн возможно примыкание через неподвижную характеристику установившихся плоских течений изотермического и политропного газов к нестационарным плоским течениям типа двойных волн. Это обстоятельство позволяет в предположении гиперболичности изучаемых систем уравнений (рассматриваются сверхзвуковые потоки) поставить ряд граничных задач в плоскости годографа для скорости звука ui,u2) (щ, U2 — компоненты вектора скорости и) и потенциала U2). [c.64]

Для рассматриваемого случая, полагая в (1.1), (1.2) для фиксированного i (ai u)=0, получим течение типа плоской двойной волны (вместо (3) останутся два уравнения, получающиеся составлением соответствующей линейной комбинации) полагая, что в нуль обращаются сразу два таких соотношения, получим плоские волны Римана. Каждый раз, в соответствии с теоремой [7] о примыкании течений различных рангов, плоскости типа и) = О или прямые ((а и)=0, и) = О, i ф к) в пространстве годографа скоростей М2, будут являться характеристическими многообразиями соответственно для уравнений тройных и двойных волн. Таким образом, в случае, если сохраняется потенциальность течения, можно с помощью (1.1), (1.2) построить решение в некоторой области взаимодействия трех волн Римана (функции определяются по заданным [c.151]

Графический метод Прандтля—Буземана, так же как и метод Прандтля— Майера, применим для расчета только плоского потенциального течения. Задача же о трехмерном потоке, даже с осевой симметрией, несравненна более сложна и долгое время не поддавалась изучению. Оригинальное решение ее было предложено в 1929 г. А. Буземаном . Он обратил внимание на то, что ударная волна у носка снаряда имеет коническую форму. При про- [c.316]

Энергия конечной системы расходящихся сферических волн так же, как и в случае плоских прогрессивных волн, состоит наполовину из кинетической энергии, наполовину из потенциальной. [c.612]

Пусть плоскость yz является граничной, а ось х направлена внутрь жидкого металла. Рассмотрим падение из твердого тела на границу раздела плоской продольной волны. Известно, что поле скоростей в жидкости можно задать с помощью скалярного потенциала ф, а вектор смещения и в твердом теле — в виде суммы потенциальной и соленоидальной частей, т. е. [c.9]

Во всякой плоской бегущей волне, будет ли она гармонического типа или пет, полная энергия распределяется поровну между потенциальной и кинетической. Наиболее просто получить этот результат можно, вероятно, рассматривая, как образуются положительная и отрицательная волны из начального возмущения, энергия которого полностью потенциальная 2), Полная энергия для каждой из двух образовавшихся бегущих волн, очевидно, одна и та же, и вместе энергия этих волн дает энергию первоначального возмущения. Кроме того, в каждой бегущей волне сжатие (или разрежение) составляет половину того, которое существовало в соответствующей точке вначале таким образом, потенциальная энергия каждой бегущей волны составляет одну четверть энергии первоначального возмущения. А так как, — мы это только что видели,— полная энергия каждой волны равна половине того же количества, то мы заключаем, что в бегущей волне любого типа половину энергии составляет потенциальная энергия и половину — кинетическая. [c.26]

Если плоские бегущие волны — гармонического типа, то а и 5 во всякий момент времени являются круговыми функциями одной из пространственных координат (х), и поэтому среднее значение квадратов их равно половине максимального значения. Отсюда полная энергия волн равна кинетической энергии всей данной массы воздуха, движущейся с максимальной скоростью, какую можно найти у волн, или потенциальной энергии той же самой массы воздуха, сжатой до максимальной плотности, встречающейся у волн. [c.27]

Для воздуха (у = 1,4) отношение средних потенциальной и кинетической энергий существенно отличается от единицы. Впрочем, так же будет и для других газов и жидкостей. Аналогичный вывод получается и при рассмотрении кинетической и потенциальной энергий, отнесенных к единице массы [см. (73)], или к массе в единице невозмущенного объема, когда потенциальная энергия равна ро п [58]. В выражении плотности энергии (75) общепринято писать только первые два слагаемых, хотя для этого в общем случае нет основания. Тогда и получается равенство между средними по времени плотностями кинетической и потенциальной энергий в плоской бегущей волне. [c.66]

