Простейшие задачи о кручении

Простейшие задачи о кручении [c.300]

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ [c.301]

S 9.9. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ [c.303]

Упрощение формул для координат центра изгиба. Формулы для координат центра изгиба, как это показал В. В. Новожилов в своем курсе теории упругости ), могут быть упрощены. Это упрощение состоит в том, что интегралы, содержащие функции изгиба и ф , можно выразить через интегралы, содержащие функцию кручения, и, таким образом, для определения координат центра изгиба достаточно решить более простую задачу о кручении стержня, нежели задача об изгибе стержня. Формулы для у1 и XI в этом случае имеют вид [c.344]

Учебник для вузов, в которых сопротивление материалов изучается по полной программе. Книгу в целом отличает глубоко продуманная последовательность изложения - от частного к общему - и разумное повторение материала, позволяющее глубже вникнуть в существо вопроса. В первой части дается традиционный курс сопротивления материалов в элементарном изложении. Во второй части приводятся дополнения по некоторым вопросам, рассмотренным в первой части, а также рассматриваются задачи, требующие применения методов теории упругости. Таковы, например, задачи о кручении стержней, о местных напряжениях, об изгибе пластинок, о кручении тонкостенных стержней. Для возможности более обоснованной трактовки таких задач в книгу включен раздел, посвященный основным уравнениям теории упругости и некоторым наиболее простым задачам этой науки. [c.234]

В случае узкого прямоугольного поперечного сечения простое решение задач о кручении можно получить с помощью мембранной аналогии. Пренебрегая влиянием коротких сторон прямоугольника и предполагая, что поверхность слегка прогнувшейся мембраны является цилиндрической (рис. 160,6), можно определить прогибы мембраны из элементарной формулы для параболической кривой прогибов гибкой нити при равномерной поперечной нагрузке [c.313]

Несколько задач о телах вращения, деформируемых нагрузками, симметричными относительно оси, встречались в предыдущих главах. Простейшими примерами являются круглый цилиндр под действием равномерного внешнего давления ( 28) и вращающийся круглый диск ( 32). Это примеры осесимметричных задач, в которых отсутствует кручение. В противоположность им мы рассматривали также кручение кругового цилиндра (см. задачу 2, стр. 354), в которой касательные напряжения зависят только от одной цилиндрической координаты г. В задаче о кручении круглых валов переменного диаметра ( 119) не равные нулю компоненты напряжения т е и также являются функциями только г и 2 и не зависят от 0. [c.383]

В задачах механики часто встречаются случаи, когда решения совершенно различных по физической сущности задач сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными xi, и yi из одной задачи существует та же зависимость, что и между переменными Х2 и у2 из другой задачи. Тогда говорят, что переменная 12 является аналогом переменной 11, а J/2 аналогом переменной у. Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными xi и j/i, а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости 12 от J/2- В таком случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит дело с задачей о кручении. Оказывается, что, независимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении стержня сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой по контуру того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. [c.129]

В задачах механики часто встречаются случаи, когда совершенно различные по физической сущности задачи сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными лс, и г/, одной задачи суш,ествует та же зависимость, что и между переменными и другой задачи. Тогда говорят, что переменная х. является аналогом переменной Xt, а yt — аналогом переменной г/,. Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными Xi и ух, а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости х от у . В таком случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче. Так, а частности, обстоит дело с задачей о кручении, Оказывается, что, независимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении бр ч а сводится к тому же дифференциальному уравнению, что н задача о равновесии пленки, натянутой [c.108]

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях внутренние усилия приводятся только к крутящему моменту. Такое кручение называют свободным или чистым. Величину крутящего момента определяют методом сечений. Если выделить элемент двумя сечениями, как показано на рис. 11.3, то можно убедиться, что имеет место взаимный поворот параллельных сечений относительно общей, нормальной к ним оси. Схема деформации оказывается аналогичной чистому сдвигу. Наиболее простым является решение задачи о кручении стержней кругового профиля. [c.181]

