Бесконечный определитель

Вычисление этого бесконечного определителя приведено в работе [75]. Его величина равна [c.63]

При достаточно широких предположениях о свойствах матриц G и бесконечный определитель оказывается сходящимся и, следовательно, допускает редукцию к определителям конечного порядка. [c.129]

Построенное выше общее решение задачи должно описывать также движение в модах Ламе. В связи с этим бесконечный определитель системы (2.10) обращается в нуль при частотах (3.22) и соответствующих размерах области (3.23). [c.177]

Метод бесконечных определителей 634 [c.1014]

Остается установить зависимость между числом [л и величиною определенной в предыдущем параграфе как корень некоторого бесконечного определителя. [c.185]

Более точные значения для частот 0, соответствующих границам главной области, могут быть вычислены из уравнений, получаемых усечением бесконечного определителя [c.357]

Следовательно, ( ) = lim Л существует. Он является функцией I, которая не изменяется, если заменить на -f- 2 или на — действительно, это приводит к изменению порядка строк и столбцов нашего бесконечного определителя передвижением всех строк и столбцов на одно место (если заменяется на +2), или возвратом к тому же определителю (если заменяется на — ). Поэтому будем иметь [c.497]

Как было отмечено ранее, значение с, полученное иа бесконечного определителя, дает главную часть движения перигея. Члены с множителями с , с, . .. получаются в виде дополнительных членов с в ходе полного решения уравнений (84). [c.317]

Заметим, что бесконечные определители были впервые введены в математику Хиллом в связи с настоящим исследованием. Мы будем предполагать, что этот определитель сходится. В результате деления (4) на АР — 0о элементы определителя, лежащие на главной диагонали, будут стремиться к единице при J, стремящемся к бесконечности. если с является заданной величиной. [c.414]

Бесконечно малые контактные преобразования 220 Бесконечный определитель 413 Бесселев год 488 Боде 321 [c.491]

Этот классический метод бесконечных определителей был математически обоснован в работах Пуанкаре и излагается в большинстве учебников применительно к линейным дифференциальным уравнениям в комплексной области. Возможно, будет достаточно, если мы скажем, что этот метод приводит к удобному способу фактического вычисления характеристических показателей и соответствующих решений вида (lOi) 144. Между тем соображения, приводившиеся в 140—144, гарантировали лишь существование характеристических показателей и соответствующих решений, но не указывали на подходящий метод их вычисления. [c.493]

Очевидно, что мы получили бесконечный определитель для нахождения с. Если возьмем только три колонки и три столбца в этом определителе, то [c.243]

С помощью этих определителей решение системы приводится к неопределенному виду. X = АДА = 0/0 у = Аз/А = 0/0 г = АдА = 0/0. Этой неопределенности в решении можно избежать. Непосредственно из системы уравнений следует, что она имеет бесконечное множество решений х г/ = 1—х 2 = 6х — 2, которые конечны при конечном (конкретном) значении х, несмотря на то что все определители. системы равны нулю. Например, при х = 3 значения у = —2, 2 = 16, а при х = 4 значения у = —3, 2 = 22 и т. и. [c.146]

Приравнивая нулю определитель этой системы, мы получим для параметра % алгебраическое уравнение, степень которого равна числу членов в представлении прогиба w, таким образом, если /с=1, 2,. .., п, мы получаем п значений % п п критических нагрузок. Но мы видели, что в действительности число критических нагрузок и соответственно форм потери устойчивости бесконечно велико. Поэтому естественно поставить вопрос о том, в каком отношении находятся приближенные значения Л, найденные описанным методом, и точные величины критических [c.418]

Перейдём ко второму случаю пусть ф обращается в бесконечность. Тогда определитель, об]ратный ф, т. е. [c.486]

Для отыскания постоянных D , D2, D3, необходимо задать граничные условия по концам балки. Граничные условия, выраженные через Du. .., Di, представляет собой систему четырех линейных алгебраических однородных уравнений относительно Du. .., D4. Нас интересует ненулевое решение системы, так как нулевому (одновременное равенство нулю Du. .., Di) отвечает Z(z) = о, т. е. отсутствие колебаний. Система линейных однородных алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нуля, тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Уравнение, получаемое в результате приравнивания определителя системы уравнений относительно Du , Di нулю, в свою очередь представляет собой трансцендентное (содержащее тригонометрические и гиперболические функции) уравнение относительно и. Из этого уравнения и находим корни (бесконечное число корней), каждому из которых соответствуют свои частота и форма колебаний. [c.180]

Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в установлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы. [c.238]

Ограничимся в бесконечном определителе (7.96) Хилла сначала двумя строками и двумя столбцами [c.252]

Возвращаясь к системе (2.31), видим, что она имеет решение только тогда, когда ее определитель равен нулю. Поделив каждое уравнение на соответствующий коэффициент [a — 2r — i if, можно составить так называемое уравнение Хилла, представляющее собой бесконечный определитель относительно (/fi) [c.63]

На границах первой, третьей и т. д. областей неустойчивости одно из решений будет 2Т-периодическим. Используя этот факт, ищем граиицы этих областей из условия существования решения с этим периодом. Уравнение для нахождения границ инсег вид условия равенства нулю некоторого бесконечного определителя (ц = 1) [c.124]

При фактических вычислениях приходится проводить редукцию бесконечного определителя к определителям конечного порядка. Это эквивалентно усечению ряда Фурье в решении (7.4.9) и, если это требуется, аналогичному усечению ряда Фурье (7.4.8). Усеченное уравнение (7.4.11) имеет конечное число корней А, чему соответствует конечное число дтараметрических резонансов, учитываемых на данном уровне редукции. Если известна область частот, представляющих интерес с точки зрения рассматриваемой прикладной задачи, то отсюда нетрудно получить нестрогие, но достаточно убедительные основания для выбора уровня редукции. Для расчета области неустойчивости вблизи побочного резонанса порядка р нужно сохранить в разложениях (7.4.8) и (7.4.9), по 1файней мере, гармоники до порядка р включительно. [c.494]

Более сложным образом обстоит дело в случае прямоугольного канала с теплоизолированными границами. В этом случае можно искать решение задачи в виде двойных рядов Фурье. Такой путь приводит к характеристическому соотношению, содержащему бесконечный определитель. Численный анализ этого уравнения при произвольном отношении сторон I связан с большими трудностями. Для I 1 Вудингом [ 2] получена асимптотическая формула критического числа Рэлея основного уровня неустойчивости [c.89]

Хилл имел смелость распространить ту же методику на бесконечное число уравненпй с бесконечным числом неизвестных. Таким образом, он первым ввел в математпчоскпй анализ бесконечный определитель. [c.312]

Все члены, расположенные по главной диагонали бесконечного определителя Д(0), равны +1. Следовательно, основной член в разло-укении Д (0) равен -1--1- Процедура получения остальных членов состоит в систематической замене строк п столбцов и в вычислении диагонального элемента после каждой замены. Одна замена двух смежных строк или столбцов порождает члены, имеющие множителем 0 поскольку будучи разложенным по степеням т, содержит множителем т , то эти члены будут иметь множителем т. Члены следующего, более высокого порядка имеют множителем т они получаются от замены строк или столбцов, которая дает члены вида 0 , 0 0г или 0 . Каждая последовательность замен требует вычисления бесконечной суммы. [c.315]

Для получения главной части движения узла можно использовать метод бесконечного определителя. Эта проблема фактически была решена Адамсом при помощи метода, отчасти сходного с методом Хилла для перигея. [c.317]

В ходе изложенного выше анализа Хилл пришел к методу бесконечных определителей. В то же время Адамс (проделавший несколько раньше Леверье работу, связанную с открытием Нептуна) также использовал этот метод (раньше Хилла) при рассмотрении уравнения (8) 481, служащего для определения наклонности. [c.493]

Теория во збуждения волноводов с омическими потерями-в стенках, описанная в 1.3, является весьма общей, однако анализ получаемых соотношений представляет трудную задачу. Дело в том, что для перехода к разложению по нормальным волнам рассматриваемого волновода необходимо проанализировать дисперсионное уравнение (1.4.7), представленное в виде бесконечного определителя. [c.58]

Для исследования уравнения (17.42) разработана теория, основанн на анализе бесконечных определителей [18]. Основной результат это анализа приведем без доказательства. Это - диаграмма Айнса-Стретта представленная на рис. 17.9. Здесь, как и на рис. 17.5 для маятника пере менной длины, имеется бесконечное число областей параметрическог [c.315]

