Коши равенства

Под многоточием здесь надо подразумевать слагаемые, содержащие в качестве множителей отрицательные степени функции х (О и опущенные здесь на основании вытекающего из теории Коши равенства [c.66]

Здесь использован (и будет использоваться в дальнейшем) специальный символ <=> для того, чтобы подчеркнуть особый смысл равенства правой и левой частей уравнения. Фактически Уи (т) суть ковариантные компоненты единичного тензора в системе координат величины же ( )j суть ковариантные компоненты тензора Коши в системе координат х Хотя их две матрицы совпадают при любом т, ясно, что речь идет о двух различных тензорах равенство компонент двух тензоров еще не означает равенства тензоров, если компоненты не рассматриваются в одной и той же системе координат. [c.112]

Аналогично, физическая интуиция подсказывает, что, если не рассматривать влияние прошлых деформаций, должны иметь особую значимость деформации, происходящие непосредственно в момент наблюдения. Поскольку деформации определяются по отношению к некоторой конфигурации, принимаемой за отсчетную, поясним нашу точку зрения, рассмотрев следующий пример, где за отсчетную выбрана конфигурация, не совпадающая с конфигурацией, принимаемой рассматриваемым жидким элементом в момент наблюдения. Рассмотрим два движения с одинаковыми значениями тензора деформаций (например, тензора Коши) во все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где эти значения различны. (Вновь, как и в примере с температурой, по крайней мере одна из двух деформационных предысторий разрывна в момент наблюдения.) Физическая интуиция подсказывает, что при равенстве других переменных текущие значения свободной энергии в этих двух случаях будут различными. [c.158]

Отметим два примера линейных преобразований вектора в вектор, совокупности коэффициентов которых образуют тензоры. Это, как уже упоминалось, равенства Коши (12) гл. VII, в которых коэффициенты представляют собой нормальные и касательные напряжения. Эта совокупность образует тензор напряжений Р с компонентами pki [k, / = 1, 2, 3). [c.117]

Равенства Коши (12) гл. VII можно рассматривать как линейную векторную связь между физическими векторами и п, а коэффициенты рп, р2 и т. д.— как компоненты физического тензора, который, как уже упоминалось в 30, называется тензором напряжений и будет обозначаться заглавной буквой Р. Название это объясняется тем, что компонентами тензора Р являются касательные и нормальные напряжения в данной точке среды. [c.129]

Правые части равенств Коши (12) гл. VII можно рассматривать как проекции произведения, в данном случае благодаря симметрии тензора напряжений, безразлично тензора на [c.129]

Таким образом, равенства Коши (12) гл. VII сведутся к следующим [c.131]

Применяя равенство Коши в форме (3), приведем уравнение равновесия (32) к виду [c.138]

Согласно известным равенствам Коши ( 30), представленным в тензорной форме ( 36), и формулам Гаусса — Остроградского ( 37) найдем значение последнего члена в равенстве (81) в форме интеграла по объему [c.148]

Подставляя напряжения в уравнения равновесия (б) (при X = У = 0), а деформации — в уравнение совместности деформаций (2.21), видим, что они выполняются. На гранях ML и ON ввиду равенства Оу = Ру равновесие также соблюдается во всех точках. Следовательно, напряжения равновесны, а деформации совместны и им отвечает непрерывное поле перемещений, которое найдем путем интегрирования уравнений Коши (2.14), которые в данном случае получат вид [c.42]

Вместо уравнений Коши II (2.16) могут быть использованы полученные из них уравнения совместности деформаций Сен-Венана (2.22), а вместо закона Гука в прямой форме III (2.27) — равенство [c.43]

Равенства (4.82) представляют геометрические уравнения в полярных координатах, являющиеся аналогом уравнений Коши (4.5). [c.112]

Умножим обе части равенств (6.159) на ядро Коши [c.145]

Дифференциальные зависимости (1.44) между малыми деформациями и малыми перемещениями были непосредственно получены впервые О. Коши (1789—1857). Поэтому обычно равенства (1.44) называются дифференциальными зависимостями Коши. [c.15]

Первый интеграл в левой части равенства на основании интегральной формулы Коши равен (g). Второй же интеграл равен постоянной на основании следующей теоремы теории аналитических функций для того чтобы непрерывная на окружности у функция / (х) была граничным значением аналитической функции внутри окружности у, необходимо и достаточно, чтобы [c.171]