Теперь изучим изгиб — крайне важный для инженера-строителя вид деформации. Возьмем простейший случай, а именно, цилиндрический стержень (например, прокатная стальная балка), подверженный действию моментов на концах, вызывающих изгиб, и свободный от других видов усилий. Мы установим, что в этом случае не нужно накладывать ограничения (как в задаче о кручении) на форму поперечного сечения. [c.208]

Во всех случаях, когда сумма обеих вторых производных функции, при помощи которой выражается уравнение контура, дает постоянную величину, можно получить очень простое решение задачи о кручении, положив функцию напряжений F равной произведению / на некоторую постоянную. Этот случай имеет место как раз и в зоке рассмотренном случае эллиптического сечения, для которого решение, найденное раньше другим путем, можно было бы быстро вывести только что предложенным приемом. В рассматриваемом случае треугольного сечения мы должны положить [c.60]

Иногда можно угадать вид выражений для некоторых из шести составляющих напряжения, и если при этом удается найти остальные составляющие в такой форме, что все указанные выше уравнения будут удовлетворены, то это означает, что выражения, первоначально представляющиеся просто догадкой, являются частью точного решения задачи. Метод решения, в котором сначала вводятся допущения относительно некоторых составляющих напряжения, а затем остальные составляющие определяются таким образом, чтобы удовлетворялись все уравнения теории упругости, называется полуобратным методом и успешно используется для решения ряда важных задач. Ниже мы покажем, как этот метод применяется к задаче о кручении призматического стержня. [c.589]

Так как функция f внутри контура перпендикулярного сечения удовлетворяет уравнению (8) и имеет известное значение на самом контуре, то определение ее представляет решение задачи о распределении температуры в бесконечно длинном цилиндре по данной температуре на его поверхности она решается с помощью тригонометрических строк, когда найдены изотермические координаты, соответствующие данному контуру. Но кроме этого, можно также пользоваться обратным приемом решения вопроса, который употреблял Сен-Венан в своей задаче о кручении призм, аналогичной нашей гидродинамической задаче. Этот прием заключается в предварительном задании функции удовлетворяющей уравнению (8), и в подборе входящих в нее параметров и постоянного в уравнении (10) таким образом, чтобы полученный контур имел простую форму. [c.199]

НИЯ призматического бруса. Задачи о кручении призматического бруса решены к настоящему моменту для весьма разнообразных случаев поперечных сечений. Пользуясь указанной аналогией, можно весьма просто получить и решения соответственных задач о движе НИИ вязкой несжимаемой жидкости. [c.121]

Постановку контактных задач для гиперупругих тел, подверженных однородной начальной деформации, изложил А. Н. Гузь в работе [15] для сжимаемых материалов и в работе [16] для несжимаемых материалов при произвольной форме упругого потенциала. В этих работах предложены методы решения отдельных классов задач. В качестве иллюстрации рассмотрены контактные задачи о кручении для начально-деформированного полупространства, приведены простые соотношения, связывающие момент, приложенный к штампу, с углом его поворота. [c.235]

Этот принцип Сен-Венан применил для приближенного решения задачи о кручении и изгибе простых брусьев. В задаче о кручении бруса (подробно рассматриваемой в гл. 7) он заменил действие сосредоточенного крутящего момента в концевых сечениях бруса некоторым частным непрерывным распределением касательных напряжений, дающих в качестве суммарного момента, приложенного на концах бруса, тот же крутящий момент. [c.295]

Рассмотрим простой пример применения метода функций комплексной переменной к задаче о кручении бруса. Пусть сечение бруса ограничено кардиоидой, заданной уравнением [c.418]

Проверим, возможна ли эта система напряжений с точки зрения теории упругости. Так как напряжения (5.4) являются функциями не выше первой степени от координат точки, то данная задача относится к простейшим поэтому придется только удовлетворить уравнениям (I) и проверить по условиям на поверхности (П), соответствуют ли напряжения (5.4) условиям задачи о кручении. Подставляя данные из уравнений (5.4) в уравнения (I), найдем [c.108]

