ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Малые колебания системы около положения устойчивого равновесия из "Курс теории колебаний " Колебания около положения равновесия возникают в случае устойчивого равновесия. В случае неустойчивого равновесия система при малейшем отклонении удаляется от положения равновесия и колебания около этого положения не возникают. Поэтому при изучении малых колебаний механических систем важно знать критерий устойчивости равновесия этих систем. [c.5] Для систем с голономными и стационарными связями, находящихся в консервативном силовом поле, этот критерий устанавливается специальными теоремами о потенциальной энергии системы. [c.5] Рассмотрим только малые смещения системы из положения равновесия. В этом случае обобщенные координаты qJ, отсчитываемые от равновесного положения, можно рассматривать как величины первого порядка малости. [c.6] Выражение (2.4) показывает, что потенциальная энергия системы является однородной квадратичной функцией обобщенных координат. Постоянные С у называют коэффициентами жесткости. [c.7] Так как —величины первого порядка малости, то потенциальная энергия системы определяется по формуле (2.4) с точностью до величин второго порядка малости включительно. Это значительно упрощает решение многих технических задач ив то же время обеспечивает точность, достаточную для практических целей. [c.7] Рассмотрим систему материальных точек с голономными и стационарными связями, имеющую 5 степеней свободы и находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Такую систему называют консервативной. [c.7] Из этих уравнений следует, что положениями равновесия рассматриваемой системы в случае консервативных сил являются те положения, при которых потенциальная энергия этой системы принимает экстремальные значения. Однако уравнения равновесия (3.1) не устанавливают, являются ли рассматриваемые равновесные положения системы устойчивыми или неустойчивыми. [c.7] Условия устойчивости равновесия системы с конечным числом степеней свободы устанавливаются следующей теоремой Лагранжа — Дирихле равновесные положения консервативной системы, в которых ее потенциальная энергия достигает минимума, устойчивы. [c.7] По теореме Лагранжа—Дирихле для выполнения этих условий достаточно (но не необходимо), чтобы потенциальная энергия системы в положении равновесия достигала минимума. [c.8] В случае движения системы в консервативном силовом иоле действует закон сохранения энергии, т. е. [c.8] Это условие получено в предположении, что потенциальная энергия системы, находящейся в равновесии, имеет минимум. Следовательно, теорема Лагранжа— Дирихле доказана. [c.9] Теорема Лагранжа — Дирихле устанавливает, что равновесие механической системы, находящейся под действием консервативных сил, является устойчивьш, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет минимум. [c.9] Таким образом, для того, чтобы определить устойчиво ли состояние равновесия консервативной механической системы с одной степенью свободы в рассматриваемом положении системы, необходимо выяснить, имеет ли потенциальная энергия системы в этом положении минимум. [c.9] Если первая производная, не равная нулю, имеет четный порядок и при этом положительна, то при у = уд потенциальная энергия имеет минимум, а следовательно, это положение равновесия системы устойчиво. [c.9] Если первая производная, не равная нулю, имеет нечетный порядок, то при у = уд пет ни максимума ни минимума. [c.9] На рис. 2 центры тяжести физического маятника и шарика занимают наивысшие положения. При этом потенциальная энергия тел имеет максимум и равновесие является неустойчивым. [c.10] В положениях, изображенных на рис. 3, физический маятник и шарик находятся в состоянии безразличного равновесия. [c.10] Длина нерастянутой пружины /) коэффициент ее жесткости с. [c.10] При 0 с1 углу ф2=180° соответствует положение неустойчивого равновесия системы. [c.11] Решение. Примем за обобщенную координату системы угол ф, образован-,, ный осью стержня и вертикалью. [c.12] Вернуться к основной статье