Свободные колебания консервативных систем

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ [c.54]

Эту теорему использовали ранее при рассмотрении малых свободных колебаний консервативных систем. [c.96]

Свободные колебания консервативных систем. В консервативных системах действуют только потенциальные силы, поэтому уравнения движения имеют вид [c.177]

Следует отметить, что малые свободные колебания консервативной линейной системы на фазовой плоскости изображаются также континуумом замкнутых траекторий, окружающих точку устойчивого равновесного положения системы. Амплитуды колебаний линейных систем, так же как и нелинейных консервативных, зависят от начальных условий, но период колебаний линейной системы есть постоянная, не зависящая от начальных условий и от начального запаса энергии системы, в чем можно убедиться, подставив в общую формулу (12.6) соответствующие значения П(л ) и h. [c.482]

Как мы уже отмечали (см. 1.1), в реальных системах всегда происходит рассеяние энергии, ее потери, ее уход из системы и, как следствие этого, уменьшение общего запаса колебательной энергии. Процесс рассеяния — диссипации энергии и уменьшения ее общего запаса присущ всем реальным системам, не содержащим устройств, пополняющих эту убыль энергии. Поэтому мы вправе ожидать, что учет процесса уменьшения исходного запаса колебательной энергии позволит нам получить решения, полнее описывающие реальные движения, чем при рассмотрении консервативных систем. Можно указать на множество характеристик колебательных процессов, которые обусловлены наличием в системе потерь энергии, происходящих по определенному закону и являющихся существенными как для линейных, так и для нелинейных систем. К числу проблем, требующих для своего решения учета диссипации, относятся, например, оценка резонансной амплитуды в линейной системе или в системе с малой нелинейностью, обший вид установившегося движения при наличии вынуждающей силы, закон изменения во времени амплитуды свободных колебаний, устойчивость различных состояний и пр. [c.41]

В предыдущем параграфе мы рассмотрели вынужденные колебания, возбуждаемые в слабо нелинейной консервативной системе гармоническим внешним воздействием. Определение слабой нелинейности в нашем толковании основано на близости исследуемого колебательного процесса к соответствующему колебательному процессу, происходившему в линейной системе. Поэтому, как указывалось ранее, даже для существенно нелинейных консервативных систем в большинстве случаев ) можно найти такую область амплитуд свободных или вынужденных колебаний, оставаясь внутри которой, нам удается с требуемой точностью описывать [c.106]

Изучение свободных колебаний привода связано с отысканием частных решений его математической модели, удовлетворяющих заданным начальным условиям. Линеаризованные, недиссипативные модели приводов относятся к классу консервативных систем, у которых все силы потенциальные, а связи — стационарные. Дифференциальные уравнения, описывающие движение консервативной системы в независимых обобщенных координатах qj, можно составить на основе уравнений Лагранжа [c.154]

Моделью такой системы может служить сдвоенный маятник, представленный на рис. 1.8. Применительно к подобной системе мы сначала рассмотрим ее свободные колебания. Если приписать ей консервативные свойства, т. е. принять, что оба маятника абсолютно упруги, и пренебречь потерями на трение в точке подвеса и сопротивлением окружающей среды, то свободные колебания систем будут иметь [c.30]

Рассмотрим основные соотношения для свободных колебаний любых консервативных линейно-упругих систем, обладающих поворотной симметрией. На рис. 1.2 представлен период некоторой [c.5]

Постановка задачи о малых свободных колебаниях. Рассмотрим механическую систему с голономными стационарными идеальными связями. Все силы, действующие на систему, являются консервативными, причем энергия всех этих сил входит в потенциальную энергию системы U (qi,. ....g ). При t < О система находится в положении [c.54]

Уравнения свободных колебаний. Подставляя (3) и (10) в уравнение (2), получаем уравнения свободных колебаний линейных консервативных систем [c.57]

Свободные колебания систем с циклическими координатами. Понятие о циклических координатах было дано в гл. П. Приведенная выше теория свободных колебаний в линейных консервативных системах неприменима к системам, содержаш.им циклические координаты. В таких системах квадратичная форма потенциальной энергии (13) не будет содержать членов с циклическими координатами. Поэтому в положении q = О потенциальная энергия не будет обладать изолированным минимумом, т. е. не будут выполнены условия (1) Между гем системы с циклическими координатами часто встречаются в технике. Примером могут служить свободно вращающиеся в опорах роторы (циклическая координата — угол поворота ротора как твердого тела), неуправляемые летательные аппараты (если не учитывать влияния внешних сил, то все шесть обобщенных координат, описывающих движение аппарата как твердого тела, будут циклическими). [c.67]