Во-вторых, ограничения пригодны только для таких изменений состояния системы, при которых меняются интенсивные свойства фаз, так как иначе частные производные сопряженных переменных либо тождественно равняются нулю, как, например, (dPjdV)T при равновесии жидкость—пар в однокомпо-нентной системе, либо не существуют (бесконечны), как, например, Ср при температуре плавления индивидуального вещества. В гомогенных системах такие процессы также должны учитываться, что делалось выше при выборе и обосновании знака неравенства (12.29), но они, как нетрудно заметить, не влияют на ограничения (13.9) — (13.11) и другие, которые получаются из (12.29) при условии постоянства хотя бы одной из термодинамических координат системы. Этим исключается влияние процессов, единственным результатом которых было бы изменение массы системы. Так, неравенства (13.9) — (13.11), (13.21) относятся к закрытым системам и для их вывода важно знать значение не полного определителя формы (12.29), а его главных миноров. Последние должны быть определены положительно в термодинамически устойчивой системе (см. примечание на с. 123). [c.128]

К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90,17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой скоростью, то в этот газ звук не проникает, В газе же позади волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны. Peuienne этой системы дается выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений,— как раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное уравнение спонтанных возмущений (90,10). Тот факт, что в области (90,17) это уравнение имеет веш,ественные корни для os 0, означает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это — другая фор- [c.476]

Это уравнение, содержащее в левой части определитель с бесконечным числом строк и столбцов (он называется определителем Хилла), устаяаиливает n KoMyjo зависимость между б и е [c.248]

Функция Urn удовлетворяет условиям на шарнирно опертых краях с учетом условий на двух других сторонах получается система четырех однородных уравнений с четырьмя неизвестными Сит- Частоту колебаний определяют путем приравнивания нулю определителя этой однородной системы [см. (5.53)]. Каждому значению т=1, 2, 3,... соответствует бесконечный ряд частот omn, так как уравнение (5.53) является трансцендентным. [c.197]

Второе из условий (1.18) служит для определения неизвестных величин . Действительно, из системы (1.17) вытекает, что Но = АхД . Здесь — вспомогательный определитель, получающийся из Д заменой в нем элементов первого столбца элементами (1, о, о,. . ., о,. . . ). Определитель А1 — симметричный, поэтому корпи его а = а (1 1) вещественны. Определив числа найдем затем а(. > (/ = 1, 2,. . . ) из бесконечной алгебраической системы (2.12) и, таким образом, построим последовательность функций д1 (а )(я1А2с11бг) , [c.130]

Так как определитель А(о2) является симметричным, то == , Следовательно, коэфициент перед в выражении для тождественно равен, коэфициенту при Q, в выражении для q . Это является основанием важной теоремы взаимности", формулированной Гельмгольцем и после него обобщенной, Рэлеем. Эта теорема как и некоторые предыдущие теоремы, наиболее важйое применение имеет для систем с бесконечным числом степеней свободы, а также в акустике. [c.241]

Уравнения (17.343) — это уравнения метода Бубнова — Галер-кина. На самом деле используется не бесконечное число членов в сумме, а ограниченное количество (п) этих членов тогда формула (17.343) дает систему конечного порядка и рещение методом Бубнова — Галеркина является приближенным, дающим верхнюю оценку для искомой величины. Если решается задача о свободных колебаниях, то / = 0 и система уравнений (17.343) относительно коэффициентов а, однородна, вследствие чего ее определитель для получения нетривиального (ненулевого) реще-ния должен быть равен нулю. Составленное таким образом условие нетривиальности решения системы (17.343) представляет собой частотное уравнение, корнями которого являются собственные частоты. Собственные векторы матрицы системы (17.343) определяют собой формы свободных колебаний ). [c.243]

При использовании бифуркационного критерия потери устойчивости (в условиях мгновенного деформирования или ползучести) на каждом шаге по ведущему параметру решения (прогибу, нагрузке или времени) после определения параметров, описывающих основное состояние оболочки, проверяем возможность перехода оболочки от основной осесимметричной к бесконечно близкой циклически симметричной форме, которой соответствует наличие ненулевых вещественных решений однородного вариационного уравнения (П.58) или системы Ритца (П.38) с коэффициентами (П.63), что имеет место при обращении в нуль определителя системы. Возможность бифуркации и форму потери устойчивости (/) численно фиксируем по перемене знака определителя системы (П.38) на некотором шаге по ведущему параметру для некоторого номера гармоники I, который последовательно выбирается из заранее обусловленного диапазона целых чисел, начиная с нуля. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...