Функция напряжений гр должна обращаться в нуль на всех четырех сторонах поперечного сечения х О, х = у = - Ъ/2. Мы будем искать решение, т. е. функцию -ф, в виде простого ряда, потребовав, чтобы эта функция заранее обращалась в нуль на двух противоположных сторонах сечения неизвестные постоянные определим из условий на двух других сторонах, подобно тому как решается задача о кручении изотропного стержня прямоугольного сечения ([20] или [22]). [c.278]

Если конус обладает цилиндрической анизотропией, но является непрерывно-неоднородным, т. е. модули сдвига его — непрерывные дифференцируемые функции координат г и 2, то можно указать ряд случаев, когда решение задачи о кручении находится сравнительно просто. Приведем два таких случая (решения для них имеются в нашей книге [22]) [c.355]

Как известно (гл. 4), задача о распределении напряжений в анизотропном теле вблизи цилиндрического выреза эллиптического или кругового сечения решена сравнительно простым методом, с помощью конформного отображения и рядов. Получено решение для тела, находящегося в условиях обобщенной плоской деформации и плоской задачи, для нагрузки общего вида, и доведены до конца решения частных задач. Для выреза с сечением в виде эллипса или круга найдено строгое решение, а для вырезов иной формы — приближенное, если вырез можно рассматривать, как мало отличающийся в сечении от эллиптического или кругового или в случаях, когда анизотропию можно считать слабой (см. [21], гл. 7, 8). Решено уже довольно большое число задач о кручении тела с включением или вырезом (см. [21], гл. 8, 76). [c.396]

Использованный в этом и предыдущем параграфах прием произвольного выбора гармонической функции ф и выяснения затем, для какого контура поперечного сечения стержня функция дает решение задачи о кручении, на первый взгляд представляется мало эффективным, поскольку исследователь лишен при этом возможности распоряжаться по своему усмотрению выбором контура поперечного сечения. Однако данный прием весьма полезен, поскольку позволяет весьма просто и быстро обследовать большой круг задач теории кручения и получить сведения, относящиеся к достаточно широкому классу поперечных сечений. Этот прием был использован еще Сен-Венаном, который последовательно рассмотрел гармонические функции, являющиеся вещественными или мнимыми частями аналитических функций комплексного переменного z , z , z, z , и показал, что уже этот простейший класс функций позволяет решить задачу кручения для обширного круга контуров поперечного сечения. В частности, контур, рассмотренный в данном параграфе, принадлежит к семейству контуров, которые могут быть исследованы, исходя из аналитической функции z - k. [c.262]

В задаче о кручении стержня важными величинами являются производные функции ф, поскольку они просто связаны с напряжениями сдвига [c.98]

Наиболее простой оказывается задача о кручении оболочки к = О, индекс к—верхний см. табл. 3). Значительно сложнее задача об осесимметричной деформации оболочки (к = О, индекс к—нижний см. табл. 3). Для этого случая система уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочки, сводится к системе двух разрешающих уравнений (с одинаковой структурой левых частей), впервые введенных в теорию швейцарским ученым Е. Мейсснером. [c.213]

Построено замкнутое решение задачи об упруго-пластическом кручении цилиндрического стержня овального поперечного сечения. Рассмотрен ряд задач о жестко-пластическом кручении призматических стержней различных поперечных сечений и круговых, стержней различных продольных сечений. Приведено весьма простое решение задач о кручении конического стержня из упрочняющегося материала. [c.4]

Рассмотренная выше задача о кручении круглого конического стержня с углом конусности а имеет простое решение [103] в сферической системе координат гбф, центр которой находится в вершине конуса О (рис. 88), при степенном условии упрочнения [c.166]

Выявление рациональных типов профилей, хорошо работающих при совместном действии изгиба и кручения, — задача в достаточной мере сложная. Решение ее зависит от многих факторов величины, характера и места приложения нагрузки, формы сечения, типа конструкции, в состав которой входят в качестве элементов стержня, о которых идет речь, габаритов и т. п. Если можно назвать сравнительно простой задачу о выборе рационального типа профиля, работающего только на косой изгиб, то исследование еще одновременной работы его на стесненное кручение значительно усложняет эту задачу, потому что указанные выше факторы тесно переплетаются между собой. [c.200]

