Задача о движении Луны

В теории возмущений предполагается, что различие между реальной (возмущенной) системой и ее упрощенной (невозмущенной) моделью можно рассматривать как малые возмущения. Возмущения появляются, например, за счет того, что к основным силам, приложенным к точкам механической системы, добавляются некоторые другие силы, являющиеся в определенном смысле малыми по сравнению с основными силами. Например, если пренебречь влиянием Солнца и считать Землю и Луну материальными точками, то невозмущенной задачей о движении Луны вокруг Земли будет задача двух тел (материальных точек). Влияние притяжения Солнца и отличие Земли и Луны от точечных масс можно считать малыми и отнести к возмущающим воздействиям, которые можно учесть методами теории возмущений. [c.388]

Задача о движении Луны. В 1780 г. Лагранж [45] установил условия устойчивых колебаний твердого тела при вертикальной ориентации его продольной оси. Лагранжа интересовала только теория движения Луны. Поскольку условия устойчивости были найдены, природа собственного движения Луны была установлена на строго научной основе. Имеющиеся к настоящему времени наблюдения за движением Луны слишком неточны, чтобы обнаружить какие-либо естественные колебания, так как даже вынужденное движение едва различимо [60, 681. Это связано с трудностями чисто геометрического характера из-за эллиптичности орбиты Луны линия визирования совершает колебания с амплитудой около 5°. Поэтому нелегко отличить собственное движение от вынужденного, величина которого равна примерно нескольким угловым минутам. [c.188]

Эти основные задачи — следующие задача о движении больших планет Солнечной системы под действием притяжения Солнца и их взаимных притяжений задача о движении Луны под действием притяжения Земли и Солнца с учетом влияний и других планет задача о движении спутников больших планет под действием притяжения планеты-матери. Солнца и других больших планет задача о движении некоторых замечательных комет под действием притяжения Солнца, Юпитера и Сатурна задача о вращательном движении планет, особенно Земли и Луны, вокруг их центров масс теория фигур планет и некоторые другие. [c.323]

Этот закон, важный для земной механики и служащий для определения реакций твердых (неизменяемых) механических систем, в небесной механике не играет существенной роли и может быть принят или не принят, в зависимости от характера рассматриваемой задачи. Заметим, что и в классической небесной механике этот закон не играет существенной роли и в курсах и книгах по небесной механике можно найти (с очень давних времен ) множество задач, в которых о третьей аксиоме Ньютона вообще даже не упоминается. Таковы все ограниченные задачи классическая задача о движении Луны или какого-либо другого спутника, например, спутников Юпитера, задача [c.337]

Основной проблемой в теории движения Луны называется задача о движении Луны под действием притяжения Земли и Солнца при условии, что все три тела рассматриваются как материальные точки, а Земля (или, точнее говоря, центр масс системы Земля — Луна) движется относительно Солнца по эллиптической орбите. Поскольку центральным телом в этой задаче [c.444]

Уравнения движения Луны. Рассмотрим теперь задачу о движении Луны. Она описывается гамильтонианом [c.274]

Прежде чем приступить к качественному рассмотрению различных подходов к решению задачи орбитального движения Луны, Поучительно вывести уравнения основной проблемы в теории движения Луны, а именно задачи о движении Луны под действием 10 [c.291]

В качестве примера выбора системы координат в конкретном случае мы выведем уравнения движения в задачах о движении Луны или звезд. Эти уравнения составят основу для дальнейших исследований. В теории Луны мы главным образом имеем дело только [c.76]

Устойчивость относительного равновесия спутника на орбите. Остановимся теперь на некоторых вопросах движения космических аппаратов относительно их центров масс. Этот вопрос тоже имеет предысторию в классической небесной механике (теория либрации Луны, теория прецессии Земли). Однако по характеру действующих моментов сил и разнообразию начальных условий задача о движении спутников относительно их центров масс представляется более сложной. С другой стороны, новые методы математики позволяют получить новые результаты и в классических задачах. [c.44]

