Дискретный аналог дифференциального уравнения

Дискретный аналог дифференциального уравнения переноса 151, 154, 160, 163—165 [c.511]

Дискретный аналог дифференциальных уравнений представляет собой алгебраические уравнения, связывающие значение Ф в некоторой группе узловых точек. Эти уравнения получаются из дифференциальных уравнений, описывающих изменение Ф, и, следовательно, этот аналог несет ту же физическую информацию, что и исходные дифференциальные уравнения, В дискретный аналог входят значения Ф только в некоторых узловых точках, что является следствием кусочного характера выбранных профилей. При этом значение Ф в некоторой узловой точке оказывает влияние только на распределение Ф в окрестностях этой точки. Предполагается, что при очень большом числе узлов решение дискретного аналога сближается с точным решением соответствующего дифференциального уравнения. Возможные дискретные аналоги любого дифференциального уравнения не единственны, однако, предполагается, что в пределе очень большого числа узловых точек все типы дискретных аналогов дают одно то же решение. Возможные отличия в решениях являются следствием различных предположений о характере профиля зависимой переменной и способов получения аналогов. [c.93]

В итоге дискретный аналог дифференциального уравнения (2.22) представляется в виде [c.77]

В основе построения конкретного численного метода лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения (5.43) его дискретным аналогом —разностным уравнением вида [c.143]

Существует множество способов из дифференциального уравнения, подобного уравнению (2.1), получить систему дискретных аналогов — алгебраических уравнений, содержащих Т , , Г,,, в качестве переменных. В этом параграфе рассмотрим несколько путей получения таких дискретных аналогов и выберем один из них для дальнейшей работы. [c.28]

Как мы видели в гл. 2, дифференциальные уравнения вида (3.6) решаются преобразованием их в алгебраические уравнения, называемые дискретными аналогами. Эти уравнения содержат в качестве неизвестных значения ф в выбранных дискретных местоположениях, которые образуют сетку и называются расчетными точками. Вокруг каждой расчетной точки строится контрольный объем, и дискретные аналоги получаются интегрированием уравнения (3.6) по таким контрольным объемам. [c.75]

Математическое описание задач типа В и Г в общем случае включает уравнения динамики и возможные дифференциально-ин-тегральные выражения функционалов цели и ограничений. Однако с учетом (3.61) и (3.62) замена дифференциальных уравнений и интегралов их дискретными аналогами не обязательна. Достаточно дать аппроксимацию лишь вектор-функции Y(/) и исключить из рассмотрения управляющие переменные, зависящие от времени. [c.78]

При численном решении задачи этим методом нельзя получить решение во всех точках некоторой области пространства. Приближенное решение может быть найдено лишь в некотором конечном множестве точек. При численном решении дифференциальное уравнение необходимо заменить его конечно-разностным аналогом. С этой целью область непрерывного изменения аргумента следует заменить дискретной областью и вместо дифференциального оператора использовать так называемый разностный оператор уравнения. После этого приближенное численное решение дифференциального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. [c.88]

Выше при рассмотрении пленочной конденсации формулировка уравнений, описывающих движение и теплообмен в двухфазной системе, не вызывала принципиальных затруднений, поскольку обе фазы образовывали непрерывные потоки с одной отчетливо выраженной поверхностью раздела. Кипение представляет пример такого процесса, в котором компоненты потока могут быть в чрезвычайно сильной степени раздроблены на пузыри, капли, пленки. Для любого дифференциального объема каждого из таких конечных дискретных элементов системы безусловно справедливы рассматривавшиеся нами ранее обш,ие дифференциальные уравнения движения и теплопроводности. Точно так же для любой дифференциальной площадки на поверхностях раздела фаз справедливы рассмотренные ранее условия теплового и механического взаимодействия. Однако вследствие весьма большого числа дискретных элементов системы, их непрерывного возникновения, роста и деформации в процессе движения и теплообмена, весь такой двухфазный поток в целом должен характеризоваться некоторыми специальными вероятностными законами системы многих неустойчивых элементов. Здесь в известной степени можно провести аналогию с турбулентным течением однородной жидкости, в котором для каждого дифференциального элемента справедливо уравнение Навье-Стокса, а весь поток в целом подчиняется специальным (еще плохо известным) статистическим законам турбулентного течения. [c.342]