Поэтому кинетическая и потенциальная энергии бегущей плоской звуковой волны, усредненные по объему всей жидкости, равны между собой. Если же рассмотреть часть звукового поля, выделенную, например, замкнутой фиксированной в пространстве поверхностью, то Д ст усредненное по времени изменение массы в выделенном объеме. Отличие ее от нуля и является причиной неравенства потенциальной и кинетической энергий в рассматриваемом объеме [46]. [c.67]

Таким образом, потенциальная энергия, связанная с членом Е ч иногда оказывается несущественной, что позволяет пользоваться общепринятым выражением для энергии [59]. Однако среднее по времени значение от 2 нуль не обращается. Поэтому в среднем по времени кинетическая и потенциальная энергии плоской звуковой волны не равны между собой, а средняя по времени плотность полной энергии не равна удвоенной плотности кинетической энергии. [c.68]

Пусть в упругой среде распространяются плоские синусоидальные продольные волны. Выделим мысленно в волновом поле столь малый объем с У, что деформацию в каждой части этого объема, а также скорости частиц в не.м мо.ъмо приближенно считать одинаковыми. При прохождении волны этот объем среды приобретает кинетическую и потенциальную энергии. Если р — плотность среды, [c.209]

Полученные результаты для поведения волновых функций в зависимости от г позволяют объяснить существование энергетической щели следующим образом. Линейная комбинация плоских волн (бегущих) приводит к появлению стоячих волн с пучностями на ионе (4.54а) и между ионами (4.546). Это значит, что при Ug<0 электроны (отрицательный заряд) скапливаются в окрестности положительных ионов, где потенциальная энергия наименьшая. Такое распределение заряда приводит к понижению энергии, отвечающей данной волне. Скопление же отрицательного заряда в области между ионами (высокой потенциальной энергии) приводит к повышению потенциальной энергии. В результате энергии, отвечающие разным волнам, различны, что и объясняет возникновение зон разрешенных и запрещен-,ных энергий. [c.77]

Уравнение (5.8а) выражает условие плоского безвихревого течения при обтекании угловой точки А поток остается потенциальным и безвихревым, а следовательно, и энтропия потока, пересекающего волну разрежения, сохраняется неизменной. Подставим в (5.86) производную давления [c.118]

Учет поперечных сдвигов и инерции поперечных сечений. Когда длина волны поперечных колебаний соизмерима с размерами поперечного сечения стержня, применяют уточненные уравнения, в которых учтены поперечные сдвиги и инерция поворота сечений. В уточненной теории Тимошенко введено предположение поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными к деформированной оси стержня. Потенциальная энергия деформации [c.333]

В связи с обсуждаемой задачей отметим давнюю работу [5], в которой в рамках линеаризованной модели потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости рассматривалась устойчивость плоского слоя, ускоряемого постоянно действующим перепадом давления с двух сторон слоя. Авторы обнаружили неустойчивость поверхностей слоя по отношению к гармоническим возмущениям любой длины волны с экспоненциальным ростом амплитуды возмущений со временем (при этом, разумеется, гармонический вид возмущений сохраняется). Скорость нарастания возмущений увеличивается при уменьшении длины волны. Показано, что учет поверхностного натяжения, препятствующего развитию наиболее коротковолновых возмущений, выделяет длину волны наиболее быстро растущего возмущения. Тот же результат получен при приближенном учете упругих свойств среды. [c.206]

Можно показать, что в построенном решении области однородного, потенциального и вихревого потоков сопрягаются непрерывным образом. Действительно, хотя кривизна ударной волны в точке сопряжения терпит разрыв, газодинамические характеристики остаются непрерывными. Для простоты ограничимся случаем плоского крыла [c.267]

Электроны в потенциальной яме рассматриваются как плоские волны и описываются с помощью волновых функций. [c.139]

Течения типа двойных воли для плоских и пространственных движений политропного газа изучались в работах [1 6]. В этих работах, в основном с использованием свойства потенциальности течений, выведены уравнения, описывающие движения типа двойных волн, и рассмотрен ряд приложений теории этих течений к решению конкрет ных газодинамических задач. [c.63]