В предыдущей главе мы рассматривали задачу о движении пассивно действующей материальной точки, находящейся под действием заданных сил, исходящих от неподвижных центров. Мы упомянули также, что представляет интерес рассмотреть еще более общую задачу, предполагая, что пассивная точка движется под действием активных масс, каждая из которых обладает заданным движением. Такие задачи называются в небесной механике — ограниченными задачами. Число активно действующих масс вообще может быть каким угодно. Например, прп изучении полета космического корабля (искусственного небесного тела ) в пределах Солнечной системы мы, естественно, можем считать, что это искусственное тело не оказывает никакого влияния и воздействия на планеты и их спутники. Движение планет мы можем считать заданным, так как эта задача издавна изучается в небесной механике, и мы знаем и свойства их движения и умеем рассчитывать их положения и скорости при помощи аналитических или хотя бы численных методов. Более того, так как планеты Солнечной системы движутся почти в одной плоскости и почти по круговым орбитам, то мы можем считать (по крайней мере в течение не очень большого промежутка времени), что активные тела в рассматриваемой модельной задаче движутся по окружностям, лежащим в одной плоскости. Такого рода задачи называются круговыми ограниченными задачами. Например, можно рассматривать в первом приближении движение Луны под действием притяжения Земли и Солнца, считая, что Луна не оказывает на Солнце и Землю никакого влияния. [c.209]

Эта задача была поставлена впервые и решалась при помощи рядов еще Эйлером и с тех пор неизменно привлекала к себе внимание многих знаменитых астрономов и математиков. В настоящее время одной из важнейших задач современной небесной механики является задача о движении искусственного тела (искусственного спутника, космического корабля или небесной лаборатории) под действием притяжения Земли и Луны. Поэтому ограниченная задача трех тел играет теперь весьма [c.209]

Отметим, что тело М, вызывающее гравитационное поле в рассматриваемой задаче, может иметь весьма различный вид. Это может быть одно тело в собственном смысле этого слова, например, какая-либо планета Солнечной системы, и тогда задача Фату представляет собой задачу о движении малого спутника в поле притяжения планеты. Сюда же относится, разумеется, и задача о движении искусственного спутника в гравитационном поле Земли (или Луны). [c.305]

Так, иногда приходится вводить в рассмотрение, кроме сил взаимных притяжений, некоторые другие силы. В других случаях оказывается невозможным рассматривать реальные небесные тела как материальные точки и приходится принимать но внимание влияние их формы и физического строения. Например, прн исследовании движений близких спутников больших планет, особенно в задаче о движении искусственных спутников Земли (ИСЗ), Луны (ИСЛ) или какой-либо другой планеты, необходимо учитывать отклонение формы планеты от сферической и эффект ее неоднородности. [c.381]

В предыдущих параграфах мы рассматривали общую, или неограниченную, задачу трех тел (материальных точек ), где на три массы то, Шь мы не накладывали никаких ограничений. Однако во многих случаях астрономической практики встречаются задачи, где масса одного из трех тел весьма мала по сравнению с двумя другими массами. Такова, например, задача о движении малой планеты или кометы под действием притяжения Солнца и Юпитера, или задача о движении космического корабля под действием притяжений Земли и Луны и т. д. В этих случаях малая масса практически не оказывает никакого влияния на две конечные массы, как если бы она была равна нулю, но сама ими, конечно, притягивается. [c.752]

Как мы видели, пассивное движение космического аппарата в мировом пространстве происходит в основном под действием сил притяжений небесных тел — Земли, Луны, Солнца, планет. Положение этих тел непрерывно изменяется, причем их движение, как и движение космического аппарата, происходит под действием сил всемирного тяготения. Таким образом, мы сталкиваемся с необходимостью решения задачи о движении большого числа небесных тел (в том числе искусственного небесного тел I — космического аппарата) под действием сил взаимного притяжения. Такая задача [c.55]

Полученные периодические орбиты Е и Е — это единственные известные устойчивые периодические орбиты в рассматриваемой задаче о движении КА вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна при наличии возмущающего гравитационного воздействия Солнца. Отметим, что учет исключенных из гамильтониана К короткопериодических членов и членов, содержащих долгопериодические функции с частотой (о — со (см. 4), приведет к тому, что орбиты Е и Е станут условно-периодическими, но размеры этих орбит изменятся незначительно по сравнению с размерами периодических орбит Е и Е [144]. Отметим еще, что в работе [144] сделана попытка найти периодические орбиты, отличающиеся от Е , Е и Е . Но приближенность анализа, проведенного в [144], не позволила сделать достаточно строгих выводов об их существовании и устойчивости. [c.264]