Принимая введенные в равенствах (9.87) и (9.88) функции F3 [xi, Хг) и Fi xi, xz) гармоническими, сопряженными соответственно с функциями fa (J i, хг) и Fi (xi, л г) т. е. удовлетворяющими условиям Коши— Римана [c.240]

Первый интеграл в равенстве (9.410) на основании формулы Коши (9.349) равен нулю. Действительно, выражение [c.320]

Между аналитическими и гармоническими функциями имеется тесная связь. Пусть w (г) = и х, у) + iv х, у) — аналитическая функция на области D. Тогда для любых z D существуют частные производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy и выполняются условия Коши—Римана. Предположим дополнительно, что производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy сами непрерывно дифференцируемы (можно доказать, что аналитическая функция обладает непрерывными производными любых порядков и, следовательно, это предположение соответствует действительности). Дифференцируя первое равенство (5.6) по х, второе по у и складывая, приходим к уравнению Лапласа (5.7). Точно так же, дифференцируя первое равенство (5.6) по у, второе по д и вычитая, приходим к уравнению Лапласа дЪ/дх -f d v/dy = 0. Таким образом, установлено, что действительная и мнимая части аналитической функции являются функциями гармоническими. Более того, установлено, что функции класса С, связанные условиями Коши—Римана, — гармонические. [c.179]

Поскольку всякой аналитической функции и (х, у) соответствует другая гармоническая функция v х, у), связанная с ней условиями Коши — Римана, то отсюда следует, что всякую гармоническую функцию и (х, у) можно рассматривать как действительную часть некоторой аналитической функции w (2) = и х, у) + + iv х, у), мнимая часть которой v х, у) определяется равенством (5.9). Но в формуле (5.9) содержится произвольная постоянная С V (хо, у ). Следовательно, соответствуюш.ая гармонической функции аналитическая функция определяется с точностью до чисто мнимой постоянной i . [c.180]

Помимо того, что равенство (ж) определяет z как функцию его можно разрешить относительно С- В таком случае и т) будут действительной и мнимой частями функции г, поэтому они должны удовлетворять уравнениям Коши — Римана (д) из 55 а следовательно, и уравнению Лапласа (е) или (ж) из 55. [c.193]

Как видно, для достижения динамического подобия между моделью и натурой каждая система сил, действующих на жидкость, требует равенства некоторых своих чисел (чисел Фруда, чисел Рейнольдса и т. д.) для модели и натуры. Указанные безразмерные числа Фруда, Рейнольдса, Коши и т. д., равенство которых для модели и натуры указывает на наличие динамического подобия между ними, называются критериями подобия. [c.290]

Эти безразмерные числа (Фруда, Рейнольдса, Коши и т. д.), равенство которых в сходственных точках модели и натуры указывает на наличие динамического подобия между моделью и натурой, называются критериями подобия. [c.530]

Кроме того, с помощью неравенства Коши — Буняковского, равенства Парсеваля и соотношений (1.24), (1.28) нетрудно установить оценку [c.242]

Поэтому, используя неравенство Коши — Буняковского и равенство Парсеваля, получаем [c.252]

Решение однородного уравнения по-прежнему запишется в виде (42), где Х(Ц) и л (2/+1) будут определяться равенствами (53). Частное решение дифференциального уравнения, соответствующее его правой части ф Ц), найдется также в виде интеграла Коши (44) или (46), если вместо В (1 у) подставить значение (51), т. е. [c.65]

Формула Лагранжа является частным случаем следующего более общего равенства (формула Коши) [c.149]

Выражения (1.14) и представляют собой статико-геометрическую аналогию. Обратим внимание на то, что вектор, стоящий в правой части второго равенства (1.14), является вектором обобщенных перемещений для вектора сил, стоящего в левой части первого равенства (1.14) и наоборот (см. стрелки). Первое уравнение (1.14) является уравнением равновесия, а второе — геометрическим уравнением, связывающим перемещения узлов системы с деформацией стержней, и аналогом уравнений Коши в теории упругости. [c.17]

Подставляя (7.12) в (7.6), (7.8), (7.11), умножая обе части этих равенств на Х х) и интегрируя в пределах [o,/J, получим задачу Коши одномерной модели изгиба прямоугольной пластины [c.395]

Если, решая задачу теории упругости, исключить из рассмотрения перемещения, то вместо соотношений Коши (16.2) можно получить уравнения, связывающие между собой компоненты тензора деформаций. Продифференцируем деформацию Ej., определяемую первым равенством (16.2), два раза по у, деформацию е,—два раза по х и сложим полученные выражения. В результате получим [c.330]

