Вывод конечно-разностных уравнений

Вывод конечно-разностных уравнений [c.517]

При выводе конечно-разностных уравнений для Рх-приближения использовались конкретные аппроксимации интегралов, входящих в уравнения (3.14) и (3.15). Другие простые аппроксимации привели бы к разностным уравнениям, аналогичным уравнению (3.20), за исключением того, что коэффициенты пг в них были бы несколько отличными от рассмотренных, однако эти коэффициенты вновь имели бы отмеченные выше свойства. Диффузионное приближение приводит к таким же разностным уравнениям, хотя и с другими коэффициентами. Так как диффузионное приближение используется очень широко, то интересно получить соответствующие конечно-разностные уравнения. [c.110]

ВЫВОД КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.180]

Переходя к индексам I и п, видим, что уравнение (3.31) совпадает с уравнением (3.18), выведенным при помощи разложений в ряды Тейлора. Очевидно, в любом методе существует большой произвол при выводе конечно-разностных уравнений. Если, например, интегрировать по времени не от до + А/, а от / — А до + А и в качестве средней точки взять то получится уравнение (3.17). Как уже было отмечено выше, это уравнение безусловно неустойчиво. [c.47]

Понятие устойчивости непосредственно связано с понятиями аппроксимации и сходимости ). Конечно-разностный аналог аппроксимирует дифференциальное уравнение, если при Ах->0, А О конечно-разностное уравнение стремится к дифференциальному уравнению в частных производных. Хотя при выводе конечно-разностных уравнений при помощи разложений в ряды Тейлора может показаться, что это положение выполняется автоматически, на самом деле это не так здесь могут потребоваться иные ограничения для относительной скорости сходимости при уменьшении Ах и А (см. разд. 3.1.7). Конечно-разностное уравнение сходится, если при Ах->0, А/ О решение конечно-разностного уравнения стремится к решению дифференциального уравнения в частных производных. Два очевидных необходимых условия такой сходимости состоят в том, что конечно-разностное уравнение устойчиво (в некотором смысле) и аппроксимирует соответствующее дифференциальное уравнение. [c.79]

При выводе численного приближения к уравнению переноса очень полезен принцип, состоящий в том, что конечно-разностное уравнение для элемента фазового пространства должно удовлетворять закону сохранения нейтронов в этом элементе. Каждый член в уравнении должен представлять физическую компо енту, входящую в закон сохранения, такую, как поглощение в элементе или ток нейтронов через поверхность. Когда конечно-разностные уравнения составляются с учетом закона сохранения, то они всегда более наглядно интерпретируются и обычно более точны по сравнению со случаем, когда производные просто заменяются конечными разностями. Кроме того, в отсутствие такого принципа возможные конечно-разностные уравнения оказываются настолько многочисленными, что сделать хороший выбор иначе, чем методом проб и ошибок, очень трудно. Именно по этой причине уравнение переноса в разд. 1.3.2 выражено в дивергентной форме. [c.179]

Ранее отмечалось, что полученные здесь конечно-разностные уравнения не являются единственными, которые можно использовать для аппроксимации исходного дифференциального уравнения (5.17). Приведенные выше уравнения оказываются более предпочтительными по следующим причинам а) при их выводе используются некоторые общие принципы б) изучение можно легко распространить на другие геометрии, для которых уравнение переноса представлено в гл. 1 в дивергентной форме, и в) установлено, что полученные результаты оказываются более точными, чем те, которые даются другими разностными уравнениями. Необходимо отметить, что возможные разностные схемы не были исчерпывающе изучены. Например, вариационный подход к решению, изложенный в конце гл. 6, не рассматривался вплоть до 1968 г. [21]. [c.184]

Таким образом видно, что все четыре метода вывода конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений в част [c.50]

НЫХ производных — разложение в ряд Тейлора, метод полиномиальной аппроксимации, интегральный метод и метод контрольного объема — могут привести к одинаковым разностным выражениям. Это обнадеживает и укрепляет доверие ко всем этим методам. Но в каждом из них имеется некоторая свобода действий, так что выбор метода для вывода конечно-разностного аналога дифференциального уравнения определяет этот аналог не единственным образом. В самом деле, существует много используемых аналогов. Несмотря на то что больщинство из них различается (как может показаться непосвященным) в незначительных деталях, они могут сильно отличаться по своему поведению. По личному мнению автора одним из удивительных аспектов вычислительной гидродинамики является наличие большого числа правдоподобных схем, которые, однако, не работают, как, например, было указано для уравнения (3.17). Это справедливо как для основных (т. е. предназначенных для расчета внутренних точек) разностных схем, так и для схем, предназначенных для расчета граничных точек. [c.51]

