Матрица упругих жесткостей

Матрица упругих жесткостей 495 [c.824]

Элементами матрицы упругой жесткости f/ l, как следует из выражения (9.12), являются произведения ё -ёР = [G] [е ], представляющие работу напряжений, отвечающих [е ], на деформациях [еР]. Произведение строки из [ 12] и матрицы [я1 есть работа напряжений, отвечающих [е ], на деформациях [л]. [c.211]

Как видим, элементы матрицы податливости [6] представляют произведения пар базисных векторов и в этом смысле аналогичны матрице упругой жесткости [/С1. Однако, если элементы [/(] представляют метрическую матрицу базиса подпространства явных параметров, то элементы [б] — базиса р скрытого подпространства Y. Найдя из выражения (9.19) набор [х], из (9.17) получаем упругое решение. [c.213]

Остальные компоненты ,-j равны нулю. Так что для кубического кристалла имеется всего лишь три независимых компоненты Сц, Сц и Сц и набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице [c.127]

При этом вид матриц (6X6), приведенных в табл. 2.11, сохраняется, но число независимых компонент уменьшается за счет уменьшения в 2 раза числа независимых недиагональных компонент (так как сц = сц). Например, для класса 3 независимые компоненты тензора фотоупругости — р12, Pl3, р14, Pl5, р16, Рз1, Рзз. Р41, Р -P4S, а независимые компоненты тензора упругой жесткости для того же класса — Сц, i2, i3, Сн, is, с,б, сц, С45. [c.45]

Матрицу а называют матрицей коэффициентов влияния. Если восстанавливающие силы являются силами упругости, то все коэффициенты влияния, т. е. элементы матрицы а = i можно получить непосредственно, не прибегая к матрице коэффициентов жесткости с , а следовательно, к потенциальной энергии системы, что значительно упрощает составление дифференциальных уравнений (30.2). [c.147]

Одно из наиболее ранних применений такой методологии было осуществлено Доу и Розеном [8], которые считали материал матрицы упруго-идеально-пластическим, а волокна упругими. Более совершенная схема позже была опубликована Шу и Розеном [35], хотя они предпочли использовать предположение об абсолютной жесткости волокон, а не об их упругости. Так как принимаемые граничные условия определяются средними значениями в большей мере, чем локальными, такие исследования обычно используются для грубой оценки свойств композита в целом, но не для оценки локальных значений напряжений и деформаций. В этом случае соответствующие теории нельзя применить к микромеханическому анализу, поскольку они не описывают локального поведения. [c.211]

В табл. 15.4 (заимствована из упомянутой выше книги Дж. Пая) показана структура матриц упругих постоянных (упругих жесткостей и упругих податливостей), соответствующих всем тридцати двум видам симметрии кристаллов 1). В этой таблице черным кружком показаны отличные от нуля элементы матрицы, точкой — равные нулю элементы. Одинаковые по величине и знаку [c.476]

Л — симметричная матрица жесткости, обратная матрице упругих коэффициентов, [А]- = 1а], [c.120]

Здесь С у — элемент матрицы коэффициентов жесткости (см. выше, стр. 93). Легко проверить, что для всех рассмотренных в предыдущей главе примеров упругих систем неравенства (1П.1) [c.153]

Сложность и громоздкость известных расчетных методов построения динамических моделей упругих систем станков [1, 2, 5, 6] обусловливают необходимость перехода к автоматизации процесса вычисления коэффициентов уравнений движения системы. Для синтеза матриц инерции, жесткости и демпфирования системы в настоящей работе предлагается использовать метод конечных элементов, использованный ранее для построения динамической модели элементов привода станка [7]. Колебания упругой системы при этом могут быть описаны одним из уравнений [c.52]

