Равновесия положение в малом

Тяжелая точка может двигаться без трения по вертикальному проволочному кольцу, которое вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью м. Радиус кольца равен R. Найти положение равновесия точки и определить, как будет двигаться точка, если в положении равновесия она получит малую скорость о по касательной вверх. [c.261]

При определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при ф=0 будет устойчивым, а при (р=180° — неустойчивым. [c.387]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Как и в 148, будем считать, что рассматриваемая механическая система при (7=0 находится в положении устойчивого равновесия. Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще в двух случаях. [c.392]

Иначе обстоит дело, если поставить карандаш на острие. Такое положение равновесия будет неустойчиво в малом (рис. 519). [c.451]

Исследуя движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия, мы будем считать, что во время таких движений все qj и <7у —малые величины одного и то же порядка малости. Ограничимся в уравнениях лишь малыми первого порядка и пренебрежем малыми второго и более высоких порядков. [c.212]

Линейные дифференциальные уравнения (14) (или (15)) называются уравнениями линейного приближения. Они приближенно описывают движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия. Уравнения линейного приближения (14) сами по себе не определяют размеров области, в пределах которой точные нелинейные уравнения (10) могут быть заменены этими [c.214]

Аналогично обстоит дело и в более сложных случаях положения равновесия можно классифицировать в зависимости от того, остается или нет система вблизи этого положения после малого возмущения. Положение равновесия называется устойчивым в первом случае и неустойчивым — во втором. [c.217]

Устойчивость обеспечивает пребывание системы вблизи положения равновесия при достаточно малых отклонениях, но не гарантирует возвращения в положение равновесия или даже асимптотическое стремление к нему при Между тем ин- [c.218]

Движение консервативной системы в малой окрестности положения равновесия (в линейном приближении) [c.236]

В связи с тем, что изученные выше движения консервативных систем происходят в малой окрестности положений устойчивого равновесия, их часто называют малыми колебаниями ных систем. [c.241]

Равновесие системы материальных точек называется устойчивым, если после сообщения точкам системы весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма малых начальных скоростей система в своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от рассматриваемого равновесного положения. [c.580]

Задача 1287. По гладкой проволоке, изогнутой в виде окружности и расположенной в вертикальной плоскости, может скользить без трения колечко, прикрепленное к пружине, навитой на проволоку, причем другой конец пружины закреплен в верхней точке окружности. Жесткость пружины с, радиус окружности R, масса колечка т. В ненапряженном состоянии пружина охватывает центральный угол, равный а. Найти условие, при котором положение равновесия колечка в верхней половине окружности будет устойчивым, а также период малых колебаний колечка около этого положения. [c.460]

Задача 1346 (рис. 736). Точка подвеса маятника, имеющего вид однородного стержня длиной I, движется горизонтально с постоянным ускорением w. Определить угол отклонения стержня в относительном равновесии и период малых колебаний стержня около этого положения. [c.486]

Чтобы установить, будет ли рассматриваемое положение равновесия стержня устойчивым, следует дать стержню достаточно малое начальное отклонение от положения равновесия, а в общем случае сообщить ему еще достаточно малую начальную угловую скорость н рассмотреть его последующее движение. Для простоты ограничимся только одним малым начальным отклонением от положения равновесия, В отклоненном положении силы, действующие на стержень (сила тяжести и реакция в точке О) уже sie являются уравновешенными. [c.384]

Если стержень, получив любое малое начальное отклонение от положения равновесия, остается в равновесии в новом отклоненном положении, то такое положение равновесия называется безразличным. [c.385]

Согласно условию теоремы, в положении равновесия системы потенциальная энергия, являющаяся для стационарного силового поля только функцией обобщенной координаты, имеет изолированный минимум. Следовательно, Птш = Я (0) = 0 и функция Я (д) в малой окрестности д = 0 принимает только положительные значения. Ее график в этой окрестности имеет вид, указанный на рис. 275. Кривая П = П (д) обращена вогнутостью в сторону положительных значений Я (д), т. е. вверх. [c.387]

Горизонтальное положение стержня ВМ соответствует положению статического равновесия системы. Определить малые движения груза Л4 в вертикальном направлении, если В = 90 h — 60 см. [c.417]

Следовательно, движение материальной системы в консервативном силовом поле в малой окрестности положения устойчивого равновесия определяется свойствами двух положительно определенных квадратичных форм кинетической и потенциальной энергий. [c.230]

Определение понятия устойчивости равновесия связано с рассмотрением тех движений, которые система станет совершать, будучи выведена из положения равновесия путем сообщения ее точкам весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма малых нача и>ных скоростей. Если после нарушения равновесия система в своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от исследуемого равновесного положения, то такое положение равновесия называете устойчивым. [c.336]

Рассмотрим теперь, нельзя ли с помощью тех же колебаний стабилизировать верхнее неустойчивое положение маятника. получения дифференциального уравнения малых колебаний маятника около верхнего положения равновесии достаточно в уравнении (7.107) заменить g на —g [c.256]

Малые колебания около положения равновесия. Пусть в положении равновесия д. = О для всех s, С/(0,. .., 0) = О и пусть с точностью до величин наименьшего порядка малости [c.238]

Линеаризуя уравнение равновесия и рассматривая малые значения угла ф, мы, естественно, всего многообразия форм равновесия охватить не можем. Мы смотрим на эту сложную картину как бы через узкую вертикальную щель, открывающую нам поле зрения вблизи оси ординат. И через эту щель видим только вертикальную ось, точки которой соответствуют положению вертикального маятника, и тот кусочек кривой, которая ее пересекает. В линейном приближении пересекающая кривая рисуется нам как горизонтальная прямая. Поэтому угол ф при линейном подходе остается неопределенным. Он может быть любой малой величиной. [c.124]

