Тензоры физические

Физические компоненты векторов и тензоров. Физические компоненты вектора А, А2, равны длинам ребер косоугольного параллелепипеда (рис. 7) А1 = MB, А2 = МС, A3 MD. [c.49]

Как показывают практические расчеты, чтобы эффективно использовать трехмерные конечно-элементные модели для анализа напряженно-деформированного состояния тонких оболочек, необходимо модифицировать тензоры физических параметров, задавая сначала [c.192]

Здесь члены [у-ргг гг ] и [у -с] не являются простыми дивергенциями, потому что величины pww и t представляют собой тензоры. Физический смысл у-рг ги можно показать, сравнив его с членом у-ри>, который был описан в 1. [c.20]

При Произвольной ориентации падающего луча и поверхности раздела относительно осей тензоров физически обоснованный и математически удобный выбор системы координат становится затруднительным, и предпочтительны инвариантные методы расчета. [c.62]

Другие примеры тензоров, имеющие важное физическое значение, встретятся в других разделах. [c.21]

В литературе встречается довольно много уравнений состояния, не подчиняющихся принципу объективности поведения материала. В частности, некоторые работы по линейной вязкоупругости страдают от этого недостатка. Это весьма прискорбно, потому что имеющиеся экспериментальные данные оказываются бесполезными, поскольку эти результаты были опубликованы в форме, полученной после их обработки на основе неинвариантного (а следовательно, физически невозможного) уравнения состояния. В частности, в гл. 6 мы увидим, что в случае уравнений состояния, включающих производные по времени от тензора напряжений, удовлетворять указанному принципу следует с особой тщательностью. [c.59]

При использовании ортогональных координатных систем часто оказывается полезным рассмотреть физические компоненты векторов и тензоров. Так называются их компоненты относительно, ортогонального базиса, образованного векторами, имеющими те же самые направления, что и векторы естественного базиса (который, кроме того, совпадает с дуальным). [c.79]

Используя (2-7.18) и формулируя другие возможные соотношения, подобные уравнениям (2-7.13) и (2-7.14), получаем полную систему возможных соотношений между физическими компонентами и другими тинами компонент векторов и тензоров [c.80]

Можно заметить, что физические компоненты вектора или тензора имеют те же физические размерности, что и сами векторы и тензоры ). Это свойство не разделяется другими компонентами. [c.80]

Физическая размерность тензора определяется при помощи интерпретации операторного определения тензора как операции умножения. Иными словами, равенство Ь = А-а правильно в смысле размерности, если произведение размерностей а и А дает размерность Ь. Например, из равенства dt = T-ds, определяющего тензор напряжений, мы заключаем, что размерностью Т будет размерность силы, приходящейся на единицу площади. [c.80]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

Следует помнить, что ассоциированные относительные тензоры не следует смешивать с самим тензором J, несмотря на то что их значения совпадают при т = t. Тензор J определяется в терминах имеющих физический смысл величин, в то время как для ассоциированных относительных тензоров, за исключением вращательной формы, часто невозможно подыскать прямой физической интерпретации. [c.108]

Из ковариантных компонент и метрического тензора в точке Х< можно получить другие типы компонент тензора С. Особую роль играют физические компоненты. Учитывая уравнение (2-7.20), имеем [c.126]

Тензор D можно получить из С при помощи уравнения (3-2.17). Поскольку ортогональный базис физических компонент не изменяется вдоль траекторий частиц (которые, кстати, радиальны), матрица физических компонент тензора D получается из [c.126]

Уравнение (4-3.8) представляет принцип объективности поведения материала, примененный к изменению системы отсчета от произвольной начальной к вращающейся системе. Во вращающейся системе отсчета тензоры F и U совпадают кроме того, вращающаяся и начальная системы отсчета совпадают при s = О, и, следовательно, напряжение в момент времени t должно быть одинаковым в обеих системах. С физической точки зрения уравнение (4-3.8) показывает, что напряжение в материальной точке одинаково для двух историй деформирования, которые отличаются друг от друга только наложением истории твердотельного вращения. [c.142]

Аналогично, физическая интуиция подсказывает, что, если не рассматривать влияние прошлых деформаций, должны иметь особую значимость деформации, происходящие непосредственно в момент наблюдения. Поскольку деформации определяются по отношению к некоторой конфигурации, принимаемой за отсчетную, поясним нашу точку зрения, рассмотрев следующий пример, где за отсчетную выбрана конфигурация, не совпадающая с конфигурацией, принимаемой рассматриваемым жидким элементом в момент наблюдения. Рассмотрим два движения с одинаковыми значениями тензора деформаций (например, тензора Коши) во все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где эти значения различны. (Вновь, как и в примере с температурой, по крайней мере одна из двух деформационных предысторий разрывна в момент наблюдения.) Физическая интуиция подсказывает, что при равенстве других переменных текущие значения свободной энергии в этих двух случаях будут различными. [c.158]