Решение задач геометрической нелинейности приводит к перестройке на каждом шаге матрицы производных [В], а решение задачи физической нелинейности требует формирования на каждом шаге итерации матрицы упругих характеристик [/)]. Таким образом, временные затраты на переформирование матрицы жесткости конструкции [/<] окупаются возможностью учета обоих видов нелинейностей. Как показывает опыт, метод последовательных приближений дает хорошие результаты при решении с помощью метода конечных элементов задач температурной пластичности, а также ползучести, когда происходит постепенное накопление пластической деформации в конструкции, находящейся под нагрузкой при повышенной температуре в течение некоторого периода времени. [c.67]

Определим матрицу волновых динамических жесткостей упругого кольцевого пояса связи, замыкающего в некотором кольцевом сечении стержневую (лопаточную) часть системы на круг. Предположим, что динамические ха рактеристики k-ro периода пояса связи (рис. 4.5) заданы в основных системах координат в виде фундаментальной матрицы динамических жесткостей [c.63]

Следует отметить, что упругие постоянные Сц и составляющие матрицы упругой податливости зц взаимосвязаны. Решая систему шести уравнений (1.5) относительно шести компонент тензора напряжений, получаем эту взаимосвязь. Как видно из сопоставления зависимостей (1.5) и (1.6) с (1.14) и (1.15), число независимых постоянных жесткости и упругой податливости одно и то же для данного материала и оно определяется лишь степенью анизотропии материала. [c.14]

Таким образом, из выражения (4.18) следует, что для кубических кристаллов набор постоянных упругой жесткости сводится к следующей матрице [c.157]

Величины СаЗ называют модулями упругости (или постоянными упругой жесткости). Элементы матрицы 5 порядка 6x6, обратной к матрице С, называют упругими постоянными (или постоянными упругой податливости). [c.74]

Заметим, что выражения (6.12а) и (6.12е) для матриц жесткости и массы имеют вид конгруэнтных преобразований, обеспечивающих симметричность матрицы, полученной в результате умножения, если симметрична центральная матрица. Так как матрицы упругости [Е] и матрица плотности [р] симметричны, то и получаемые в результате матрицы будут симметричны. Изложенный подход отличается от прямого метода из разд. 5.1 тем, что преобразование от узловых степеней свободы к деформациям служит основой преобразования узловых сил в напряжения. [c.159]

Для существования решения, основанного на принципе минимума энергии, необходимо выполнение условия 2. В разд. 2.9 показано, что число мод движений тела как твердого целого, содержащихся в системе уравнений жесткости элемента, можно определить, подсчитав собственные значения матрицы коэффициентов жесткости. Это условие сводится к требованию, чтобы упругие деформации не возникали при движении тела как твердого целого. В случае простых элементов нетрудно проверить это требование. Например, для изображенного на рис. 5.4 треугольного элемента деформация определяется, согласно (5.21а) и (5.22), в виде [c.229]

Здесь матрица [к ] — обычная матрица изгибной жесткости элемента. Матрица [к ] относится к эффектам упругой потери устойчивости и характеризует приращение изгибной жесткости. Поэтому ее часто называют инкрементальной матрицей жесткости. Как может быть установлено на основании выражения (13.15) и проверено в дальнейшем при выводе явного вида матрицы [к 1, отдельные члены этой матрицы зависят исключительно от геометрических параметров (например, длины). Поэтому эта матрица часто называется геометрической матрицей жесткости. [c.397]

Метод переменной жесткости можно использовать в случае, Когда связь между напряжениями и деформациями (18.3), характеризующую поведение материала, можно представить в форме (18.2), где матрица упругости зависит от достигнутого уровня деформации, т. е. имеет вид [c.395]

Так как матрица упругости влияет на окончательный вид матрицы жесткости ансамбля, приходим к уравнению [c.395]

Однако если вместо касательной матрицы использовать постоянную матрицу, соответствующую начальной упругой жесткости, то метод Ньютона — Рафсона ) (фиг. 18.2,6) становится [c.401]

