Малые колебания системы около положения устойчивого равновесия

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ [c.387]

Составим уравнения малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. Так как коэффициенты a,, постоянны, то [c.548]

Уравнение (29.3) является уравнением s-й степени относительно k из этого уравнения можно определить все частоты свободных колебаний системы kj (/ — 1, 2,. .., s), так как k] (/ = 1, 2,. .., s) — корни уравнения частот — вещественные и положительные величины (рассматриваются малые колебания системы около положения устойчивого равновесия). [c.141]

Общий случай малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. В общем случае мы будем рассматривать [c.551]

Малые колебания системы около положения устойчивого равновесия. Рассмотрим малые колебания системы около положения ее устойчивого равновесия. Ограничиваясь лишь малыми движениями системы, будем предполагать, что величины qu q , , qh, q, q ,. .., q остаются во все время движения настолько малыми, что при разложении в степенные ряды живой силы и силовой функции можно ограничиться лишь первыми членами разложения. Разложим в ряд коэффициенты в выражении живой силы [c.559]

Уравнение (20.20) называется дифференциальным уравнением малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. Для получения этого уравнения не обязательно прибегать к уравнениям Лагранжа второго рода — можно пользоваться любыми другими методами, например, общими теоремами динамики. Важно, чтобы в результате получилось линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Однако изложенный здесь метод является общим, одинаково пригодным как для простых, так и для сложных систем с несколькими степенями свободы. [c.466]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ [c.28]

Общий метод исследования устойчивости упругих систем состоит в рассмотрении совокупности движений, смежных с невозмущенными. Этот метод тесно связан с общей теорией устойчивости движения и называется динамическим методом. При рассмотрении устойчивости форм равновесия уравнения возмущенного движения обычно линеаризуют. Получаемые таким путем уравнения описывают малые колебания системы около положения невозмущенного равновесия. Отсюда и другое название — метод малых колебаний (Е. Л. Николаи, 1928, 1929). [c.334]

Возвратимся к теории малых колебаний системы около положения ее устойчивого равновесия. Сначала рассмотрим свободные колебания системы в консервативном силовом поле. В этом случае движение системы полностью определяется выражениями ее кинетической и потенциальной энергий. Как было показано в 88, кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде положительно определенных квадратичных форм [c.231]

Дифференциальные уравнения малых свободных колебаний консервативной системы около положения устойчивого равновесия можно составить теперь, применяя метод кинетостатики. Для этого следует силы Fs заменить силами инерции (Fs = = —mVs)] выражения обобщенных сил Qi по (72) при этом [c.574]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Колебания около положения равновесия. Свой метод Лагран>1. с особо выдающимся успехом применил к теории малых колебаний механической системы около положения устойчивого равновесия. Правда, применяемые там уравнения описывают, движение приближенно, но, несмотря на это. представляют большой интерес, поскольку, как уже отмечалось ранее в 8.1. эти уравнения относятся к числу полностью разрешимых задаваясь значениями q и q при г = О, можно получить явные формулы, дающие решения уравнений для всех последующих значений t. [c.140]

В моих акустических исследованиях ) я доказал закон взаимности, который в своих лекциях обычно легко распространял на малые колебания любой колеблющейся механической системы около положения устойчивого равновесия. Но этот закон имеет еще большую общность и остается в силе для любой движущейся системы, которая подчиняется закону наименьшего действия и движется обратимым способом. [c.455]

При охлаждении системы — газа — в результате соударения двух частиц с некоторой малой энергией происходят захваты , система становится жидкостью, а при дальнейшем охлаждении переходит в твердое тело с колебаниями частиц около положения устойчивого равновесия. [c.7]

Линеаризация уравнений движения. Уравнения малых колебаний. Характеристическое уравнение и вид общего решения. Устойчивость. Границы применимости линеаризованных уравнений. Рассмотрим такие движения системы, при которых она находится вблизи положения равновесия и все ее точки имеют незначительные скорости. Эти движения, называемые малыми колебаниями системы около положения равновесия, описываются уравнениями (1.1). Однако, учитывая, что величины 7/ и 7/ (/ = 1, 2,..., /г) теперь являются малыми, уравнения (1.1) можно упростить, отбросив члены второго и выше порядков малости относительно и 7/. Полученные таким образом уравнения называются линеаризованными уравнениями движения. Для получения линеаризованных уравнений можно до составления уравнений (1.1) провести разложение в ряд Маклорена функции [c.242]

Дифференциальное уравнение малых свободных колебаний системы с одиой степенью свободы. Пусть имеется система с одной степенью свободы. Исследуем движение системы около положения устойчивого равновесия. [c.213]