В этом случае дискретный аналог сохраняет отмеченное свойство исходного дифференциального уравнения. Если источниковый член зависит от искомой переменной Ф, то сумма Ф-н С не удовлетворяет исходному уравнению. Однако правило 3 и в этом случае не теряет своей актуальности, так как обеспечивает предельный переход к случаю, когда источниковый член постоянен. [c.155]

Наличие конвективного члена в дифференциальном уравнении существенным образом сказывается на выражениях для коэффициентов дискретного аналога (5.87). Важно также отметить, что диффузионный и конвективный члены уравнения [c.161]

Когда расчетная область содержит небольшое число расчетных точек, дискретные аналоги представляют собой грубую аппроксимацию дифференциального уравнения. При этом полученное численное решение обычно не совпадает с точным решением дифференциального уравнения. При увеличении числа расчетных точек численное решение становится более корректным и приближается к точному. Для многих задач использование даже небольшого числа расчетных точек приводит к решениям, которые достаточно точны для практических целей, что будет продемонстрировано в этой и других главах. [c.28]

Аппроксимация производных. Так как дифференциальное уравнение содержит производные, можно получить дискретный аналог заменой производных подходящей аппроксимацией. Например, вторая производная в уравнении (2.1) может быть аппроксимирована в расчетной точке с индексом / согласно рис. 2.1 как [c.28]

Обсуждение метода контрольного объема. В книге будет использоваться метод контрольного объема для получения дискретных аналогов. Основная причина этого заключается в том, что дискретные аналоги, полученные этим методом, являются не только формальной математической аппроксимацией, но и имеют ясный физический смысл. Интересующие нас дифференциальные уравнения представляют собой законы сохранения. Например, уравнение теплопроводности основано на законе сохранения энергии. В дальнейшем мы используем законы сохранения количества движения при течении в каналах и сохранения массы при течениях в пористых средах. Когда дискретные уравнения получены методом контрольного объема, они представляют собой законы сохранения энергии, количества движения, массы для каждого контрольного объема. Из этого следует, что полученное численное решение удовлетворяет законам сохранения этих величин во всей расчетной области. [c.31]

На простом примере в этом параграфе показано, что разные методы получения дискретного аналога приводят к одному и тому же конечному уравнению. Но это случается не всегда. Здесь мы использовали очень простое дифференциальное уравнение и выбрали частный случай предположения о профиле для метода контрольного объема. Для более сложных дифференциальных уравнений или для других предположений о форме профиля итоговые дискретные аналоги могут различаться в случае использования рядов Тейлора, метода контрольного объема и других способов. Решение, полученное с помощью метода контрольного объема, всегда будет сохранять баланс (энергии, количества движения и др.) во всей расчетной области, чего нельзя сказать о решениях, найденных другими методами. [c.31]

Методы граничных элементов (МГЭ) — нетрадиционный термин, который в последнее время появился в зарубежной литературе для обозначения совокупности быстро развивающихся и успешно применяемых универсальных численных методов решения теоретических и прикладных задач. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР). применение которых требует дискретизации всей области). Естественно, что реализация такой возможности в МГЭ предусматривает предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области (или ее части). Эти соотношения, по существу, либо представляют собой граничные интегральные уравнения, либо выражаются некоторыми функционалами (они могут и не выписываться явно, а сразу заменяться их дискретными аналогами). В первом случае МГЭ сводятся к методам граничных интегральных уравнений (ГИУ), во втором — к вариационным методам. [c.5]

Метод конечных разностей базируется на возможности аппроксимации дифференциальных операторов, входящих в дифференциальное уравнение, более простыми локальными алгебраическими операторами, которые действуют в системе узлов, заранее выбранных в области. МКЭ основывается на представлении самой области набором элементов среды (конечных элементов), совокупность которых составляет дискретный аналог исследуемой области, т. е. аппроксимирует реальную систему. МГЭ в отличие от МКР и МКЭ, по сути, не рассматривает дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они получены, а своим первым и основным шагом решения содержит преобразование исходных дифференциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений. [c.48]

