Тензор упругой жесткости

Некоторые материальные тензоры четвертого ранга (например, тензор упругой жесткости сци) симметричны не только относительно перестановки первого со вторым и третьего с четвертым индексов, но и относительно перестановки первой пары индексов со второй [c.45]

При этом вид матриц (6X6), приведенных в табл. 2.11, сохраняется, но число независимых компонент уменьшается за счет уменьшения в 2 раза числа независимых недиагональных компонент (так как сц = сц). Например, для класса 3 независимые компоненты тензора фотоупругости — р12, Pl3, р14, Pl5, р16, Рз1, Рзз. Р41, Р -P4S, а независимые компоненты тензора упругой жесткости для того же класса — Сц, i2, i3, Сн, is, с,б, сц, С45. [c.45]

Процесс разгрузки предполагается упругим. В течение разгрузки и последующей нагрузки вплоть до точки начала разгрузки тензор упругой жесткости С = = М Со, как и тензор М, сохраняют свои значения, которые они приобрели в момент начала разгрузки. Поэтому тензор напряжений может быть представлен в виде [c.359]

Здесь сцы — декартовы компоненты постоянного тензора упругой жесткости для анизотропного тела. В теории упругости анизотропного тела доказаны следующие свойства симметрии этого тензора [c.214]

Тензор упругой жесткости 214 [c.253]

Таким образом, тензоры упругой податливости и упругой жесткости оказываются симметричными, и это уменьшает число независимых компонент до 21. [c.196]

В (2.1.17) ядра релаксации Г (<). N (t) предполагаются известными из эксперимента на ползучесть или на релаксацию [254]. При необходимости переход от упругих постоянных Е , к интегральным операторам Е , вида (2.1.17) осуществляется и для армирующих элементов. Из (2.1.12), (2.1.15), (2.1.16) видно, что при этом переходе компоненты тензоров эффективных жесткостей и податливостей армированного слоя становятся дробно-рациональными функциями интегральных операторов Вольтерра Е , v , Е , и потому [254 ] сами являются интегральными операторами того же вида. Их ядра выражаются через ядра Гр(<), с(0> а(0> - а(0 структурные Параметры армирования. [c.32]

Существует два подхода к определению компонент тензоров упругости и температурной жесткости материалов феноменологический и структурный. При феноменологическом подходе [87, 88, 97, 151, 164, 167, 203, 207, 208] каждый тип анизотропии требует проведения определенной экспериментальной программы для нахождения постоянных А и В Следует иметь в виду, что композитный материал, как правило, создается вместе с конструкцией. В связи с этим механические характеристики (Л - , В ) будут в общем случае функциями координат х Например, если кольцевую пластинку равномерно армировать вдоль радиусов волокнами постоянного сечения, то, естественно, плотность армирования будет уменьшаться от центра к периферии, а тем самым Л " , В будут зависеть от радиальной координаты. Таким образом, при феноменологическом подходе определение механических характеристик композитного материала в сложной армированной конструкции требует проведения серий экспериментов для всех х, что практически невозможно реализовать. [c.13]

Структурный подход [1, 2, 23, 24, 28, 35, 37, 38, 57, 64 101, 102, 107, 114-117, 174, 198, 223, 243, 244, 252] позволяет избежать указанного недостатка. Он дает возможность выразить компоненты тензоров упругости и температурной жесткости через механические характеристики элементов композиции, структуру армирования и другие макроскопические параметры. Кроме того, при структурном подходе после решения соответствующей краевой задачи и определения напряженно-деформированного состояния конструкции можно Получить и напряжения в элементах композиции. Указанные обстоятельства позволяют перейти к рассмотрению локальных эффектов в связующем и арматуре, на границе связующего и армирующих элементов, определять характер разрушения и решать вопросы рационального проектирования конструкций из композитных материалов. [c.13]

Пусть Ь обозначает текущее (поврежденное) локальное значение тензора упругой податливости, а С = — соответствующее значение тензора жесткости. Любой из этих тензоров может быть принят за характеристику поврежденности. [c.358]

Величина в квадратных скобках (4.17), очевидно, играет роль измененного из-за влияния пьезоэффекта тензора упругой податливости Жесткость пластинки при этом увеличивается, что вполне понятно, так как работа сил, прикладываемых к обкладкам пластинки, идет теперь не только на увеличение энергии упругой деформации [c.224]

Здесь С это 3 X 3 X 3 X 3 тензор упругого модуля, характеризующего жесткость среды. [c.10]

Величины Jkl есть коэффициенты жесткости, они являются составляющими тензора четвертого ранга. Выражение (1.13) называют обобщенным законом ГУка. Ввиду симметричности тензоров упругого напряжения и деформации тензор коэффициентов жесткости будет также симметричным, поэтому справедливо соотношение [c.17]

Если аналогичным образом выразить остальные составляющие тензора упругого напряжения через составляющие тензора деформации и, наоборот, составляющие тензора деформации с помощью составляющих тензора напряжения, то детерминант коэффициентов жесткости или податливости можно записать в виде [c.18]

В общем случае анизотропии материала слоев или при косоугольном армировании, когда главные оси упругой симметрии слоя 1 2 3 не совпадают с выбранными осями расчетной модели 1 2 3, тензор жесткости имеет 21 независимую компоненту. С учетом [c.65]

Представление тензора жесткости в плоской задаче. Решение задач теории упругости во многих случаях сводится к плоскому деформирован- [c.69]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Последнее обстоятельство приводит к тому, что при конечноэлементной дискретизации уравнений в слабой форме касательная матрица жесткости получается несимметричной [106]. Один из путей преодоления этой трудности состоит в замене тензора напряжений Коши тензором напряжений Кирхгофа (характеризующим силу, отнесенную к площадке в отсчетной конфигурации), что можно сделать для малых упругих деформаций в силу (2.88). Для UL-подхода совпадает с s . В этом случае можно сформулировать вариационный принцип относительно скоростей [73, 79] (см. гл. 3), а касательная матрица жесткости при конечно-элементной дискретизации уравнений будет симметричной [97]. [c.103]

