Уравнения движения Луны

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ [c.1]

Этими тремя уравнениями движение Луны вполне определяется. Здесь а есть некоторая постоянная, зависящая от тех единиц, в которых выражается время т, как будет подробнее объяснено. Таким образом все дело сведено к интегрированию этих трех уравнений, но мы не имеем ни малейшей надежды когда-либо выполнить это интегрирование, поэтому ж не будем пытаться интегрировать эти уравнения. [c.7]

Переменим знаки во втором уравнении и расположим члены иначе, так чтобы уравнения движения Луны в новых координатах X, Z приняли следующий вид [c.14]

Книга первая подразделена в свою очередь на три части, в первой из которых заключается составление уравнений движения Луны [c.214]

Если масса Луны учитывается, то при составлении уравнений движения Луны в рамках основной проблемы используют систему координат Якоби (см. 1.04). [c.445]

Уравнения движения Луны записываются в виде [c.445]

Основные результаты и применяемая методика изложены подробно в 44]—[48]. Исходными являются уравнения движения Луны в прямоугольной вращающейся системе координат [c.458]

Такова особенно простая форма, которую принимают уравнения движения Луны, когда пренебрегаем [c.477]

После этого преобразования уравнения движения Луны при [c.86]

Уравнения движения. Если пренебречь массой Луны, рассматривая Землю и Солнце как материальные точки, то можно немедленно написать уравнения движения Луны. Пусть х, у, 2 означают координаты Луны, а х, у, г — координаты Солнца в прямоугольной системе координат, начало которой помещено в центр Земли. Тогда уравнения движения Луны имеют следующий вид [c.268]

Уравнения движения Луны. Рассмотрим теперь задачу о движении Луны. Она описывается гамильтонианом [c.274]

Уравнения движения Луны и Солнца (15) и (16) 4.09 имеют вид (X. 05( +Л1) дР [c.129]

Пусть X, у, г — прямоугольные координаты Луны. Тогда уравнения движения Луны для равномерно вращающихся осей запишутся так (ср. с уравнениями (V. 15)) [c.260]

Возмущенной (вариационной) орбитой Луны называется периодическое решение дифференциальных уравнений движения Луны, если в них положить равными нулю наклон и эксцентриситет солнечной орбиты, а также па- [c.335]

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами были рассмотрены Л. Эйлером в теории движения Луны. Эти уравнения были вновь проанализированы в конце XIX в. [c.316]

Решение. Пусть гп, — массы Земли и Луны. Тогда лагранжиан (3) задачи 3.3.7 является решением поставленной задачи. Уравнение движения имеет вид [c.116]

Ракета для полета на Луну. Ракета с непрерывным истечением пороховых газов летит вертикально вверх. Скорость истечения газов относительно ракеты а и масса вытекающих в секунду пороховых газов /х = —т предполагаются постоянными во времени. Движение совершается без трения при постоянном ускорении силы тяжести g. Составить уравнение движения и проинтегрировать его, считая начальную скорость ракеты у поверхности Земли равной пулю. На какой высоте будет находиться ракета [c.316]

Принимая это во внимание, в качестве уравнения относительного движения Луны по отношению к Земле вместо уравнения (41) можно взять уравнение [c.196]

Поэтому достаточно перенести сюда без существенных изменений рассуждения предыдущего пункта, чтобы заключить, что при том приближении, при котором уравнение (41 ) может представлять относительное движение Луны по отношению к Земле, для этого движения сохраняют свою силу законы Кеплера. [c.196]

Две массы mi=M— х и т2 = ц движутся в согласии с законом тяготения Ньютона (задача двух тел). Кроме того, в пространстве имеется еще третья масса тз = т, которая находится под действием сил притяжения к первым двум телам, но сама влияния на них не оказывает (например, случай системы Земля — Луна — спутник). Смысл слов ограниченная состоит именно в этом. Уравнения движения массы m имеют вид [c.124]