Проведенные оценки дают возможность выявить наиболее существенные факторы и отбросить второстепенные. Для целей предварительного анализа траекторий движения КА в 2 была использована простейшая модель линеаризованной в окрестности Ьг круговой ограниченной задачи трех тел. Для более точного описания пассивного движения КА необходимо в первую очередь учесть нелинейность задачи по отклонениям от равновесной точки и эллиптичность орбиты Луны. В следующем параграфе будет рассмотрена нелинейная задача о движении КА в окрестности Ьг в рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел (Земля — Луна — КА) без учета возмущающего влияния Солнца и других внешних факторов. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Ее решение можно положить в основу алгоритма расчета пассивного движения КА в окрестности Ьг- [c.281]

Как и можно ожидать, полное решение такой задачи обычно представляет большие трудности. Например, основная задача астрономии, а именно задача о трех телах , которая заключается в определении движения трех взаимно притягивающихся одна к другой материальных точек (например Солнце, Земля и Луна), может быть решена только при помощи сложных приближенных методов. [c.124]

Там рассматривается задача о вращении Земли около ее центра масс под воздействием сил притяжения к Солнцу и Луне. Оперируя моментами инерции, Даламбер вводит главные оси инерции тела, выявляет в рассматриваемой им астрономической задаче наличие малых колебаний (нутационного движения) тела (Земли) около движущейся но конусу прецессии оси вращения и дает полное динамическое объяснение известного со времен Гиппарха явления предварения равноденствий. Все это — результаты первостепенной важности, и все-таки это еще не общая теория вращательного движения твердого тела. Кинематика и динамика проблемы у Даламбера не отделены друг от друга. В 60-е годы Даламбер в работе О движении тела произвольной формы под действием любых сил ставит перед собой задачу дать общую теорию, но по сути добавляет только более систематизированное изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно центра инерции (на основе линеаризованных уравнений). [c.154]

В классической небесной механике теория движения небесных тел около центра масс развивалась применительно к конкретным телам (Луна, Земля) [94], что позволило сделать ряд упрощений, отсутствующих в общем случае при этом рассматривалось в основном влияние гравитационных моментов. Сложность задачи о вращательном движении искусственных космических объектов обусловливается произвольностью формы и распределения масс объекта, произвольностью начальных данных, многочисленностью факторов, влияющих на движение. Кроме гравитационных моментов следует учитывать еще аэродинамические и электромагнитные моменты, диссипативные эффекты, связанные с трением оболочки спутника об атмосферу и взаимодействием металлической оболочки с магнитным полем Земли влияние эволюции орбиты спутника, влияние моментов сил светового давления на космический объект, движущийся по межпланетной орбите, и т. д. Отметим также, [c.10]

Из этих выражений видно, что с принятой точностью размеры ИСЗ не влияют на главный вектор сил притяжения Земли и, следовательно, центр масс спутника движется по эллипсу, один из фокусов которого совпадает с центром Земли О (см. главу IV). Заметим, что такая постановка задачи (она называется ограниченной) применяется не только при изучении движения ИСЗ относительно центра масс, но и в классических задачах о прецессии оси Земли и либрации Луны. [c.335]

Глава XIV содержит пример исиользования комплексных прямоугольных координат в задаче о движении Луны. Поэтому подробное приложение к проблеме эллиптического движепия опускается и указываются лишь первые шаги. [c.96]

Если отбросить ограничения, упомянутые в начале этого параграфа, то проблема устойчивости планетной системы в том смысле, что элементы а, е и 7 представимы сходящимися периодическими рядами, очень сложна и до сих пор не получила точного решения. С другой стороны, буквенное решение Делонэ в задаче о движении Луны указывает на гравитационную устойчивость в указанном смысле (хотя вопрос о сходимости различных полученных рядов и является крайне сложным) и, в частности, показывает, что вековые и смешанные члены мэгут быть представлены в виде чисто периодических членов. [c.284]