Поставленные задачи в некотором смысле аналогичны основным краевым задачам для плоских установившихся потенциальных течений в криволинейных каналах ([9]). Если для установившегося течения скорость звука можно найти из уравнения Бернулли, то в данном случае вместо уравнения Бернулли приходится рассматривать нелинейное уравнение второго порядка для скорости звука ui U2) в плоскости годографа, известное из теории двойных волн (см. [3, 4]), и для этого уравнения необходимо решать граничные задачи типа задачи Гурса или смешанной задачи. [c.64]

Однако, если в плоском случае рассматривать течения, удовлетворяющие в окрестности слабого разрыва некоторым условиям гладкости, то можно при помощи потенциальных двойных волн получить приближенные решения в некоторой окрестности произвольного криволинейного слабого разрыва. Исследование задач для уравнений двойных волн, возникающих при таком примыкании, а также вопросов применения решений, полученных при помощи двойных волн, для построения картины течения в окрестности произвольного слабого разрыва и является целью данной работы. При этом будет рассмотрен случай, когда производные от плотности р и от компонент вектора скорости щ на слабом разрыве немалы, и, следовательно, акустического приближения недостаточно. [c.86]

Для построения решений используется класс пространственных потенциальных двойных волн, уравнения которых были впервые получены в [2]. Использование двойных волн приводит к тому, что удается рассмотреть лишь случай, когда характеристическая поверхность будет развертывающейся поверхностью S) в любой момент времени t в физическом пространстве Ж1, Ж2, жз (ясно, что плоский случай получается при этом полностью, без каких-либо ограничений на форму поверхности). [c.113]

В [1] была выведена система уравнений тройных волн для политропного газа в пространстве годографа скоростей U2, щ. Двойные волны в баротропном газе для нестационарных потенциальных плоских течений были рассмотрены в [2], причем часть результатов [2] будет незначительным обобщением результатов, полученных в [c.141]

Будем рассматривать класс течений, в которых не возникает сильных разрывов. Такие течения будут потенциальными и будут состоять из областей постоянного движения, простых, двойных и тройных волн (тройная волна будет описываться уравнением (1.2) для j = 3). в [7, 9] были рассмотрены плоские задачи о выдвижении из политропного тяжелого газа с малыми скоростями Vi, V2 двух поршней Pi, Р2 с углом а между ними. Было показано, что полное потенциальное течение можно построить лишь для а = и/к к целое). [c.144]

Для вычисления энергии, протекающей через площадь 5 волнового фронта при распространении плоской волны, возьмем элемент массы среды А//г в объеме, вырезанном боковой поверхностью цилиндра произвольного сечения 5 (с образующими, параллельными оси х) и двумя плоскостями, перпендикулярными к оси X и определяемыми абсциссами х и х- -Ах (рис. 3)> причем Ах малая по отношению к длине волны величина (Ах Х). Объем элемента в начальный момент Av — S Xy а масса его Ат = pAv. Пусть объем элемента массы Ат через малый промежуток времени изменится на йю. Потенциальная энергия в объеме этого элемента (добавочная) при изменении давления от до Р -р увеличится на [c.30]

В гл. 6 показано, что для длинных волн излучение распространяется в форме плоской волны, возбуждаемой суммарной объемной пульсацией, даваемой мембраной, и не зависит от формы ее колебаний. Собственный импеданс колеблющейся пластинки или мембраны, представляющей распределенную систему, можно условно отнести к центру системы, движение которого характеризуется некоторой скоростью щ. Учитывая кинетическую, потенциальную и рассеянную в системе энергию, введем некоторые эквивалентные параметры М Е и / , характеризующие массу, упругость и трение для системы, приведенной к центру . Таким образом, мы заменяем распределенную систему системой с одной степенью свободы с эквивалентными массой М упругостью Е и коэффициентом трения / . Кроме того, силу, действующую на систему по всей ее площади, придется заменить эквивалентной силой действующей в центре и производящей ту же самую работу. Кроме объемной пульсации, порождающей плоскую волну, мембрана или пластинка дает дополнительные колебания в окружающей среде, вызываемые высшими модами колебания поверхности. При длинных волнах высшие моды не порождают волн, распространяющихся в трубе, и возбуждают колебательный процесс лишь в ближней зоне. Это приводит к возникновению дополнительной энергии, связанной с этими колебаниями, и формально может быть выражено как появление добавочной или присоединенной массы, как бы движущейся в целом со скоростью По, Для колебаний в воздухе [c.180]