В современных методах вычисления орбит космических аппаратов рассматривается только система дифференциальных уравнений шестого порядка и используются табулированные эфемериды других тел солнечной системы, что позволяет определить движение космического аппарата. В будущем, по мере того как станет доступным все большее число радиолокационных наблюдений за космическими зондами, искусственными спутниками Луны и планет и даже за самими планетами, можно будет также учитывать уравнения движения других объектов в системе п тел. В настоящее время довольно ограниченное количество информации от наблюдений и сравнительно короткие интервалы времени, в течение которых производятся радиолокационные измерения, не дают возможности получать полное совместное решение для нескольких тел солнечной системы. Однако ввиду все возрастающей интенсивности освоения космического пространства не следует ожидать, что такое положение долго останется неизменным. [c.103]

Для вычисления орбиты космического аппарата требуется решить уравнения движения, чтобы можно было табулировать положение г и скорость г как функции" шести констант движения (например, начальных условий и Vq) и времени. Для искусственных спутников Земли приближенные аналитические решения уравнений движения были получены методами общих возмущений [1—4]. Частично имеются аналогичные решения для искусственных спутников Луны [5, 6]. [c.104]

Вынужденные колебания в каналах постоянной глубины. Пусть теперь на жидкость действует внешняя возмущающая горизонтальная сила X тогда жидкость будет совершать под действием этой силы вынужденные колебания. Таково именно происхождение приливов и отливов, причем в этом случае возмущающей силой является сила притяжения частиц воды к Луне и Солнцу. Уравнения движения для случая канала постоянной глубины /г принимают вид [c.522]

Сравнительно недавно в результате наблюдений за движением центров масс планет вокруг Солнца было обнаружено, что всемирное время лишь относительно грубо можно принять за то равномерное ньютоновское время, которое постулируется в основах механики и является независимой переменной в механических уравнениях. Более точно эталон времени определяется из сравнения теоретических выводов и наблюдений за движением Луны и Солнца. Это так называемое эфемеридное время. После введения эфемеридного времени оказалось возможным оценить неравномерность вращения Земли. Оказалось, что период вращения Земли изменяется примерно па 1-2 с в год, т.е. отличие всемирного времени от равномерного составляет величину порядка 1/30000000. [c.413]

Основные особенности движения Луны вызваны возмущающим влиянием Солнца. Анализ решения уравнения (10.13) показал, что если орбиту Луны расположить перпендикулярно плоскости эклиптики, то за 55 оборотов (за 4,5 года) перигей орбиты достигнет поверхности Земли [33]. Следует, однако, учесть, что Луна является телом конечных размеров и может быть ранее разорвана гравитационными силами при достижении предела Роша, равного трем радиусам Земли. Предел Роша — расстояние, на котором сила, действующая на половинку Луны со стороны Земли, начинает превосходить силу притяжения другой половинкой Луны [16, 45]. [c.73]

Замечание 3. Одна из наиболее известных сильно возмущенных задач, которой занимались многие выдающиеся математики прошлого,— это задача о движении Лупы. Дело в том, что та движение Луны сильно влияет притяжение со стороны Солнца, несмотря на то что расстояние Солнце — Луна примерно в 400 раз больнге расстояния Земля — Луна. Сильное возмущение в параметрах геоцептрической орбиты Луны, порождаемое Солнцем, объясняется большой массой последнего (масса Солнца примерно в 330 000 раз больше массы Земли). Более столетня не удавалось построить такую теорию движения Луны, которая находилась бы в хорошем согласии с наблюдениями на относительно большом интервале времени (около 100—200 оборотов Луны). На математическом языке это означает, что не удавалось построить приближенное ренюяие дифференциальных уравнений движения Луны, пригодное для описания ее реального движения на большом (долгом) периоде. [c.60]

Глава XIII сочинения Эйлера заключает самую суш ественную часть его теории. Составив в 72 обилие уравнения движения Луны и приведя их затем выбором надлежапхего значения величины X к окончательному виду, Эйлер в этой главе указывает, каким образом надо поступать, чтобы получить решение, свободное от вековых членов. [c.187]

Точное значение средних движений перигея и узла зависит от дополнительных членов в постоянной части обга их уравнений движения Луны. [c.189]