Замечание 3. Одна из наиболее известных сильно возмущенных задач, которой занимались многие выдающиеся математики прошлого,— это задача о движении Лупы. Дело в том, что та движение Луны сильно влияет притяжение со стороны Солнца, несмотря на то что расстояние Солнце — Луна примерно в 400 раз больнге расстояния Земля — Луна. Сильное возмущение в параметрах геоцептрической орбиты Луны, порождаемое Солнцем, объясняется большой массой последнего (масса Солнца примерно в 330 000 раз больше массы Земли). Более столетня не удавалось построить такую теорию движения Луны, которая находилась бы в хорошем согласии с наблюдениями на относительно большом интервале времени (около 100—200 оборотов Луны). На математическом языке это означает, что не удавалось построить приближенное ренюяие дифференциальных уравнений движения Луны, пригодное для описания ее реального движения на большом (долгом) периоде. [c.60]

Суш ественно дополнены новыми задачами главы 1, 4, б, 7. В главу 1 введен новый раздел Космодинамика . Здесь собраны задачи, в которых вектор Лапласа используется для анализа коррекции траектории космического аппарата в пространстве и относительного движения в окрестности траектории космического аппарата. Приведено решение задачи о движении в космосе с малой тягой и задача о гравитационном ударе при облете планеты. Изложены решения задачи двух тел, упругого рассеяния частиц, ограниченная задача трех тел, рассмотрен вклад Луны в ускорение свободного падения. В главу б вошли задачи о движении маятника Пошехонова, гирокомпаса, кельтского камня, гироскопической стабилизации и пределе Роша. Раздел Электромеханика содержит 20 задач, в которых рассмотрены бесконтактные подвесы, космическая электростанция, униполярный генератор Фарадея, электромагнит, асинхронный двигатель, проводники во враш аюш емся магнитном поле, движение диэлектриков и парамагнетиков в неоднородном поле. [c.5]

Солнца примерио за 12 лет, то в течение небольшого промежутка времени его можно считать иеподвнжггым, а тогда движение малой планеты или кометы можно определить в первом приближении формулами задачи двух неподвижных центров. Задачу о движении космического корабля к Луне также можно рассматривать п первом приближении, как задачу двух неподвижных центров, так как за время перелета к Луне (около четырех суток) последняя переместится по своей почти круговой орбите вокруг Земли не очень значительно. [c.777]

В работе [92] Е. П. Аксенов и В. Г. Демин установили существование. почти-эллиптических периодических относительно регуляризирующего времени т экваториальных орбит в спутниковой задаче, когда центральное тело обладает динамической симметрией и медленным по сравнению со средним движением спутника) вращением. Эти решения образуют двухпараметрическое семейство и могут быть названы решениями второго сорта. В. Г. Деминым найден класс почти-круговых периодических решений [87] в задаче о движении спутника в гравитационном поле, порожденном притяжением сфероидальной планеты и двух точечных масс, двигающихся по круговым орбитам вокруг планеты на расстояниях, больших чем максимальное планетоцентрическое расстояние спутника. В этой же монографии можно найти оо2 семейство периодических движений относительно регуляризирующего времени т ) лунного спутника. [c.795]

Линейное уравнение вида (1.8) с периодическим коэффициентом p(t) общего вида впервые получено американским астрономом Дж. Хиллом в связи с задачей о движении перигея Луны и теперь носит его имя [55]. Дж. Хилл предложил метод решения этого уравнения с использованием определителей бесконечного порядка. Метод Хилла обсуждается в 4. Обобщение теории Хилла на случай системы уравнений дано Д. В. Трещевым и С. В. Болотиным оно изложено в добавлении 2. [c.86]