При распространении ультразвуковой волны каждая частица среды совершает колебательное движение около положения равновесия со скоростью и, что сопровождается периодическим измене- шем плотности и давления в окрестности частицы. При этом, как мы видели, в плоской волне давление и скорость совпадают по фазе это значит, что силы давления совершают положительную работу. В отсутствие поглощения эта работа не может перейти в тепло, а должна оставаться в форме энергии колебательного движения частиц упругой среды, т. е. звуковой энергии. Таким образом, в процессе излучения ультразвука колеблющимся источником его энергия передается прилегающей среде в форме звуковой энергии, которая распространяется в среде со скоростью звука, заполняя все большее пространство, называемое ультразвуковым полем. Энергия каждого элемента объема в этом поле представляет собой сумму кинетической энергии колеблющихся частиц и потенциальной энергии упругой деформации. Кинетическая энергия частицы с объемом 1 0 и плотностью Ро равна [c.50]

Рассмотрев стационарные простые волны, перейдем теперь к общей задаче о произвольном стационарном плоском потенциальном движении. Говоря о потенциальном течении, мы подразумеваем, что движение изэнтропично и что в нем отсутствуют ударные волны. [c.607]

Может ли к установившемуся плоскому потенциальному потоку примыкать неуста повившееся течение типа двойной волны В плоском установившемся потенциальном течении имеет место интеграл Бернулли. Запишем его в виде [c.65]

Это соотношение часто используется в линейной акустике в качестве плотности звуковой энергии. Из него, в частно сти, следует для плоской бегущей волны, для которой р = Po(v / o), равенство кинетической энергии потенциальной, и, следовательно, для средней по пространству плотности эвуковой энергии [c.34]

При исследовании течения в плоскости годографа полезно знать характер отображения границ области течения. Граница области может состоять из отрезков линий тока — контуров тел и свободных поверхностей, ударных волн, характеристик. Самыми простыми являются случаи, когда образ границы в плоскости годографа состоит из заранее известных кривых — отрезков прямых (3 = onst (прямолинейная линия тока в физической плоскости), Л = onst (свободная граница), ударная поляра (ударная волна в равномерном сверхзвуковом потоке). Часто встречается случай, когда на граничной линии тока имеется точка излома. Если касательные к линии тока в этой точке составляют угол меньше тг (угол измеряется в области течения), то скорость в ней равна нулю, либо изменяется скачком (из угловой точки исходит скачок уплотнения). Если угол больше тг, обтекание угла будет сверхзвуковым или трансзвуковым. Аналогично случаю плоского потенциального течения [5] для вихревых течений доказывается следующее свойство. [c.37]

Если применить к (2.10) операцию ротора, то мы получим д Tot и I dt = О, rot и = 0 отсюда находим, что и = grad ф, где-Ф — потенциал колебательной скорости. То обстоятельство, что звуковое поле в жидкостях и газах потенциально, связано с продольным характером плоских звуковых волн. Считая, что ф зави- [c.19]

Первый член равен плотности потенциальной энергии в волне. В плоской волне имеется только такой член. Остальные слагаемые — добавочные по сравнению со случаем плоской волны — обусловлены наличием неволновой части скорости. Последнее слагаемое — квадрат неволнового члена — всегда положительно оно равно кинетической энергии в несжимаемой жидкости при такой же временной зависимости давления. Это видно, если положить в (90.5) с = оо (и в коэффициентах, и в выражении для давления), (вреднее слагаемое—произведение волнового и неволнового членов — может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для гармонической волны его среднее значение за период равно нулю. Для непериодического движения его среднее значение за длительный промежуток времени стремится к нулю по мере увеличения времени усреднения. Таким образом, в средних величинах нужно учитывать только первый и третий члены. Следовательно, кинетическая энергия в сферической волне в среднем больше, чем потенциальная (в плоской бегущей волне эти величины равны друг другу). [c.297]

Взаимодействия, обусловленные аигармоннчиостыо колебаний [9, 13, 14]. В п. 3 предполагается, что потенциальная энергия при смещении и является квадратичной функцией относительных смещений и,,, — Um -i, причем суммирование производится как ло всем точкам решетки т, так и по всем парам 1 для данного ш. Нормальными колебаниями в этом случае являются колебания, соответствующие плоским волнам (3.7). Если потенциальная энергия содержит члены выше второго порядка, то плоские волны не будут уже соответствовать нормальным колебаниям и между ними будет происходить обмен анергией. Мы рассмотрим частный случай, когда в выражении для потенциальной энергии содержатся также и кубические члены. Эти члены ответственны за тепловое расширение тел [8]. Рассмотрение легко распространить и на члены более высоких порядков. [c.232]