Эта матрица, называемая матрицей жесткости материала, легко преобразуется в матрицу упругости материала [c.18]

После обоснования расчетной модели сооружения составляют уравнение или систему дифференциальных уравнений, описывающих колебания этой модели. В случае нелинейно-упругих систем матрица коэффициентов жесткости состоит из величин, зависящих только от параметров реакции системы. Для систем гистерезисного типа и систем с переменной структурой коэффициенты матрицы зависят также от времени. В зависимости от того, ь кие дополнительные факторы учитывают в расчете, в дифференциальных уравнениях могут -быть дополнительные члены, характеризующие геометрическую нелинейность, нелинейную инерционность системы, нелинейное затухание, а также возбуждение параметрических колебаний [9, 19, 411. [c.68]

Следует отметить, что вопреки тому, что утверждается во многих работах, матрица приращений жесткости Тс м не совпадает с обычной матрицей жесткости к м классической линейной теории упругости, определяемой формулой (16.13). Действительно, к м сводится к только в том частном случае, когда [c.290]

Матрица жесткости К всей исследуемой детали составляется из матриц жесткости К / отдельных КЭ. Матрицы Кг/ несут информацию о конфигурации и упругих свойствах материала конечных элементов и подсчитываются по формуле (4.31), в которой при этом под R понимается подобласть, относящаяся к рассматриваемому КЭ. [c.165]

Если для каждого из четырех примыкающих к А -му узлу элементов построена матрица жесткости RJ,. . Riv, то по равенству (8.6V) вычисляем упругие силы Si,. . S , и, суммируя их, составляем уравнения (8.69). Узловая внешняя сила дает грузовые члены (как реакции в связях) [c.263]

Из всех возможных методов определения собственных частот многомассовых систем рассмотрим только два метод непосредственного анализа систем дифференциальных уравнений движения и метод матриц переноса. Оба метода поясним на примере трехмассовой динамической модели, состоящей из трех сосредоточенных масс с моментами инерции /2, /з, соединенных упругими элементами, имеющими коэффициенты жесткости l и q (рис. 72). Эта модель может быть использована для анализа крутильных колебаний валов зубчатых механизмов, образующих цепную систему. В последнем случае при определении углов закручивания отдельных элементов надо учитывать передаточные отношения так, как было указано при вычислении [c.243]

Матрицы жесткости В< и податливости аы ) характеризуют упругие свойства материала в целом. Упругие свойства компонентов материала (волокна и матрицы), а также напряжения и деформации в каждом компоненте отличаются от их средних значений по типичному объему (Ви), (а ), (О ), /еЛ соответственно на величины б -, [c.53]

G — геометрическая матрица упругой жесткости конструкции оазмера п X rtf = d lag Е —диагональная блочная матрица размера тУС т, t-й блок Е которой является естественной матрицей упругой жесткости конечного элемента г (индекс i пробегает в установленном порядке номера всех элементов). [c.92]

Поместим начало декартовой системы координат в произвольной точке торцового сечения и направим ось параллельно образующей стержня, как показано на рис. 6. Тогда плоскйсть является плоскостью упругой симметрии, а матрица коэффициентов жесткости в обобщенном эаконе Гука имеет форму (20). Граничные условия запишем в виде на боковой поверхности [c.28]

Перейдем теперь к изучению вида матриц эффективных жесткостей для одного частного класса симметрии материала, а именно предположим, что каждая материальная частица обладает единственной плоскостью упругой симметрии, нормальной к оси 2. Это свойство называется моноклинной симметрией. Как и ранее, локальные коэффициенты жесткости могут меняться по толщине непрерывно или скачкообразно. Последнее характерно для большинства используемых в технике слоистых композитов, которые состоят из слоев армированного волокнами материала, причем волокна различных слоев лежат в параллельных плоскостях, Для моноклинной симметрии можно показать (Лех-ницкий [11]), что в рассматриваемом здесь случае (когда плоскость симметрии нормальна к оси z) [c.47]