При р = О гироскоп с верхним маятником находится в неустойчивом положении равновесия и при малейшем отклонении оси г ротора гироскопа от этого направления (Р = 0) возрастает отклонение а оси г ротора гироскопа вокруг оси г/1 наружной рамки карданова подвеса. При этом максимальное отклонение оси не превышает значения [c.206]

Рис. 15.3. Устойчивое положение равновесия тарита в малой и неустойчивое в большом

Тело Е, масса которого равна т, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру Оь Длина иедеформнрованной пружины равна /о в полонсении равновесия тела пружина имеет конечный предварительный натяг, равный / о = с(/- /о), где / = ООь Учитывая в горизонтальной составляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относительно отклонения тела от положения равновесия, определить период малых колебаний тела. [c.238]

Докажем сначала теорему для системы с одной степенью свободы, допускающую наглядную геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для стационарного силового 1юля зависит только от одной обобщенной координагы q, равной нулю в положении равновесия. Примем потенциальную энергию в этом положении равной нулю, т. е. Я(0) = 0. По ус1ювию теоремы в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, i. е. /7 1п = Я(0) = 0, и функция U = n(q) в малой окрестности =0, принимая только положительные значения, является возрастающей функцией ц, т. е. имеет вид, представленный на рис. 108. [c.422]

При деформации металла расстояния между атомами под действием внешних сил изменяются по определенным направлениям, линии и плоскости, проходящие через атомы, искривляются, кристаллическая решетка искажается. Так как при этом равнодействующие сил притяжения и отталкивания между атомами уже ке равны нулю, то в решетке будут действовать внутренние силы, стремящиеся вернуть атомы в положение равновесия. Зависимость между малыми смещениями атомов и силами взаимодействия с известной степенью приближечия можно считать линейной. Суммарно это проявляется в линейной зависимости между смещениями точек тела и внешними силами, выражаемой законом Гука. [c.105]

Широко известна иллюстрация устойчивого и неустойчивого положений равновесия на примере шарика, лежащего на вогнутости и выпуклости (рис. 518). Эта схема может быть допол1гена третьим рисунком. Если шарик находится на дне малой лунки, его положение будет устойчиво в малом, но неустойчиво в большом. [c.451]

В житейском смысле слова мы говорим, что стоящий на незаточенном конце карандаш находится в неустойчивом положении равновесия. Эта неустойчивость есть неустойчивость в большом. Для того чтобы карандаш перешел в новое положение равновесия, его необходимо отклонить от вертикали так, чтобы центр тяжести вышел за пределы площади опоры, т. е. необходимо дать малое, но конечное отклонение. Положение карандаша, стоящего на незаточенном конце, с позиций устойчивости в малом всегда устойчиво, даже при малой опорной площадке. [c.451]

Если квадратичная форма в разложении (2.23) в малой окрестности положения равновесия (нуля) является определенно-положительной, то и потенциальная энергия П будет определенно-положительной в этой окрестности. Так как, по предложению, П (О,. .., 0) = 0, то отсюда следует, что в положении равновесия П имеет локальный минимум и из теоремы Лагранжа — Дирихле следует устойчивость рассматриваемого положения равновесия. [c.87]

Возьмем некоторое положительное число е и проследим за изменением потенциальной энергии систел ы при и зменсшш обобщенных координат в интервале (—е, +е), включая его границы. Допустим, что I I = , а остальные координаты могут принимать любые (но малые) значения в пределах е. Потенциальная энергия системы изменяется при измепеини этих координат. Минимальное значение потенциальной энергии в этом случае обозначим /7р, величина является положительной, так как в малой окрестности положения равновесия Л > 0. [c.390]

В этой главе рассматриваются, главным образом, движения материальной системы в малой области, к внутренним точкам которой принадлежит начало координат. Предположим, что начало кординат совпадает с положением устойчивого равновесия системы и что выполняется достаточное условие такого равновесия, а именно наличие минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.228]

Если систему вывести из положения равновесии, ooGhihb ео точкам какие-то малые начальные отклонения от положений равновесия и малые начальные скорости, то в последующем днияусппи точки системы либо все время остаются вблизи положений равновесия, либо удаляются от этих положений. В первом случае положение равновесия будет устойчивым, а во втором — неустойчивым. [c.346]

Практически, конечно, невозможно поддерживать и наблюдать действительно идеальное равновесие в цепи га льванометра. Можно утверждать, что мы в состоянии создать лишь приблизительное равновесие и что ток, текущий через цепь гальванометра при таком равновесии, оказывает пренебрежимо малое влияние на разность потенциалов на концах измеряемого сопротивления R. Предположим, что в потенциометре проволока реохорда р имеет сопротивление 10 ом и что каждое из сопротивлений г, и равно 5 ом. Для проведения измерений необходим гальванометр с подходящим сопротивлением и с максимальной чувствительностью по напряжению. Так, например, можно воспользоваться кембриджским гальванометром, который имеет рамку с сопротивлением 20 ом и чувствительность по току - 300 мм мка при расстоянии от зеркала до шкалы 1 м). Критическое сопротивление, необходимое для нормальной работы этого прибора, составляет 100 ом (т. е. в нашем случае в цепь нужно включить добавочное сопротивление 60 ом), а время установления равно 2 сек. Предположим, что при прямом отсчете нельзя заметить отклонение гальванометра от положения равновесия, если оно меньше 0,5 мм. В результате точность в определении разности потенциалов будет - 2 10 в. В задаче, которая была указана выше, это составляет ошибку, равную примерно 50%. Если гальванометр включить в цепь непосредственно, т. е. без добавочного критического сопротивления, то ошибка уменьшится до половины этого значения, однако время установления сильно возрастет (до - 8—10 сек). [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...