Если рассматривать уравнение (6-3.1) как справедливое для любой предыстории, а не только в предельном случае малых деформаций, оно представляет собой пример интегрального уравнения состояния. Физическая предпосылка, лежащая в основе уравнения (6-3.1), ясна предполагается, что все деформации, которые имели место в прошлом и измеряются при помощи тензора Коши, дают линейный вклад в текущее значение напряжения. Весовая функция / (s) представляет собой материальную функцию, которая полностью определяет Частный тип материала, удовлетворяющего такому правилу линейности. Линейное соотношение, выражаемое уравнением (6-3.1), известно также как принцип суперпозиции Больцмана. [c.216]

Однако следует представлять себе, что при рассмотрений деформаций произвольной величины концепция линейной связи между напряжениями и деформациями уже не может однозначно определяться из физических соображений. Это происходит потому, что деформации можно измерить бесконечным числом способов, которые являются равно обоснованными и среди которых не существует средств априорного выбора на основе соображений механики сплошной среды. Мы можем использовать тензоры U, С или либо ввести другие меры деформации. При этом линейная связь между напряжением и, скажем, С соответствует нелинейной связи между напряжением и, скажем, С" . Таким образом, линейное соотношение можно найти лишь после того, как мы знаем результаты измерения деформаций, для которых устанавливается это соотношение. Однозначная концепция линейности существует только в предельном случае бесконечно малых деформаций, поскольку в этом случае линейность соотношения между т и одной из величин, определяющих деформацию, означает также линейность связи между т и любой из них ). [c.216]

Повреждение, обусловленное интенсивным порообразованием по границам зерен в материале, может приводить к значительному его разрыхлению. В этом случае проведение независимого (несвязного) анализа НДС и развития повреждений в материале дает значительные погрешности. Например, отсутствие учета разрыхления в определенных случаях приводит к существенному занижению скорости деформации ползучести и к снижению скорости накопления собственно кавитационных повреждений. В настоящее время связный анализ НДС и повреждаемости базируется в основном на феноменологических подходах, когда в реологические уравнения среды вводится параметр D, а в качестве разрушения принимается условие D = 1 [47, 50, 95, 194, 258, 259]. Дать физическую интерпретацию параметру D достаточно трудно, так как его чувствительность к факторам, определяющим развитие межзеренного повреждения, априорно предопределена той или иной феноменологической схемой. Так, во многих моделях предполагается, что D зависит только от второго инварианта тензора напряжений и деформаций и тем самым исключаются ситуации, когда повреждаемость и, как следствие, кинетика деформаций (при наличии связного анализа НДС и повреждения) являются функциями жесткости напряженного состояния. [c.168]

Определим вид зависимости тангенциальной компоненты скорости жидкости (х) от ряда физических параметров. С этой целью рассмотрим условие для тангенциальных компонент тензора вязких напряжений (1. 3. 10) [c.290]

Тензором называют физический или геометрический объект, который в трехмерном пространстве аналитически определяется системой 3 чис л — компонент тензора. Число п определяет ранг тензора. Так, например, вектор аналитически определяется системой трех чисел — проекций вектора на оси координат или компонент вектора, а потому он является тензором первого ранга, так как 3" = 3 п /1=1. [c.110]

Такие тензоры называются скалярами в выражают физические величины, характеризующиеся только числовым значением. Примерами скаляров могут служить такие величины, как j 2 время, температура, энергия и др. Скаляры обозначаются малыми строчными буквами, например а. Ь и т. д. [c.7]

Здесь члены pww ] и [V.t] не являются простыми дивергенциями, потому что величины ww и т представляют собой тензоры. Физический смысл V ргог можно показать, сравнив его с членом V. который был описан в 2.1. [c.19]

Если материал ойолочки изотропен, можно воспользоваться изотропным цредставлением тензоров физических постоянных. При малых деформациях [I] [c.24]

В кристаллах кубической системы (таких, как каменная соль Na l, флюорит Сар2, алмаз Сит. д.) все три главных направления диэлектрического тензора физически эквивалентны, поэтому главные значения в , Еу и в. одинаковы. Это значит, что тензор b вырождается в скаляр (векторы Е и D всегда совпадают по направлению) и кристаллы кубической системы в отношении оптических свойств ведут себя как изотропная среда. В отношении других свойств, выражаемых тензорами более высокого ранга (например, упругих), кубические кристаллы анизотропны. Оптическая анизотропия кубических кристаллов появляется только при учете очень слабых эффектов пространственной дисперсии, описываемых тензором четвертого ранга (см. 2.9). [c.183]

В ортогонагхьной системе координат для любого тензора физические компоненты 19сех видов, имещие одинаковые индексы, равны между собой., [c.28]