При решении нелинейных задач чаще всего применяют метод последовательных приближений. Так, при решении задачи термопластичности согласно теории малых упругопластических деформаций применяют методы переменных параметров упругости (МППУ) или дополнительных нагрузок (МДН). В первом случае на каждом итерационном шаге пересчитывается матрица [К] жесткости, во втором — вектор [R] узловых нагрузок. Итерационный процесс прекращается при достижении заданной точности, когда разность между двумя последовательными приближениями становится меньше заданной, либо после достижения заданного числа итераций. [c.16]

Легко показать, что в этом уравнении все диагональные элементы матрицы динамических жесткостей равны jAjj/A, где Д — частотный определитель рассматриваемой подсистемы, у которой все упругие связи тела 1, кроме г-й, помещены в заделку. [c.45]

Системы с распределенными связями между периодами. Когда структура системы отлична от стержневой, например упругие диски с лопатками, вместо сравнительно легко определяемых матриц динамических жесткостей или податливостей для периода системы необходимо построить интегральные операторы, которые могут быть весьма сложными. Поскольку образование их связано с определенными трудностями, при решении задач тарного типа систему рационально расчленять не на периоды, а на кольцевые участки, динамические характеристгию которых можно описать более простыми средствами. Этот путь можно использовать и для систем стержневого типа. При таком подходе свойства спектров можно реалшо вать путем введения понятия волновых динамических жесткостей и податливостей [25]. Фундаментальные матрицы волновых динамических жесткостей (податливостей) полностью определяют необходимые для расчета динамические характеристики кольцевых участков, если они найдены для всех чисел волн т перемещений (усилий), допускаемых порядком симметрии системы. [c.43]

Анизотропия самого общего вида у реальных материалов, когда матрица коэффициентов податливости ISl содержит 21 независимый коэффициент, — явление редкое. Обычно структура материала такова, что его упругие свойства в некоторых направлениях идентичны. В этих случаях число независимых коэффидиентов в матрице коэффициентов податливости (и, следовательно, в матрице коэффициентов жесткости) уменьшается, и при надлежащем выборе системы координат упрощается запись закона Гука. [c.9]

Понятие матрицы жесткости элемента введено в разд. 2.3 аксиоматически и без указания методики отыскания ее коэффициентов. При тех же условиях в разд. 2.5 было показано, что матрица должна обладать свойством симметрии. Однако из определяющего уравнения прямого метода (5.10) непосредственно не следует, что сформированная матрица симметрична. Центральная матрица тройного произведения А] [Е] [О], т. е. матрица упругости [Е], согласно присущим ей внутренним свойствам, симметрична. С другой стороны, матрицы [А] и [О] строятся независимым образом и необязательно конгруэнтны. Конгруэнтное преобразование симметричной матрицы [Е1 обеспечило бы симметричность результирующей матрицы. [c.139]

Если требуется исследовать весь процесс деформирования при нагружении, то, как правило, рассматриваются малые приращения нагрузки и для каждого такого приращения решается задача линейной теории упругости, причем матрица тангенциальных жесткостей вычисляется для начала приращения нагрузки [2, 3]. При использовании этих методов может накапливаться ошибка, и поэтому Бреббиа и Коннор [9] рекомендуют после нескольких приращений уточнять решение методом Ньютона. [c.458]

Матрица упругости [О] имеет вид, одинаковый для декартовой и полярной систем координат. Элементарный объем здесь определяется так (1У = 1гйи. [/] (1 с1ц. При этом квадратурная формула для матрицы жесткости [c.44]

Остановимся подробнее на понятиях матрицы жесткости R и обобщенной упругой силы Si- На рис. 8.32, а элементы матрицы проил-люстированы на примере балки, в которой в качестве обобщенных перемещений приняты прогибы и а . Силы и S2 связаны с пими соотношением (рис. 8.32, б) [c.258]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...