Пуанкаре установил, что точки фазового пространства автономной системы дифференциальных уравнений, соответствующие невырожденному периодическому рещению, являются критическими для любого первого интеграла системы (см. 1, гл. 3). Дискретным аналогом этого утверждения является [c.120]

Таким образом, процедура численного решения задач ЕК состоит из трех основных этапов. Сначала на выбранной сетке производится аппроксимация дифференциальных уравнений и краевых условий, в результате которой строится разностная схема — дискретный аналог исходной задачи. Затем выбирается метод решения полученной нелинейной разностной задачи и конструирование вычислительного алгоритма завершается. Заключительный этап — программная реализация этого алгоритма на ЭВМ. [c.28]

Схеме чехарда присущи также другие ошибки и аномалии. Дифференциальное уравнение (3.144) является уравнением первого порядка по пространственным переменным и по времени для всех л > О, > О решение полностью определяется заданием начальных условий (х, 0) и граничных условий (0, О-Но для начала вычислений при помощи дискретного аналога (3.145) требуется два набора начальных условий, так как для расчета значений на ( г + 1)-м слое необходимы значения на п-и и (п — 1)-м слоях. [c.92]

В заключение выясним, как можно определить показатели Ляпунова для дискретного отображения. Будем действовать по аналогии с разд. 1.14.6, в котором мы ввели понятие показателей Ляпунова для дифференциальных уравнений. [c.84]

В этой главе мы рассмотрим дискретные отображения с шумом, о которых упоминалось во введении. В первых разделах мы покажем, каким образом результаты, полученные нами ранее для дифференциальных уравнений, обобщаются на дискретные отображения, а в разд. 7.7—7.9 — как обобщается принцип подчинения. Затем читатель познакомится с дискретным аналогом уравнения Фоккера—Планка (разд. 10.2—10.4), и в заключение мы введем интегралы по траекториям и покажем, каким образом с их помощью можно найти дискретный аналог решений временного уравнения Фоккера—Планка. [c.349]

Как отмечалось выше, моделирование температурных полей на / С-сетках основано на аналогии между дифференциально-разностной аппроксимацией линейного уравнения нестационарной теплопроводности (время — непрерывно, пространство — дискретно) и выражением первого закона Кирхгофа для электрических токов, сходящихся в соответствующем узле / С-сетки (см. рис. 5, г). [c.42]

Этот метод для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, ко более физичен по существу. Метод контрольного объема наиболее ярко освещает процесс численного моделирования . Метод контрольного объема достаточно продуктивен для учебных целей. Основная идея этого метода заключается в разбиении расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с другом контрольные объемы, чтобы каждьш узел расчетной сетки содержался в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по каждому контрольному объему. При вычислении интегралов используются кусочные профили, которые описывают изменение переменной между узлами, В результате такого интегрирования получается дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких соседних узлах. [c.94]

Б котором производная (dxldt)k определяется непосредственно из дифференциального уравнения, описывающего x t) в момент tk, например из уравнения (3.38). Используя совместно (4.65) и (3.38), можно последовательно вычислять значения x t) и ее производной во всех узловых точках, если заданы начальное условие и дискретный аналог y t) в тех же узловых точках. [c.109]

Конечно-разностные методы основаны на замене дифференциальных уравнений их дискретными аналогами, представляющими собой алгебраические уравнения, связывающие значения искомой функции в некоторой группе узловых точек. Система алгебраических уравнений в дпскретргой форме отображает непрерывную информацию, содержащуюся в решении исходной системы дифференциальных уравнений, которая для широкого спектра стационарных прикладных задач данного класса имеет 1зид [c.184]

Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения, можно получить его дискретный аналог. Вывод с помощью рядов Тейлора сравнительно просг, но менее гибок и не способствует пониманию физического смысла членов уравнения. Возможны большие ошибки для случаев экспоненциального изменения Ф. [c.93]