Лишь через 106 лгет после йздания книги Эйлера, Хилль, выполнив свое мастерское преобразование уравнений движения Луны, составил свое знаменитое уравнение, равносильное тому уравнению, составлять которое Эйлер не отваживался. [c.194]

На языке техники дифференциальные уравнения движения Луны представляют весьма сложный иример нелинейных колебатель- [c.194]

Как мы видели в 7.03, при исследовании движения Луны можно предположить, что Солнце описывает эллиптическую орбиту вокруг центра масс С системы Земля — Луна. Уравнения движения Луны в прямоугольных осях О , Ог), ОС. проходящих через центр Земли, плоскость Ь1 которых (эклиптика) параллельна плоскостн орбиты, описываемой Солнцем вокруг С, имеют внд [c.379]

Наиболее важным приложением является случай, когда в точке А находится Солнце, в точке В — Земля, а планетоидом является Луна. При этом можно считать, что орбита Земли при ее движении вокруг Солнца достаточно близка к круговой и что масса Луны пренебрежимо мала. Уравнения (28.8.8) являются уравнениями Хилла они чрезвычайно ван пы для исследования движения Луны. Ввиду недостатка места мы не можем дать здесь подробного изложения основных результатов. Отметим толь ко, что основная цель астронома заключается в отыскании периодических двин ений. Периодическое движение с периодом а можно представить в форме рядов [c.572]

После введения углов Эйлера выводятся два уравнения движения твердого тела одно —описывающее его поступательное движение, другое — его вращательное движение. Получено выражение для кинетической энергии твердого тела, записанное через его моменты инерции и угловые скорости, отнесенные к главным осям тела. Выведены уравиенпя Эйлера и прилагаются к рассмотре-н по твердых тел, на которые не действуют внешние силы, и к рассмотрению тяжелого симметричного волчка. Обсуждается прецессия и нутация земной оси, обусловленная солнечными и лунными силами тяготения. В последнем параграфе рассматриваются силы Кориолиса и их влияние на свободное падение тел и движение сферического маятника (маятник Фуко). [c.98]

В ноябре 1912 г. на заседании Французского физического общества сделал свой доклад по проблемам теоретической космонавтики Р. Эсно-Пельтри (доклад был опубликован в 1913 г. [12]). В работе был дан вывод уравнения движения ракеты (по существу, аналогичного уравнению Циолковского), сделан анализ энергетических затрат, необходимых для отрыва ракетного снаряда от Земли и совершения им перелета на Луну (с посадкой). Приняв максимальную перегрузку при разгоне ракеты равной 1,1 и очень низкое отношение масс одноступенчатой ракеты, Эсно-Пельт-ри получил очень высокую потребную скорость истечения, практически нереальную для химических топлив. В результате был сделан вывод, что перелет на Луну или планеты возможен лишь с использованием радия. [c.440]

В 1913 г. Годдард завершил новую рукопись Перемещения в межпла-нетном пространстве (опубликована в 1970 г. [6, с. 117—123]), которая явилась предварительным итогом его исследований по теории реактивного движения и космического полета. В этой работе рассмотрена, в частности, задача о посылке на поверхность Луны заряда осветительного пороха, содержится тезис об использовании Луны для производства на ней ракетного топлива и для старта с нее к планетам (эти мысли были высказаны им еще в 1908 г.), а также идея о применении на корабле для полета к Марсу электрического двигателя с солнечным источником энергии и др. Теоретические выкладки и расчеты были окончательно завершены Годдардом в 1914 г. и оформлены в капитальную статью Проблема поднятия тела на большую высоту над поверхностью Земли (представлена в том же году в Кларкский университет, но опубликована лишь в 1970 г. [6, с. 128—152]). Здесь Годдард впервые привел собственный вывод уравнения движения ракеты, который был сделан с учетом действия гравитации и сопротивления атмосферы. Убедившись в сложности решения полученной вариационной задачи, Годдард в расчетах применил интервальный метод (весьма, впрочем, громоздкий). Все расчеты были сделаны для твердого или жидкого кислородно-водородного топлива. В статью вошли также в более подробном изложении и другие идеи Годдарда. [c.441]