Движение системы большого числа взаимодействующих частиц во внешнем силовом поле может представлять движение и свойства тела в различных агрегатных состояниях. Моделью твердого тела при низких и нормальных температурах и давлениях является система почти плотно упакованных частиц, совершающих небольшие тепловые колебания около состояния равновесия. Моделью газа является система удаленных (на расстояния частиц, которые взаимодействуют только при соударениях , т. е. сближениях па расстояния порядка диаметра частиц й и, следовательно, совершающих хаотическое движение. Охлаждать систему— значит уменьшать кинетическую энергию ее относительного хаотического движения, нагревать — наоборот. Охлаждение и нагревание возможно как за счет внешнего силового поля, так путем торможения или возбуждения частиц у границы очевидно, — также и за счет увеличения или уменьшения объема, занимаемого системой. При охлаждении системы — газа — в результате скользящего соударения двух частиц с некоторой малой энергией будут происходить захваты , система станет жидкостью, а при дальнейшем охлаждении перейдет в твердое тело с колебаниями частиц около положения устойчивого равновесия. [c.8]

Задача 1289 (рис. 695). Три одинаковых однородных стержня длиной / и массой т каждый соединены шарнирно и могут двигаться в вертикальной плоскости. К стержню АВ на расстоянии от неподвижной точки Л, а к стержню D на расстоянии 4 от неподвижной точки С прикреплены пружины жесткостью каждая. Пренебрегая трением и массой пружин, определить величину с , при которой вертикальное положение стержней АВ и D будет положением устойчивого равновесия, если при этом пружины не напряжены. Найти также период малых колебаний системы около этого положения. [c.461]

Задача 1298 (рис. 703). Два одинаковых однородных стержня ОА и АВ длиной Ь каждый соединены между собой шарнирно я могут перемещаться в вертикальной плоскости. Конец О стержня ОА закреплен шарнирно, а конец В стержня АВ поддерживается нитью ВС длиной I, закрепленной в точке С. Определить, при каком соотношении длин Ь и I положение системы, показанное иа рисунке, будет устойчивым. Найти также период малых колебаний системы около этого положения равновесия. [c.464]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения устойчивого равновесия. [c.264]

Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. [c.370]

В реальных системах помимо такой восстанавливающей силы всегда действуют и силы другого типа, прежде всего силы трения. Если они достигают значительной величины, то их влияние может существенно нарушить гармоничность колебаний. Но если эти силы малы, то для тела, обладающего одной степенью свободы, малые колебания около положения устойчивого равновесия всегда близки к гармоническим. [c.590]

Если точкам механической системы, находящейся в состоянии устойчивого равновесия, сообщают малые отклонения и малые начальные скорости, то система совершает свободные колебания около положения устойчивого равновесия. [c.20]

Малые колебания системы около равновесного положения представляют собой такое движение системы, при котором значения обобщенных координат qj, определяющих положение системы и отсчитываемых от положения устойчивого равновесия и обобщен- [c.20]

При интегрировании системы (18.2), представляющей собой систему двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, исходим из того, что механическая система совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия. Частные решения этих уравнений, предположив, что координаты qi и изменяются по простому гармоническому закону, можно представить в следующем виде [c.83]

Корни этого уравнения k и (причем ki < /%з) определяют частоты свободных колебаний ki и 3. Оба эти корня должны быть положительными, так как в противном случае ki и будут мнимыми или комплексными и принятые частные решения дифференциальных уравнений (19.1), выраженные через тригонометрические функции мнимого или комплексного аргумента, т. е. содержащее гиперболические функции времени t, покажут неограниченное возрастание обобщенных координат, что не может быть при малых колебаниях системы около устойчивого положения равновесия. [c.83]

Малые колебания сферического маятника около положения УСТОЙЧИВОГО равновесия. Пусть для сферического маятника положение М на нисходящей от точки подвеса О вертикали являете положением устойчивого равновесия (действительный максимум потенциала), так что масса маятника, предоставленная самой себе в положении, достаточно близком к Л/, с достаточно малой скоростью (или с достаточно малой живой силой), будет бесконечно долго колебаться в непосредственной близости от М со скоростью (или с живой силой), которая не будет превосходить некоторого произвольного, наперед заданного предела. Чтобы изучить характер этих малых колебаний, отнесем их к системе осей с началом в точке М и с осью 2, направленной по вертикали вниз (оси х, у будут, следовательно, горизонтальными). [c.156]

Исследование динамической устойчивости, изложенное для одной точки в гл. II, 6, и последующее изучение малых колебаний около положения устойчивого равновесия можно распространить, пользуясь уравнениями Лагранжа, на случай какой угодно голономной системы. [c.352]

Вывести, в частности, из предыдущих формул, что при 6 = 0 будем иметь устойчивое равновесие только в том случае, если > , и что в этом предположении при малых колебаниях около положения устойчивого равновесия система ведет себя как простой маятник длиною [c.64]

Малые колебания около положения устойчивого равновесия — один из разделов динамики, в котором эффективно используются аналитические методы. Для теории колебаний характерна большая общность. Независимо от степени сложности механической системы, ее движение вблизи положения равновесия при малых колебаниях описывается всегда одинаковыми по структуре уравнениями. Усложнения происходят с увеличением числа степеней свободы. [c.42]