Значение периодических орбит для астрономии должно быть высоко оценено. С теоретической точки зрения, как замечает Пуанкаре, при помощи периодических орбит сначала удастся вторгнуться в область, до сих пор недоступщ ю анализу — в структуру интегралов задачи трех тел. Основополагающие работы Пуанкаре представляют собой бесценный источник для математиков и астрономов. Периодические решения скоро будут оказывать большую помощь практической астрономии. Как пзвестно в настоящее время, в планетной системе существует один случай, в котором действительно имеет место периодическое решение задачи трех тел (в этом случае проблемы четырех тел), а именно — для трех внутрен1шх спутников Юпитера. Значение периодических решений для астрономии заключается главным образом не в возможности обнаружить в природе такие случаи (хотя каждый пример такого рода и представляет исключительный интерес), а чтобы с их помощью можно было успешно разрешить различные особенно трудные проблемы небесной механики. В своей основополагающей работе о движении Луны Хилл исходит из периодического решения первого сорта, а относящиеся к этому численные исследования рассматривает не как вычислительные упражнения, а как истинную основу для точного расчета лунной орбиты. Эта исходная точка может с успехом найти при- [c.462]

Рассматривается задача о движении КА пренебрежимо малой массы под действием гравитационного притяжения Земли, Луны, Солнца и других потенциальных сил. В качестве исходной системы координат примем невращающуюся геоцентрическую систему. Введем обозначения г, v — радиус-вектор и вектор скорости точки относительно исходной системы координат г , — радиус-вектор и вектор скорости центра масс Луны Га, Vg — радиус-вектор и вектор скорости центра масс Солнца к = /М, к, = fM , к = = fMi, М, Afj, Ма — массы Земли, Луны и Солнца соответственно / — гравитационная постоянная. [c.270]

Нельзя полностью согласиться с автором предлагаемой книги в оценке отношения ученых к небесной механике в начале 50-х годов нынешнего столетия. Однако в известной степени он прав. В период времени, когда писалась эта книга, в развитии небесной механики наблюдалось некоторое затишье. Объясняется это в первую очередь тем, что тогда перед небесной механикой не стояло задач, требовавших безотлагательного решения. Задачи о движении естественных небесных тел, представляющих наибольший интерес для астрономии (движение больших планет и Луны), к тому времени уже были решены с достаточной степенью точности, а задачи, решение которых необходимо для развития космических полетов, еще не были ДОСгаточиио четко определены и сформулированы. [c.5]

Однако вскоре после выхода в свет Небесной механики Смарта положение дел резко изменилось. В связи с созданием искусственных спутников Земли, запуском ракет к Луне, Венере, Марсу перед небесной механикой возник целый ряд новых разнообразных задач. Часть этих задач по своему характеру сходна с задачами механики естественных небесных тел (например, задача о движении искусственных спутников Земли). Однако возникли и принципиально новые задачи. которые не рассматривались в классической небесной механике (например, задача о выборе траекторий межпланетных перелетов ч др.). [c.5]

Это уравнение изучалось довольно интенсивно. Оно является частным случаем уравнения Хилла, которое в свою очередь является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Аналогичные уравнения появляются во многих задачах прикладной математики, в частности в задачах об устойчивости поперечной колонны, подверженной периодической продольной нагрузке об устойчивости периодических решений нелинейных консервативных систем о распространении электромагнитных волн в среде с периодической структурой о движении Луны, а также в задачах о возбуждении некоторых электрических систем. [c.71]

Задача о движении естеств. спутников планет. 5) Проблема трёх тел — важная модельная задача о движении трёх взаимно тяготеющих материальных точек, напр. косм, аппарата в системе Земля — Луна или астероида в системе Солнце — Юпитер. Особый интерес представляет изучение равновесного движения к.-л. тела в полях тяготения двух других тел — определение св-в т. н. точек либрации , ввиду их перспективности для практики косм, полётов (см. Трёх тел задача). 6) Теория движения Луны — одна из сложных п до сих пор актуальных задач Н. м. 7) Проблема устойчивости Солн. системы. Постановка проблемы и первые результаты принадлежат франц. учёным П. Лапласу и Ж. Лагранжу. Достижения математики последних лет (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера) позволили существенно продвинуть решение классич. проблемы об устойчивости Солн. системы. В. И. Арнольдом получен след, результат большие полуоси орбит планет, их наклонения и эксцентриситеты вечно остаются вблизи исходных значений, если эксцентриситеты орбит и их наклонения малы (это условие выполняется), а периоды обращения несоизмеримы (условие не-резонансности движений в системе). Б реальной Солн. системе дело обстоит, скорее, наоборот резонансные соотношения между частотами, характеризующими орбит, движения тел Солн. системы, явл. правилом. 8) Резонансные проблемы небесной механики. Средние движения планет довольно точно удовлетворяют нек-рым резонансным соотношениям между частотами их обращения вокруг Солнца (наиб, известен резонанс 5 2 для Юпитера и Сатурна). Известны и резонансные соотношения между ср. движениями естеств. спутников планет. Осевое вращение Луны (и мн. других остеств. спутников планет) находится в соизмеримости 1 1 с орбит, движением осевое вращение Меркурия имеет с орбит, движением соизмеримость 3 2. Обилие подобных фактов (здесь перечислена лишь малая их часть) позволяет предположить, что тенденция к резонансным движениям в Н. м. есть объективная закономерность, к-рую можно использовать, напр., для стабилизации движения [c.447]