В отличие от Луны, орбита которой удалена на достаточно большое расстояние от Земли, на движение ИСЗ может непосредственно влиять гравитационный момент вследствие сплюснутости Земли. Однако численный анализ и анализ линеаризованных уравнений движения показал, что влияние этого момента на движение спутника относительно невелико [17, 69]. Вынуждаюш,ий член уравнения движения по тангажу имеет частоту, в два раза большую орбитальной частоты, поэтому резонанс, как это следует из рис. 5 и 6, не возбуждается. Если угол отклонения по тангажу измерять от некоторого опорного радиального направления, то вынуждающая функция по тангажу вследствие сплюснутости Земли имеет вид [c.191]

Идеи Эйлера по теории движения Луны положены Хиллом [4] в основу его работ по фундаментальной теории движения Луны. Хилл, как и Эйлер, пользуется прямоугольной геоцентрической эклиптической системой координат, равномерно врагцаюгцейся с угловой скоростью, равной среднему движению Солнца п. Ось абсцисс направлена по прямой, соединяюгцей Землю и Солнце. В этих координатах дифференциальные уравнения задачи Хилла имеют вид [c.132]

Известно, что Фобос (как и второй спутник Марса — Деймос) постоянно ориентирован на Марс, подобно тому, как Луна постоянно ориентирована на Землю. Иначе говоря, поверхность Фобоса неподвижна в орбитальной системе координат О 77, где О — центр масс Фобоса, движущийся по круговой орбите радиуса г вокруг Марса. Ситуацию на рис. 13 можно привести к рассматриваемой, если считать, что связывающая нить отсутствует, масса т пренебрежимо мала по сравнению с массой шо Фобоса (ш << шо) и потому точка шо и совпадает с началом О системы координат О г]. Поверхность Фобоса упрощенно примем сферической (в рассматриваемой здесь плоской задаче эта поверхность — окружность). Рассматривая движение точки вблизи этой поверхности, естественно предположить, что ее расстояние р от центра масс Фобоса существенно меньше радиуса г орбиты Фобоса (р << г) и тогда уравнения движения точки т описываются классическими уравнениями задачи Хилла, которые приведем здесь в безразмерной форме [c.227]

При решении проблемы космонавтики и астрономии важную роль играет так называемая ограниченная задача трех тел. Рассматривается система трех частиц массами Ш1,Ш2, шз, причем масса одной из них, Шз <С Ш , Ш2. Если пренебречь ускорениями, которые сообщает легкая частица двум массивным частицам, то они будут двигаться по кеплеровым траекториям. Задача состоит в интегрировании уравнений движения частицы массой шз, движущейся во внешнем гравитационном поле, создаваемом частицами т и Ш2. Примерами ограниченной задачи трех тел являются Солнце-планета-комета, Земля-Луна-спутник и т.д. [c.87]

В XIX веке развитие небесной механики происходило по двум основным направлениям. Первое направление, которое назовем для краткости астрономическим, имело своей целью создание аналитических теорий движения реальных небесных тел Солнечной системы. Работы этого направления были посвяш ены выводу приближенных, буквенных формул, являюш ихся обрывками бесконечных рядов, формально удовле-творяюш их дифференциальным уравнениям движения рассматриваемых тел. Сами эти тела (Солнце, Луна, Земля, большие планеты) рассматривались как материальные точки, взаимно притягиваюш иеся по закону всемирного тяготения Ньютона. [c.324]

Так как в уравнениях 25 координаты х ж у изменяются на протяжении всей орбиты Земли, то они мало пригодны для приближений, поэтому необходимо ввести в нащи уравнения новые координаты. 5 Чтобы это проще выполнить, проведем из точки 0, к которой следует относить движение Луны, в плоскости эклиптйки какую-нибудь прямую 0 , которая около точки 0 как угодно вращается, и обозначим угол а0Ь через О) (фиг. 4 и б) и примем эту прямую за ось 0Х опустив на эту ось из точки У перпендикуляр Ух обозначим новые координаты так [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...