Во втором методе, предложенном Бриллюэнолг, потенциальная энергия ионов решетки рассматривается как малое возмущение, а в качестве набора волновых функций нулевого приближения берутся плоские волны де-Бройля, являющиеся решением волнового уравнения для свободных электронов (ириближение слабо связанных электронов). Энергия электрона зависит теперь не только от величины волнового вектора, как в соотношении (8.6), но и от его направления. При таком рассмотрении также получаются интервалы энергий, не содержащие собственных значений ( запрещенные зоны ). Возникновение запрещенных зон является следствием наличия разрывов функции, описывающей зависимость энергии от имиульса. Эти разрывы объясняются тем, что через кристалл не могут распространяться электронные волны, волновой вектор которых удовлетворяет условию Брэгга. [c.324]

Дальнейший этап в истории развития гидромеханики, объединяющий конец XVIII и начало XIX веков, характерен математической разработкой гидродинамики идеальной жидкости. В этот период вышли трудк французских математиков Лагранжа (1736— 1813) и Коши (1789—1857), посвященные потенциальным плоским потокам, теории волн малой амплитуды и др. [c.8]

Из более поздних работ остановимся на работе Стотта, Барановского и Мэрча [84], в которой было теоретически исследовано влияние валентности металла на характеристики вакансий. При этом было учтено, что электроны не свободны, а двпл утся в периодическом потенциальном поле решетки, т, е. их волновые функции являются не плоскими волнами типа а имеют блоховский вид [c.109]

Хорошо известно решение одномерной задачи о движении по произвольному закону в покоящемся газе плоского бесконечного поршня, когда в возмугценной области течение газа описывается простой волной Римана. Построение аналитическими методами решений задач о движении в газе криволинейных поршней связано с большими трудностями как в пространственном, так и в плоскопараллельном случае. Некоторые результаты в этом направлении получены с использованием аппарата теории течений с вырожденным годографом скорости, в частности, с использованием уравнений потенциальных двойных и тройных волн [1, 2]. [c.152]

Разложение (2.33) в ряд Фурье по плоским волнам идеально описывает спектр свободных электронов в потенциальном ящике (так же, как и спектр упругих колебаний твердого тела). Однако при изображении спектра валентных электронов металла возникают трудности, связанные с просачиванием части электронной плотности в глубь остова. Так, у 35-электрона главный максимум лежит за пределами остова (в кристалле — между остовами), а два небольших максимума расположены концентрически внутри остова на разных расстояниях от ядра. Для изображения внутриостовных коротковолновых осцилляций потенциала нужно взять большое число членов ряда Фурье (в одномерном случае 10 , в трехмерном 10 ) и провестиг суммирование в большом числе точек ячейки кристалла, что-делает метод плоских волн практически неудобным. [c.57]

Для огранлченного звукового пучка, как это следует из (5.12), радиационное давление во втором приближении равно удвоенной плотности кинетической энергии. Связь плотности звуковой энергии с плотностью потока энергии в плоской волне из-за нелинейного искажения профим волны, вообще говоря, не определяется условием J = с Е (см. гл. 2, 4). Однако при у = — 1, т. е. в гипотетической среде, где распространение волны происходит без изменения ее профиля, / = qE. Кроме того, в этой среде средняя по времени плотность кинетической энергии равна средней по времени плотности потенциальной энергии, т. е. радиационное давление из (5.12) равно средней по времени плотности полной звуковой энергии. Сред с у = — 1 нет, однако реализация волнового процесса, в котором профиль волны не изменяется, возможна, когда учитывается вязкость среды (см. гл. 3, 2) и акустические числа Рейнольдса малы. В этом линейном приближении обычно рассматриваются задачи о радиационных силах, действующих на препятствия. В этом приближении из (5.18) может быть определена сила в направлении распространения волны, возникающая изнза разницы имшульсов в падающей, и прошедшей волнах [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...