ИСЗ. Построение теории, объясняющей эти факты во всей их полноте,— актуальная задача Н. м. 9) Теория вращат. движений естеств. небесных тел. Она развивалась классической Н. м. применительно к вращению Земли и Луны (лунно-солн. прецессия и нутация Темной оси, законы Кассини вращения Луны, классич. линейная теория либрации Луны). В 20 в. эти теории продолжают успешно развиваться, расширяется область их приложения. Так, установлена двойная синхронизация (двойной резонанс) между осевым вращением и орбит, движением небесного тела, между движением оси вращения тела и возмущённой прецессией орбиты — т. н. обобщённые законы Кассини, к-рым подчиняется вращение Меркурия и ряда естеств. спутников планет. 10) Теория движения (поступательного и вращательного) искусств, небесных тел — большой раздел Н. м., появившийся в сер. 20 в. в связи с задачами, поставленными практикой косм, полётов. Эти задачи аналогичны задачам о движении естеств. небесных тел, но требуют. Как правило, учёта большого числа факторов. Усложнение задач косм, полётов выдвигает повышенные требования не только к точности теории движения тел в космосе, но и к службе наблюдений. [c.447]

В 1913 г. Годдард завершил новую рукопись Перемещения в межпла-нетном пространстве (опубликована в 1970 г. [6, с. 117—123]), которая явилась предварительным итогом его исследований по теории реактивного движения и космического полета. В этой работе рассмотрена, в частности, задача о посылке на поверхность Луны заряда осветительного пороха, содержится тезис об использовании Луны для производства на ней ракетного топлива и для старта с нее к планетам (эти мысли были высказаны им еще в 1908 г.), а также идея о применении на корабле для полета к Марсу электрического двигателя с солнечным источником энергии и др. Теоретические выкладки и расчеты были окончательно завершены Годдардом в 1914 г. и оформлены в капитальную статью Проблема поднятия тела на большую высоту над поверхностью Земли (представлена в том же году в Кларкский университет, но опубликована лишь в 1970 г. [6, с. 128—152]). Здесь Годдард впервые привел собственный вывод уравнения движения ракеты, который был сделан с учетом действия гравитации и сопротивления атмосферы. Убедившись в сложности решения полученной вариационной задачи, Годдард в расчетах применил интервальный метод (весьма, впрочем, громоздкий). Все расчеты были сделаны для твердого или жидкого кислородно-водородного топлива. В статью вошли также в более подробном изложении и другие идеи Годдарда. [c.441]

Будем считать, что движение спутника относительно центра масс не влияет на орбиту, так что орбита является кеплеровой эллиптической орбитой. Это допущение справедливо ввиду малости размеров спутника по сравнению с размерами орбиты. Такая постановка задачи, которую назовем ограниченной, обычно применяется в классических задачах о прецессии Земли и либрации Луны [94]. [c.58]

Тем не менее задача о взаимосвязном поступательновращательном движении благодаря строгости общей постановки представляет существенный теоретический интерес и исследование этой задачи может в дальнейшем пригодиться для развития и уточнения некоторых теорий небесной механики, например теории движения Луны. Представляют интерес, конечно, и различные оценки эффектов взаимосвязности поступательного и вращательного движений для искусственных спутников Земли. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...