Влияние диссипативных сил на малые колебания системы около устойчивого положения равновесия. До сих пор рассматривались малые колебания механических систем. При этом предполагалось, что на систему наложены идеальные связи и всякое сопротивление движению системы отсутствует. На самом деле на всякую механическую систему действуют некоторые силы сопротивления. В общем случае характер этих сил очень сложный и каждый раз определяется экспериментально. В простейшем случае предполагается, что силы сопротивления, действующие на каждую точку системы, пропорциональны скорости движения соответствующей точки и направлены в сторону, противоположную скорости движений этой точки. [c.568]

До сих пор мы рассматривали свободные колебания консервативной системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. При отсутствии сил сопротивления дифференциальное уравнение малых колебаний имеет вид [c.468]

Малые колебания консервативной системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия [c.478]

Таким образом, малые колебания консервативной системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия описываются двумя линейными однородными дифференциальными уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение этих уравнений будем искать в форме [c.480]

В заключение отметим, что методы составления и интегрирования дифференциальных уравнений малых колебаний системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия без всяких изменений могут быть распространены на системы с большим числом степеней свободы. [c.483]

При решении задач на исследование малых колебаний системы с несколькими степенями свободы около положения устойчивого равновесия можно, конечно, пользоваться получен- ными формулами. Однако значительно полезнее для каждого примера производить все преобразования с самого начала. Это объясняется тем, что метод запомнить значительно проще, чем формулы. [c.483]

Одним из наиболее плодотворных применений уравнений Лагранжа 2-го рода является изучение малых колебаний механических систем около положения равновесия. Мы ограничимся рассмотрением случая малых свободных колебаний механической системы, имеющей s степеней свободы, около положения устойчивого равновесия. Как было указано, потенциальная энергия системы V qu <72, .., < s) определяется с точностью до произвольной постоянной. Мы можем выбрать начало отсчета координат qt, 2,. . qs таким образом, чтобы положению равновесия соответствовали значения i=0, 2=0,. . s = 0 и Vo=0. Кроме того, в главе VI раздела Кинетика мы доказали, что при равновесии консервативной системы имеют место следующие условия [c.501]

Главная проблема акустики состоит в исследовании колебаний системы около положения устойчивого равновесия однако удобнее будет начать со статической части предмета. Еспи мы отсчитываем координаты от конфи1урации равновесия, то согласно принципу виртуальных скоростей потенциальная энергия какой-нибудь другой конфигурации, при условии, что перемещение системы достаточно мало, будет однородной квадратичной [c.111]

Колебания, которые совершает система около положения устойчивого равновесия после того, как она была выведена из состояния равновесия, носят название собственных или свободных колебаний. Рассмотренные нами колебания маятника или груза на пружине являются примером собственных колебаний. Собственные колебания возникают в результате достаточно быстрого изменения действующей на тело силы, т. е. воздействия, имеющего характер толчка. Чтобы ЁСОникли собственные колебания, нужны столь быстрые изменения СйЛы, при которых ее величина успеет заметно измениться эа малую [c.594]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

В тексте мы рассматривали уравнения малых колебаний для голо-номной системы со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативных сил. Если система допускает игнорируемые координаты и вычисляется приведенная функция Лагранжа, то появляются, как мы знаем (гл. V, п. 46), гиростатические члены. В п. 24 мы указали форму (30), которая в этом случае свойственна уравнениям малых колебаний около положения устойчивого равновесия было показано, что гиростатические члены не влияют на интеграл энергии, из рассмотрения которого также и в этом случае становится очевидной устойчивость на основании критерия Дирихле. [c.414]

ОРБИТА электронная — траектория движения электрона вокруг ядра в атоме или молекуле ОРБИТАЛЬ —волновая функция одного электрона, входящего в состав электронной оболочки атома или молекулы и находящегося в электрическом иоле, создаваемом одним или несколькими атомными ядрами, и в усредненном электрическом поле, создаваемом остальными электронами ОСЦИЛЛЯТОР как физическая система, совершающая колебания ангармонический дает колебания, отличающиеся от гармонических гармонический осуществляет гармонические колебания квантовый имеет дискретный спектр энергии классический является механической системой, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия) ОТРАЖЕНИЕ [волн происходит от поверхности раздела двух сред, и дальнейшее распространение их идет в той же среде, в которой она первоначально распросгра-нялась диффузное характеризуется наличием нерегулярно расположенных неровностей на поверхности раздела двух сред и возникновением огражен1 ых волн, идущих во всех возможных направлениях зеркальное происходит от поверхности раздела двух сред в том случае, когда эта поверхность имеет неровности, размеры которых малы по сравнению с длиной падающей волны, а направление отраженной волны определяется законом отражения наружное полное сопровождается частичным поглощением световой волны в отражающей среде вследствие проникновения волны в Э1у среду на глубину порядка длины волны полное внутреннее происходит от поверхности раздела двух прозрачных сред, при котором преломленная волна полностью отсутствует] [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...