Очевидно, что проверить точность схемы на грубой сетке нельзя. Однако устойчивость и сходимость решения конечно-разностных уравнений обычно можно проверить на крайне грубой сетке, лишь бы она содержала хотя бы одну стандартную внутреннюю узловую точку. Для многих задач качественно разумные результаты, пригодные для проверки устойчивости, итерационной сходимости, постановки граничных условий, выбора вариантов, процедур вывода информации и т. д., могут быть получены на сетке 4X4 всего с 9 внутренними точками. Избегайте болезненного пристрастия к десятичной системе. Не обязательно размещать в пограничном слое сакраментальные десять точек часто для отладки достаточно даже двух или одной точки. [c.479]

На рис. 9.6 показан узел, окруженный четырьмя соседними узлами с указанием их координат и соответствующи им концентраций. Конечно-разностная аппроксимация в окрестности центрального узла получается интегрированием уравнения диффузии (9.22) по области 5" с учетом (9.28) [9.29]. Конечно-разностное уравнение, которое выводится методом, аналогичным рассмотренному в [9.29], имеет следующий вид [c.264]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Как указано выше, в основе моделирования температурных полей на 7 -сетках лежит аналогия между конечно-разностной аппроксимацией уравнения теплопроводности и уравнением Кирхгофа для электрических токов, сходящихся в соответствующем узле электрической модели. На этой же аналогии базируется вывод формул для расчета параметров 7 -сеток. [c.36]

Как видим, система уравнений неразрывности не обеспечивает сплошности континуума. Для того чтобы уравнения сплошности выполнялись, необходимо уменьшить размеры элемента оболочки до dsi << t dsi 0), что противоречит классической модели ТТО. Этот вывод свидетельствует о том, что конечно-разностной системе уравнений равновесия, внешне похожей на классическую форму записи, не соответствует условие сплошности, и система приводит к разрывам в оболочке. [c.26]

Обычно при выводе формул прогноза и коррекции решение уравнения рассматривают как процесс приближенного интегрирования, а сами формулы получают с помощью конечно-разностных методов. [c.87]

По существу, есть два классических способа вывода алгебраических уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения и решаемых численно метод конечных разностей и метод конечных элементов. Основное различие между ними можно сформулировать, по крайней мере качественно, следующим образом. При применении конечно-разностного метода все производные в дифференциальном уравнении заменяются конечными разностями между узлами внутри области, и сумма всех членов полученного разностного уравнения приравнивается нулю в каждом отдельном узле. При реализации метода конечных элементов в окончательной формулировке требуется, чтобы эта сумма, проинтегрированная по всей области, равнялась нулю. Алгебраически это достигается приравниванием нулю всех интегралов для каждого элемента, причем полагается, что решение в пределах элемента имеет вид некоторой простой функции. С нашей точки зрения, невозможно с уверенностью выбрать один из методов оба имеют свои преимущества и недостатки. Судя по литературе, многие известные авторы отдают предпочтение одному из них либо методу конечных элементов [15.1, 15.13, 15.20 - 15.22, 15.25, 15. 2, 15.70, 15.71, 15.119], либо методу конечных разностей [15.56, 15.66, 15,67, 15.78, 15,84, 15.85, 15.93, 15.94, 15.107 — 15.109, 15.121, 15.154]. Мы также сосредоточим свои усилия на конечных разностях, поскольку для разработки программ, основанных на методе конечных элементов, необходима, как нам представляется, более основательная математическая подготовка, чем при реализации метода конечных разностей. Некоторое интересное расширение возможностей метода конечных разностей было предложено в [15.2, 15.3]. Полностью следуя этим идеям, одно существенное преимущество метода конечных элементов — значительную гибкость при разбиении области — следовало бы распространить также и на метод конечных разностей. [c.404]

Этот метод для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, ко более физичен по существу. Метод контрольного объема наиболее ярко освещает процесс численного моделирования . Метод контрольного объема достаточно продуктивен для учебных целей. Основная идея этого метода заключается в разбиении расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с другом контрольные объемы, чтобы каждьш узел расчетной сетки содержался в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по каждому контрольному объему. При вычислении интегралов используются кусочные профили, которые описывают изменение переменной между узлами, В результате такого интегрирования получается дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких соседних узлах. [c.94]

Метод контрольного объема для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, но более фи-зичен по существу. Этот метод наиболее ярко освещает процесс численного моделирования . Наилучшими примерами такого подхода могут служить широко известные метод частиц [c.48]