Зная упругие свойства тела, мы всегда сможем определить деформации, которые возникают в теле при действии заданных внешних сил, т. е. найти форму, которую принимает тело. Это — задача о равновесии упругого тела. Мы определяем деформации тела, при которых силы, возникающие в теле, уравновесят внешние силы. Простейшие задачи этого типа мы и решали, когда рассматривали однородные деформации растяжения и сдвига. В случае более сложных деформа-р ций (кручения, изгиба и т. д.) задача ста- [c.480]

Так, более подробно разобраны понятия тензоров напряжений и деформаций и их разложение на шаровой тензор и девиатор, добавлен закон Гука в тензорной форме. В новой, V главе рассматриваются простейшие задачи теории упругости чистый изгиб прямого призматического стержня и кручение круглого стержня постоянного сечения. В главе VI добавлен расчет балки-стенки. Далее добавлены следую-ш,ие параграфы Понятие о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство , Понятие о расчете гибких пластинок , Понятие о расчете гибких пологих оболочек . Переработан раздел о математическом аппарате теории пластичности, добавлено понятие о теории пластического течения, дано понятие о несущей способности балок и плит на основе модели жесткопластического материала. Вновь написаны главы ХП1 и XIV об основных- зависимостях теории ползучести и даны простейшие задачи теории ползучести. [c.3]

В предыдущих главах были подробно рассмотрены простейшие виды деформирования стержней растяжение и сжатие, кручение, плоский прямой изгиб. Настоящая глава посвящена решению задач о сложном сопротивлении стержней, представляющим собой комбинации простейших видов деформирования. Примерами сложного сопротивления являются растяжение с изгибом, изгиб в двух плоскостях, изгиб с кручением и т. д. [c.235]

Изложив общую теорию, авторы применяют свои уравнения в ряде частных случаев. Они показывают, каким образом единственную входящую в их уравнения упругую постоянную можно получить опытным путем из испытаний на растяжение или на равномерное сжатие. Далее, они ставят перед собой задачу о полом круговом цилиндре и выводят формулы для напряжений, вызываемых равномерным внутренним или внешним давлением. Эти формулы используются для вычисления необходимой толщины стенок цилиндра при заданных значениях давлений. В своих исследованиях они пользуются теорией наибольшего напряжения, но предусмотрительно обращают внимание на то, что каждый элемент цилиндра находится в условиях двумерного напряженного состояния и что предел упругости, определенный из испытания на простое растяжение, может оказаться неприменимым к этому более сложному случаю. Следующими вопросами, разобранными в этой части их работы, являются задачи о простом кручении круглого стержня, о сфере, подвергающейся действию сил тяжести, направленных к ее центру, и о сферической оболочке, нагруженной равномерно распределенным внутренним или наружным давлением. Для всех этих случаев авторами выводятся правильные формулы, которые с тех пор нашли разнообразные применения в технике. [c.142]

Для приближенного решения задач о кручении заменим вышеописанную задачу вариационного нсчнслення простой задачей отыскания минимума некоторой функции. Возьмем функцию напряжений в виде ряда [c.323]

Точные решения задач изгиба известны лишь для немногих частных случаев, в которых поперечные сечения имеют некоторые простые формы. Для целей практики важно иметь способы решения таких задач для любой заданной формы поперечного сечения. Этого можно достичь с помощью численных расчетов, основанных на методе конечных разностей, как показано в Приложении I, или экспериментальным путем с помощью глетода мыльной пленки ), аналогично способу, использованному для решения задач о кручении (см. стр. 309). Для теоретического обоснования метода мыльной пленки воспользуемся уравнениями (181), (182) и (183). Приняв [c.377]