Решение физических задач зависит не только от вида дифференциальных уравнений, но и от граничных условий. Для области, изображенной на рис. 2.7, имеем дискретный аналог типа (2.42) для каждого контрольного объема, содержащего внутренюю (т.е. находящуюся внутри расчетной области) расчетную точку. Для решения этой системы уравнений необходима дополнительная информация [c.39]

Обращение с нелинейностью. Мы уже видели, что задачи, решаемые с помощью ONDU T, могут быть нелинейными. В этом случае коэффициенты в дискретном аналоге зав 1сят от ф. Так как математическое описание задачи может включать несколько взаимосвязанных дифференциальных уравнений, то коэффициенты для одного ф могут зависеть от некоторых других ф. [c.94]

Важным требованием црп численном моделпровапнп негладких или ударно-волновых динамических процессов является выполнение дискретных аналогов интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии и термодинамического неравенства (второго закона термодинамики) [20, 161, 192], в частности построение разностных схем, аппроксимирующих дивергентные формы дифференциальных уравнений в частных производных [74, 75]. Эти требования входят в понятие консервативности разностных схем и полной консервативности [46, 47, 101, 162], при которой для копечио-разпостпой или дискретной системы также выполняются определенные эквивалентные преобразования, аналогичные дифференциальным преобразованиям системы уравнений в частных производных. [c.27]

Говоря о статистическом характере теории турбулентности, ее часто сравнивают с кинетической теорией газов, изучающей системы из очень большого числа взаимодействующих между собой молекул. Это сравнение оправдано в том смысле, что в обеих указанных теориях точное описание эволюции исследуемой механической системы теоретически безнадежно, а практически было бы бесплодным. Однако надо иметь в виду, что между статистической механикой молекулярных ансамблей, изучавшейся Гибсом, Больцманом и другими исследователями, и статистической гидромеханикой вязкой жидкости существует и большое принципиальное различие. Оно связано, в первую очередь, с тем, что суммарная кинетическая энергия совокупности движущихся молекул не меняется во времени (во всяком случае при простейших предположениях о молекулярных взаимодействиях, обычно принимаемых в кинетической теории газов), тогда как при движении реальной жидкости ее кинетическая энергия всегда диссипируется в теплоту под действием вязкости. Менее существенным, но также не безразличным оказывается то, что молекулярные ансамбли дискретны по своей природе и их временная эволюция описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как в гидромеханике речь идет о движениях непрерывной среды, описываемых уравнениями в частных производных. В результате аналогия с кинетической теорией газов сравнительно мало помогает построению теории турбулентности, облегчая лишь самое первоначальное понимание идеи о статистическом подходе к физической теории. [c.9]

Способам выбора коэффициентов турбулентной диффузии для конкретных задач и методам решения соответствующих полуэмпирических уравнений турбулентной диффузии посвящалось очень большое количество работ советских и зарубежных авторов. Большая часть из них касается плоскопараллельных течений, в которых обычно коэффициенты Ки можно считать функциями одной лишь вертикальной координаты 2, Одной из первых работ, в которой полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии применялось к решению метеорологических задач (касающихся приземного слоя воздуха), была работа А, А. Дородницына (1941), предположившего, что К (г) 1 — ехр —г/Ь). Позже Д. Л. Лайхтман (1944, 1947 и др.) широко использовал допущение о том, что в приземном слое атмосферы профиль ветра й ) и коэффициенты турбулентной диффузии можно аппроксимировать степенными функциями от высоты 2. Укажем также на обширную работу по полуэмпирической теории турбулентной диффузии А. С. Монина (1956), в которой устанавливается статистический смысл полуэмпирического уравнения диффузии (являющегося фактически дифференциальным аналогом разностного уравнения, правильно описывающего эволюцию последовательности координат диффундирующей частицы в дискретные моменты времени, разделенные интервалами, превышающими характерный лагранжев масштаб времени) и даются формулировки и методы решения основных задач для этого уравнения. [c.479]