Понятие устойчивости непосредственно связано с понятиями аппроксимации и сходимости ). Конечно-разностный аналог аппроксимирует дифференциальное уравнение, если при Ах О, At O конечно-разностное уравнение стремится к дифференциальному уравнению в частных производных. Хотя при выводе конечно-разностных уравнений при помощи разложений в ряды Тейлора может показаться, что это положение выполняется автоматически, на самом деле это не так здесь могут потребоваться иные ограничения для относительной скорости сходимости при уменьшении Ах и А (см. разд. 3.1.7). Конечно-разност-ное уравнение сходится, если при Ах->0, решение [c.79]

Если учесть более благоприятные условия в смысле устойчивости и точности, то неявные уравнения предпочтительнее явных. Однако в случае кратковременных процессов и процессов с переменными краевыми условиями неявные уравнения теряют свои преимущества в отношении как устойчивости, так и точности по сравнению с явными, а метод расчета становится сложным вследствие неявности и необходимости решения системы алгебраических уравнений. Следует отметить, что если отношение шага интегрирования по времени неявного метода к соответствующему шагу интегрирования явного меньше трех, то количество алгебраических операций в неявном методе будет больше, чем в явном методе расчета. В этом случае явная схема расчета предпочтительнее неявной. Следует также иметь в виду, что в реальных условиях работа конструктивных элементов происходит при переменных краевых условиях. Постоянные условия теплообмена на практике встречаются крайне редко. Чтобы учесть изменение условий теплообмена, как правило, приходится принимать малый шаг интегрирования по времени. Кроме того, как было уже отмечено, численный метод будет нами использован для расчета процессов с малым временем теплового воздействия. В связи с указанным приходим к выводу, что для расчета нестационарных тепловых процессов в элементах конструкции тепловых двигателей явные конечно-разностные уравнения предпочтительнее неявных. Поэтому при изложении численных методов расчета основное внимание будет сосредоточено на явных уравнениях и на явном методе расчета. Неявный метод ргсчета изложен в 2-9. [c.39]

При выводе конечно-разностных соотношений наиболее удобной йвляется запись уравнений гидродинамики для идеальной, нетеплопроводной жидкости в виде интегральных законов сохранения массы, количества движения и энергии. В координатной системе, движущейся со скоростью и, они имеют вид [74. [c.86]

При выводе конечно-разностных уравненийрассматривалась пространственная область, расположенная между точками и Различные члены в уравнении имеют вполне определенный смысл при нахождении баланса нейтронов в этой области. Более подробно это показано ниже при рассмотрении конечно-разностных уравнений в сферической геометрии. Таким образом, конечно-разностное уравнение люжно рассматривать как уравнение баланса нейтронов для небольшой области в системе. В конечно-разностных уравнениях особенно важно обеспечить это свойство сохранения числа нейтронов, чтобы можно было прослеживать судьбу всех нейтронов деления при численных расчетах. В расчетах критичности баланс между производством и потерей нейтронов носит, конечно, решающий характер, следовательно, существенно, чтобы нейтроны искусственно не возникали или не исчезали. [c.111]

Проведенный в предыдущем разделе анализ" был основан на многогрупповом диффузионном приближении. Для большинства других приближений, включая и Рх-приближение, также проведен соответствующий математический анализ. Часто нельзя сделать никаких выводов, поскольку система конечно-разностных уравнений не будет соответствовать положительному оператору [23]. Тем не менее общая стратегия внешних итераций успеишо применялась в большинстве многогрупповых задач, включая, например, основанные на разложении в ряд по сферическим гармоникам или на методе дискретных ординат (см. разд. 5.4.3), в которых метод внешних итераций не имеет прочной математической основы. При таких условиях метод внешних итераций не всегда должен приводить к устойчивому численному решению тем не менее на практике он оказывается очень плодотворным. [c.154]

Чтобы прийти к определенному выводу, введем следующие дополнительные обозначения. Пусть — (точное) решение дифференциального уравнения в частных производных, 5 — точное решение конечно-разностного уравнения, 5°°= lim в итера- [c.267]

Наиболее распространены численные методы решения задач плановой геофильтрации, основанные на реализации сеточной модели, описываемой системой конечно-разностных уравнений (КРУ). Следуя общему ходу обоснования КРУ фильтрационного потока, представленному в 2 главы 4 раздела 1, приведем вывод КРУ планового нестационарного потока применительно к наиболее распространенной прямоугольной сетке, ориентированной по осям X м у, причем границы блоков проводятся посередине между узловыми точками (рис. 2.24,а). Рассмотрим баланс потока в блоке номера I, /, учитывая кроме расхода потоков, проходящих через границы блоков, еще расход площадного питания (инфильтрация, перетекания) Q =VJ Xi y , где w — модуль (интенсивность) площадного питания, а при наличии в блоке водотоков и скважин также расход Qв, поступающий из водотоков, и водоотбор из скважин с расходом Q . Балансовое уравнение составим, считая, что суммарное поступ- [c.150]