Для некоторых простых областей реше-Кручение стержня круглого ние этой задачи известно. Дадим, на-поперечпого сечения пример, решение задачи о кручении стер- [c.360]

Ниже мы рассмотрим задачу о кручении однородного упругого стержня произвольного поперечного сечения под действием крутящего момента, создаваемого заданными распределениями касательных напряжений на свободных торцах стержня. Один из возможных подходов состоит в трактовке этой задачи как плоской задачи двумерной теории упругости (каковой она, очевидно, и является) и в использовании алгоритмов, которые будут приведены в гл. 4. Однако Сен-Венан показал, что задача о кручении стержня как одна из простейших задач теории упругости может быть сведена к одному гармоническому уравнению в отличие от обычно получающихся в (двумерной) теории упругости более сложных бигар-монических уравнений. [c.90]

Пример относится к ранее упомянутому случаю равностороннего треугольни-к а. Этот случай представляет вместе с тем и единственный пример сечения, ограниченного прямыми линиями, для которого задача о кручении решена точно и решение получено в простой замкнутой форме. [c.60]

Эта аналогия имеет наиболее простое и практически наиболее важное применение при приближенном решении задачи о кручении сечения в форме вытянутого прямоугольника. Для этого случая мы в предыдущем параграфе уже вывели приближенные формулы совсем другим путем но при этом мы пришли к заключению, что эти формулы нельзя считать достаточно точными. Выражения для функции напряжений, примененные выше, для предельного случая узкого прямоугольника подходят довольно плохо, и их следовало бы улучшить путем виедения большего числа параметров, что, однако, привело бы к длинным вычислениям. Зато как раз в предельном случае узкого прямоугольника для получения достаточно близкого к точному приближенного решения особенно пригодна гидродинамическая аналогия. [c.67]

В задачах механики часто встречаются случаи, когда различные по физической сущности задачи сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Бывает, что в одной из таких задач трудно найти решение, а в другой можно дать простое и наглядное толкование решения. Поэтому установление аналогии оказывает большую помошь при решении первой задачи. Так, например, задача о кручении бруса с сечением произвольной формы сводится к такому же дифференциальному уравнению, как и задача о равновесии пленки, натянутой по контуру рассматриваемого сечения под действием равномерно-распределенного давления. Напряжение при кручении оказывается пропорциональным углу, образованному касательной к поверхности пленки с контуром сечения. Характер деформации пленки под действием давления всегда можно представить хотя бы приблизительно. Следовательно, всегда имеется возможность представить и закон распределения напряжений при кручении бруса с произвольной формой сечения. При помощи пленочной аналогии можно получить не только качественные, но и количественные соотношения. Для этого используются специальные приборы. [c.150]

Сформулированный в конце 2 закон суперпозиции может быть обобщен ввиду линейности дифференциального уравнения (15) и граничных условий для перемещений и усилий. А. именно, для данного тела в данной естественной конфигурации любая линейная комбинация решений также является решением. Поэтому весьма общие задачи могут быть разбиты на более простые задачи, которые можно решить по отдельности, и затем сложение решений этих более простых задач друг с другом даст искомое решение. Например, для того чтобы исследовать задачу о совместном кручении и растяжении цилиндра, мы решаем задачи о кручении й растяжении отдельно и затем складываем решения в силу закона суперпозиции решение комбинированной задачи ёсть сумма решений двух отдельных задач. Таким образом, кручение и растяжение не оказывают влияния друг на друга, в рамках классической теории бесконечно малых деформаций. В частности, бесконечно малое растяжение не изменяет модуль кручения. Как мы видели при рассмотрении задачи. Кулона в Vin.5, ника сое подобное разделение воздействий невозможно, если либо угол закручивания, либо растяжение велики. Хотя закон суперпозиции свидетельствует об аналитической простоте и удобстве классической теории бесконечно малых деформаций, в равной мере oii свидетельствует 66 ограниченности этой теории как модели механического поведения материалов. [c.300]

В задаче о кручении стержня важными величинами являют производные функц . р, поскольку они просто связаны с напр [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...