Очевидно, что первым шагом в этом направлении является предположение о нелинейном характере зависимости между тензорами напряжений и растяжения. Однако, перед тем как рассматривать это предположение, уместно проанализировать требования инвариантности для уравнений состояния, чтобы можно было избежать физически неосуществимых форм этого уравнения. Следуюпщй раздел посвящен такому анализу. [c.57]

При помощи уравнения (2-7.12) физические компоненты векто ров и тензоров легко выразить через соответствующие ковариант-ные, контравариантные или смешанные компоненты. Помечая физические компоненты при помощи индекса, заключеннога [c.79]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

Следует хорошо понять физический смысл того обстоятельства, что V-T = 0. В теории идеальной жидкости полагают х = О и, следовательно, т = О, так что равенство V-т = О тривиально. Для ньютоновской несжимаемой жидкости в случае безвихревого течения V т = О (т. е. результирующая сила вследствие действия напряжений па любую замкнутую поверхность равна нулю), но сами напряжения не равны нулю. То, что дивергенция тензора напряжений может быть равна нулю, хотя сами напряжения и не равны нулю, не неожиданно действительно, в гл.. 5, например, это было показано для течения удлинения. Заметим, что диссипацрш энергии т Vv всегда равна нулю в идеальной жидкости, но отлична от нуля в ньютоновской жидкости, даже если последняя участвует в изохорном безвихревом течении, где V - т = 0. Фактически эта интересная задача ньютоновской гидромеханики была первоначально решена в работах [2, 3] при помощи вычисления полной скорости диссипации в безвихревом поле течения, удовлетворяющем уравнению (7-1.6). [c.256]

Современное состояние вопроса общего математического описания дисперсных систем нельзя признать до-статочло удовлетворительным, несмотря на растущий интерес к этой проблеме. Каж травило, в работах, шо-священных этому вопросу, фактически используется феноменологический подход к исследованию дисперсного потока в целом. Идея условного континуума п03(В0Ляет полностью использовать математический аппарат механики сплошных сред, но несет с собой погрешности физического порядка тем более существенные, чем значительней макроднскретность системы. Системы таких уравнений, полученные рядом авторов как общие, все же не охватывают класс дисперсных потоков во всем диапазоне концентраций (вплоть до плотного движущегося слоя). Они не учитывают качественного изменения структуры потока и в связи с этим изменения закономерностей распределения частиц, появления новых сил (например, сухого трения), изменения с ростом концентрации (до предельно большой величины) условий однозначности и пр. В основном большинство работ посвящено турбулентному течению без ограничений по концентрациям, хотя при определенных значениях р наступает переход к флюидному транспорту, а затем — плотному слою. Сама теория турбулентности применительно к дисперсным потокам находится по существу в стадии становления (гл. 3). Наиболее перспективные методы — статистические (вероятностные) применяются мало, по-видимому, в силу недостаточной изученности временной и пространственной структур дисперсных систем Общим недостатком предложенных систем уравнений является их незамкнутость, которая объясняется отсутствием конкретных данных о тензорах напряжений и [c.32]

Таким образом, методом осреднения мы получили уравнения импульса, притока тепла фаз, а также уравнения момента импульса и энергии их пульсационного (мелкомасштабного) движения. В отличие от феноменологического подхода гл. 1, метод осреднения позволил последовательно учесть влияние мелкомасштабного движения фаз поверхностного натяжения и получить выражения для определения таких макроскопических характеристик, как тензор напряжений в фазах, интенсивности межфазного взаимодействия, потоки различных видов энергий и т. д. через значения микропараметров. Реализация этих выражений, приводящая к реологическим соотношениям теперь уже только между макропараметрами (которые можно называть явными реологическими соотношениями) и, как результат, к замыканию системы уравнений, должна производиться с учетом структуры и физических свойств фаз в смеси. И это есть основная проблема при моделировании гетерогенных сред. [c.87]

Приведенное напряжение можно рассматривать как среднее напряжение вдоль = dsj -Ь ds ig (см. примечание при обсуждении (2.2.9)). Даже при симметричном тензоре микронапряжений a тензор может быть несимметричным (например, при интенсивном ориентированном вращении частиц с угловой скоростью щ) за счет 0 3 или rjjg, т. е. за счет включения в аjj, части межфазной силы i 2lS Действующей вдоль rfsgiS Поэтому нельзя согласиться с утверждением [4, 6 ], что феноменологическое введение антисимметричных макроскопических напряжений в суспензиях при отсутствии антисимметричных напряжений в микромасштабе (как это сделано в (1 ]) лишено физического смысла. В то же время следует отдавать отчет в том, что представления главного вектора поверхностных сил с несимметричным тензором напряжений < в виде + я/л и с симметричным тензором [c.98]

Совокупность векторов напряжений для всевозможных площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в точке. Количественно оно оценивается сложной физической величиной, называемой тензором напряжений, компонентами которого являются нормалыше и касательные напряжения, действующие на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку. [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...