Одним из наиболее плодотворных применений уравнений Лагранжа 2-го рода является изучение малых колебаний механических систем около положения равновесия. Мы ограничимся рассмотрением случая малых свободных колебаний механической системы, имеющей s степеней свободы, около положения устойчивого равновесия. Как было указано, потенциальная энергия системы V qu <72, .., < s) определяется с точностью до произвольной постоянной. Мы можем выбрать начало отсчета координат qt, 2,. . qs таким образом, чтобы положению равновесия соответствовали значения i=0, 2=0,. . s = 0 и Vo=0. Кроме того, в главе VI раздела Кинетика мы доказали, что при равновесии консервативной системы имеют место следующие условия [c.501]

При анализе свободных колебаний некоторых консервативных систем с одной степенью свободы удобно применять энергетический способ, который основан на законе сохранения энергии, согласно которому, сумма кинетической и потенциальной энергий системы в процессе колебаний остается неизменной. [c.13]

Так же. как и при линейных колебаниях, можно различать нелинейно колеблющиеся системы — консервативные (ни из системы, нн в систему энергия не поступает), диссипативные (с течением времени происходи г уменьшение суммы потенциальной и кинетической энергий системы за счет перехода энергии в другие виды или за пределы колеблющейся системы) и, наконец, системы, в которые при их колебаниях поступает энергия. Различают также свободные и вынужденные нелинейные колебания. Однако вследствие нелинейности последние представлять в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения нельзя. [c.220]

Рассмотрим силы, зависящие от положения. Если коэффициенты в соотношениях (3) образуют симметричную матрицу, то эти силы являются консервативными. Они совпадают с квазиупругими силами, введенными в гл.П при рассмотрении малых свободных колебаний консервативных систем. Позиционные силы с антисимметричной матрицей коэффициентов неконсервативны. Для этих сил общепринятого термина нет. Их называют псевдогироскопическими, циркуляционными,следящими-, мы будем пользоваться термином неконсервативные позиционные силы. [c.90]

В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда ) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа i sin kt и t eos kt, содержащие аргумент вне знаков тригонометрических функций в наших задачах этим корням соответствовали бы нарастающие колебания. Однако в рассматриваемых здесь случаях свободных колебаний консервативных систем такие слагаемые появиться не могут — это противоречило бы справедливому для таких систем закону сохранения механической энергии (тем более это отно- [c.96]

Неизохронность свободных колебаний консервативных нелинейных систем. Частота сгободных колебаний нелинейных систем обычно зависит от начальных условий, т. е. связана с размахами колебаний. Это свойство называется неизохронностью. Для консервативной системы с симметричной силовой характеристикой точная зависимость угловой частоты свободных колебаний о от полуразмаха А имеет вид [c.28]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

При воздействии гармонической силы на линейную систему в ней, как хорошо известно, возникает гармонический вынужденный процесс с частотой вынуждающей силы и с амплитудой, определяемой параметрами системы, частотой и величиной внешней силы. В частности, при совпадении частоты воздействующей силы с частотой свободных колебаний системы в ней при отсутствии потерь (т. е. в случае консервативной системы) возбуждается бесконечно нарастающий вынужденный колебательный процесс, соответствующий наступлению резонанса. Однако если по-прежнему рассматривать консервативную, но нелинейную систему, то вследствие возможной неизохронности при возникновении в ней колебаний условие резонанса с изменением амплитуды колебаний может измениться, и в этом случае мыслимо установление конечной амплитуды вынужденного колебания при любой частоте воздействия. [c.98]

Колебания связанных систем. Рассмотрим консервативную систему с S степнями свободы, взаимодействующую с внешним полем. Лагранжиан свободной системы имеет вид (17.13). Очевидно, что в приближении однородного поля потенциальная энергия взаимодейсвия системы с внешним полем [c.158]

Следует отметить, что строго частоты свободных колебаний определяются для консервативных систем, т. е. систем без потерь энергии. Гидравлические тракты с протоком жидкости, даже если не учитывать потери на трение о стенки, являются системами не консервативными с выносом колебательной энергии через границы участка тракта (кроме случаев явно нереальных, когда = 0 или , = оо). Несмотря на неконсерва-тивность системы, так же как в теории колебаний, используем понятие собственных частот, считая, что это комплексные числа. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...