Каждое из равенств (16.4) устанавливает связь между деформациями в одной плоскости. Из соотношений Коши могут быть также получены условия совместности, связывающие деформации в разных плоскостях. Продифференцируем выражения (16.2) для угловых деформаций следующим образом Уху—по 2, — по X, — по у, сложим два первых равенства и вычтем третье. В результате получим [c.331]

Используя соотношения Коши (19.24) и равенства (19.33), найдем деформации [c.411]

Исследование устойчивости сводится к оценке знаков вещественных частей показателей экспонент в равенствах (16). Удобно применить один из критериев устойчивости, например критерий Коши—Михайлова—Найквиста (см. том 1, с. 98). Для этого в формулах (16) следует положить q = О, [c.528]

Принимая во внимание формулы (3.73) и (3.74), дифференциальные зависимости Коши (4.1), а также учитывая, что вариации = = 6oji должны удовлетворять уравнениям (5.53), второе слагаемое в правой части равенства (5.57), представляющее собой первую вариацию бЛ (oij), приведем к виду [c.103]

Дифференциальные зависимости Коши в криволинейных координатах. Заменим в равенстве (4.1) обычные частные п зоизводные ковариантными [c.116]

Если функция (О(5), отображающая окружность единичного радиуса на контур Г границы упругого тела, рациональна, ме-тод остается по существу тем же самым и регаение задачи всегда может быть доведено до конца и представлено в замкнутом виде. Выражения, фигурирующие в равенствах (10.5.3) и (10.5.4), при этом всегда могут быть представлены как контурные значения рациональных аналитических функций переменной и интегралы типа Коши вычисляются как интегралы Коши. Метод комплексной переменной применительно к плоским задачам очень хороша представлен в ряде монографий и учебной литературе (Мусхели-швили, Савин, Новожилов, Амен-Заде и др.), поэтому здесь он не будет развиваться более подробно и иллюстрироваться другими примерами. [c.342]

Если и, v,w — истинные перемещения, а е , Ву,. .., г х — истинные деформации, то они удовлетворяют соотношения м Коши (5.17) и, следовательно, для истинного состояния бФ = 0. Наоборот, в силу того, что вариации напряжений 6a.v, бсту, ба ., бт у, бту , бт независимы, а объем V произволен, в том числе и достаточно мал, то из условия бФ = О следуют соотношения Коши, так как условие бФ = О может быть выполнено при произвольных и отличных от нуля вариациях напряжении лишь при равенстве нулю содержимого каждой круглой скобки подынтегрального выражения. Таким образом, условие бФ = О эквивалентно выполнению условий совместности деформаций. Принцип возможных изменений напряженного состояния (принцип Кастильяио) состоит в том, что работа статически возможных напряжений на истинных деформациях и [c.201]

Мы получили уравнения Коши —Рамана ). Исключая (5 путем ди(1)ференциро-вания первого уравнения по х, второго — поуи сложения получаемых равенств, будем иметь [c.181]

В совокупности У. р. выделяется класс строго устойчивых распределений, для к-рых имеет место равенство ( ) при bi=b2 — b = Q. Характеристич. ф-ции строго устойчивого распределения с показателем а 1 даются ф-лой (2) при d=Q. При а=1 строго устойчивым распределением является лишь распределение Коши. Спектрально положительные (отрицательные) У. р. характеризуются тем, что в канонич. представлении Леви М(х) = 0 N x) = 0). Для спектрально положительных У. р. существует пртобразование Лапласа при Re O [c.261]

Равенство (7.14) носит название интеграла Коши-Лафанжа. [c.62]

При расчете сложных трубопроводов составляется баланс расходов в узловых точках (равенство притоков и оттоков жидкости) и баланс напоров на кольцевых участках (равенство нулю алгебраической суммы потерь напора для каждого кольца). Для ламинарного режима течения задача сведется к системе линейных алгебраических уравнений. Для турбулентного режима течения задача становится значительно сложнее необходимо решать систему трансцендентных уравнений, которая не имеет общего алгоритма решения. Во многих случаях задачу расчета сложной системы трубопроводов при установившемся режиме течения в турбулентной области проще решать методом установления, используя уравнение Бернулли для не-установившегося течения. В этом случае расчет сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (см. раздел 15.2), которая алгоритмически ясна и имеет несколько стандартных программ для решения. Гидравлический расчет трубопроводов, особенно сложных, обычно проводится с помощью ЭВМ. Более подробно обсуждаемый вопрос целесообразно изучать на практических занятиях путем решения задач. [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...