Описание динамической системы упрощается в случае дискретного времени, потому что отображение, порождающее систему с дискретным временем, нередко можно задать явно, обычно посредством некоторых формул. Напротив, система с непрерывным временем обычно задается инфинитези-мально (например, посредством дифференциальных уравнений), и восстановление динамики по такому описанию системы включает процесс, представляющий собой аналог интегрирования. В этом и следующем параграфах мы кратко обсудим этот локальный (по времени) аспект теории динамических систем с непрерывным временем и некоторые простые взаимоотношения между случаями дискретного и непрерывного времени. [c.24]

Однако аппроксимация линейных дифференциальных уравнений акустики конечно-разностными соотношениями — операция не вполне законная. В самом деле, как дифференциальные уравнения газодинамики, так и разностная схема являются некоторыми самостоятельными математическими моделями сплошной среды и протекающих в пей процоссоп. Несмотря на то, что обо эти модолп описывают одпу п ту жо физическую реальность, разностные схемы, определяющие дискретную модель, имеют спои специфические особенности. Так, в гл. II показано, что различные во.чможные разностные схемы не эквивалентны, многие из них порождают своеобразные эффекты разностного происхождения, не имеющие аналога в реальном случае, например фиктивные источники энергии. На грубых сетках, которые и используются иа практике, такая разностная физика может заметно исказить изучаемое явление. [c.157]

В качестве разностного аналога уравнения (10.1) в данной работе используется схема Кранка — Николсона, наиболее часто применяемая при численном решении дифференциальных уравнений параболического типа. В этой схеме дискретное представление осуществляется в момент At(n + 1/2), где п - номер шага по Времени, т. е. в момент между двумя временными слоями с известными и неизвестными искомыми значениями функций. Преимуществом схемы Кранка - Николсона является ее безусловная устойчивость, не зависящая от соотношения величин Ах и At, где Ах и At — дискретные шаги по пространству и времени соответственно. При этом, однако, неизвестные в полученной системе уравнений содержатся неявно, что обусловливает либо одновременное их вычисление, либо вычисление с применением итеративных методов, которые требуют больших временнь1х затрат по сравнению с явными схемами. Однако это неудобство, типичное для всех неявных схем, компенсируется выбором больших дискретных шагов по времени, величина которых зависит от требуемой точности. [c.283]

Легко видеть, что приближенное решение вида (1.10) удовлетворяет граничным условиям (1.2). После подстановки (1.10) в (1.1) и соответствующих операций проектирования придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений порядка N = относительно функций 0у. Коэффициенты j/y однозначно выражаются через неизвестные 0,у из первого уравнения системы (1.1). Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений при всех значениях параметров сохраняет свойство косимметричности, а сама косимметрия определяется дискретным аналогом выражения (1.4). [c.55]

Обращая в предыдущих двух пунктах внимание лишь на особенности теплоемкости в точке фазового перехода, мы оставляли в стороне вопрос о характерном поведении других термодинамических величин в области 0 6о, особенности которого в конечном счете определяются структурой термодинамического потенциала в этой области и поэтому не изолированы, а связаны друг с другом (примером такой связи может служить условие Эренфеста к дифференциальному уравнению кривой фазового равновесия 2-го рода). Прежде чем перейти к изложению общепринятой теперь терминологии в обозначении этих особенностей, обратим внимание на существование некоторой аналогии фазовых переходов Я-типа с критическими явлениями в системе типа газ—жидкость, особенно ярко проявившейся при обнаружении совпадения (конечно, в определенных пределах) степенных показателей, которыми характеризуются особенности этих систем вблизи Я-точки или вблизи критической температуры. На микроскопическом уровне эта аналогия находит свое оправдание в совпадении рассматриваемых дискретных моделей ферромагнетиков, сплавов и т. д. (дискретность связана как с наличием фиксированной кристаллической решетки, так и с квантованием проекции магнитного момента в каждом ее узле или с целочисленностью чисел заполнения узлов решетки атомами разного сорта) с теоретическими моделями га- [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...