В гл. 3 было показано, что задачи теории упругости допускают как дифференциальную формулировку, так и вариационную об отыскании таких функций, которые сообщают некоторому функционалу Э стационарное значение, когда вариация ЬЭ = 0. В связи с применением ЭВМ в решении сложных задач прикладной теории упругости в последние два-три десятилетия было установлено, что конечно-разностные аппроксимации во многих случаях предпочтительнее сочетать именно с вариационной постановкой задачи. Это позволяет удобно алгоритмизировать все этапы расчета, избежать вывода дифференциальных уравнений в сложных случаях, упрощает формула ровку граничных условий [1,5]. [c.247]

Таким образом процесс численного решения нестационарной задачи заключается в повторении на каждом шаге по времени одной и той же процедуры и последовательном определении Wn n=i, до конечного момента времени У. Ясно, что все найденные значения температуры в узлах пространственно-временной сетки хранить в виде массива нецелесообразно, так как это потребует значительного увеличения объема памяти. Поэтому при численном решении нестационарных задач в виде массива хранят только те значения температур, которые необходимы для вычисления на текуш,ем шаге по времени, а в интересующие моменты времени найденные температуры выводят на печать. При решении одномерной задачи по неявной схеме можно обойтись для хранения температур одним массивом U длины N. Действительно, перед проведением /-го шага по времени в этом массиве находятся значения определенные на предыдущем шаге. Эти значения на /-м шаге нужны только для вычисления свободных членов системы разностных уравнений канонического вида (3.56)—(3.58). Массив свободных членов является одним из входных массивов для подпро- [c.103]

Вариацнонно-разностый метод расчета элементов конструкций ВВЭР. Разностные уравнения выводятся как физические уравнения для конечного элемента сетки [6, 7]. Решение задачи в перемещениях существенно облегчает выполнение граничных условий, поставленных как для перемещений, так и для напряжений, оно естественно при анализе многосвязных областей, так как дает возможность обойти вопросы единственности и однозначности. [c.55]

Для вывода разностных уравнений используется конечно-разностная аппроксимация с двойной сеткой. На исследуемую область в плоскости rz наносится прямоугольная сетка с шагом As, но оси г и шагом Mj по оси z (рис. 1, сетка пз сплошных линий). Вторая сетка — вспомогательная (рис. 1, сетка из пунктирных линий) наносится так, что линии ее проходят посредине между линиями основной сетки. Узел (г, ]) вспомогательной сетки сяжтаем сдвинутым относительно узла (i, /) основной сетки вправо и вниз. [c.104]

Нестационарный вариант теории свободного взаимодействия содержит механизм неустойчивости типа Рэлея, имеющий место в нелинейно возмущенных областях с точками перегиба мгновенных профилей продольной скорости. С данным утверждением, составляющим основной вывод [101], связана невозможность повысить точность конечно-разностных методов расчета обсуждаемых течений путем уменьшения шагов сетки. С одной стороны, сгущение узлов фактически вводит более короткие масштабы длин волн, которыми обладают быстро растущие собственные функции задачи, проявляющиеся как вычислительная неустойчивость. Спектральные свойства неустойчивых мод таковы, что нелинейная стадия их нарастания может сопровождаться появлением сингулярности в конечный момент времени. С другой стороны, предположение [105] о связи наблюдаемых в экспериментах [106-108] неустойчивостей в виде высокоинтенсивных импульсов, или "шипов" с самовозбуждающимися в областях с точками перегиба рэлеевскими модами находит определенное подтверждение в исследованиях [109]. С этой точки зрения отмеченное выше особое 1юведение решений асимптотических уравнений в сильно нелинейных областях в какой-то степени отражает реальные процессы разрушения ламинарного режима течения в пограничном слое. [c.8]

Дискретизация уравнения Пуассона завершается интегрированием уравнения (14.1) по локальной площади, окружающей каждый узел в области решения. Эти интегралы затем аппроксимируются для получения дискретного кднеч1ю-разностного уравнения относительно каждого узла. Локальная структура сетки, используемая при выводе одного из таких уравнений, приведена на рис. 14.4 для узла, не лежащего на границе области или на поверхности сред. На этом рисунке - потенциал в центральном узле, расположенном в точке (хо, уо), а и 4 - его значения в четырех соседних узлах. Перпендикуляры С , ттроходящие через середины отрезков, соединяющих соседние узлы с центральн гм, образуют прямоугольник S с треугольными подобластями 8 . Конечно-разностная аппроксимация в 356 [c.356]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...