В пятой главе описаны слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Выбор срединной плоскости в качестве плоскости приведения позволил отделить уравнения плоской задачи теории упругости от уравнений изгиба пластинки, которые и явились предметом исследования. Найден широкий класс решений этих уравнений, что позволило, в частности, решить задачу изгиба круговой пластинки, несущей поперечную нагрузку. В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного деформирования круговой пластинки. Выполненное исследование, включающее в себя вычисление разрушающей, интенсивности нагрузки, определение механизма возникновения разрушения и определение зоны его инициирования, выявило принципиальную необходимость учета влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния для пластин с существенно различными жесткостями слоев. Решена задача устойчивости пластинки, нагруженной силами, действующими в ее плоскости. Составлены общие уравнения устойчивости и подробно исследован тот случай, когда тензор докритических усилий круговой. Для этого случая найден широкий класс решений уравнений устойчивости. В качестве примера дано решение задачи устойчивости круговой пластинки, нагруженной равномерно распределенным по контуру сжимающим радиальным усилием. Эта же задача решена еще и на основе других неклассических уравнений, приведенных в третьей главе, а также на основе уравнений трехмерной теории устойчивости. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило указать границы применимости рассматриваемых уточненных теорий, оценить характер и степень влияния поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали на критические интенсивности сжимающего усилия. Полученные результаты приводят к выводу о пригодности разработанных в настоящей моно- [c.13]

В табл. 2.15 приведены перемещения срединной поверхности цилиндрической оболочки и физические компоненты а , тензора напряжений в среднем сечении нагруженного участка (л направлена вдоль образующей цилиндрической обо-бочки, X- — в кольцевом направлении) в зависимости от соотношения жесткостей упругой среды и материала оболочки. Значения тех же величин, вычисленных исходя из уравнений классической теории, сведены в табл. 2.16. При kjE 0,5-10 м соответствующие параметры в табл. 2.15 и 2.16 отличаются незначительно. С ростом отношения kjE расхождение результатов, полученных на основе классической теории и уточненных уравнений, увеличивается. В цилиндрической оболочке с (%/ = 0,5-10-2 м возникает продольное сжатие, учесть которое с помощью соотношений классической теории невозможно. [c.97]

Тензором четвертого ранга [5] определяется зависимость между напряжениями и деформациями материала. Тензор податливости (1.1) содержит 81 упругую постоянную. Можно доказать, что тензоры напряжений, деформаций, податливости и жесткости должны быть симметричными. Это значит, что должны выполняться следующие равенства [c.9]

Следует отметить, что упругие постоянные Сц и составляющие матрицы упругой податливости зц взаимосвязаны. Решая систему шести уравнений (1.5) относительно шести компонент тензора напряжений, получаем эту взаимосвязь. Как видно из сопоставления зависимостей (1.5) и (1.6) с (1.14) и (1.15), число независимых постоянных жесткости и упругой податливости одно и то же для данного материала и оно определяется лишь степенью анизотропии материала. [c.14]

Коэффициенты пропорциональности Спт называются линейными модулями упругости или константами жесткости. Их размерность совпадает с размерностью напряжения 36 величин Спт образуют тензор четвертого ранга, называемый тензором модулей упру- [c.20]

Первое из этих свойств отражает симметрию тензора напряжений, а второе получается как следствие разделения тензора Сгщ на симметричную и антисимметричную части по индексам /г и /. Наконец, третье свойство следует из (1). Соотношения (4) показывают, что имеется 21 независимых постоянных, описывающих общую анизотропность упругого тела. Следует добавить, что жесткости сг ы относятся к изотермическому состоянию и определяются в естественном состоянии, т. е. Сг ы= сцы)т Разрешая систему уравнений (3) относительно деформаций, получаем [c.214]

Принимая условно запись тензоров второго ранга с однн.м индексом (Я, jj,= = 1,2,..., 6), можно упростить запись закона Гука через тензор упругой жесткости сили упругой податливости s [c.130]

Здесь С1,к — декартовы компоненты постоянного тензора упругой жесткости для анизотропного тела, причем сцш = сцы, сцы = с,/ы = Скщ, жесткости относятся к изотермическому состоянию и определяются в естественном состоянии, т. е. — (сфдв. [c.10]

Тензор ikim — также тензор четвертого ранга. Его называют тензором модулей упругости (постоянных упругой жесткости). Ив этом тензоре 81 компонента. [c.196]

Прием формального усреднения и по-луэмпирическнй расчет по формулам (3.81) и (3.82) деформационных констант пространственно-армированного волокнистого композиционного материала являются недостаточно обоснованными для рассматриваемой в работах [40, 42, 43] модели. Логический довод в пользу обоснования принятой в (3.81) и (3.82) эмпирической смеси упругих характеристик заключается в следующем. В силу операции усреднения в общем случае тензоры эффективной жесткости и податливости не взаимообратимы, т. е. [c.83]

В заключение отметим следующее. Здесь установлены уравнения модели тонкого слоя, армированного семейством однонаправленных волокон. Композитные оболочки, собранные именно из таких слоев, будут рассмотрены ниже в конкретных примерах. Вместе с тем подчеркнем, что такими тонкостенными элементами конструкций не исчерпывается область применимости дифференциальных уравнений развиваемой ниже неклассической теории многослойных оболочек. Область применимости этой теории существенно шире, поскольку ее уравнения опираются на весьма общие физические соотношения вида (2.1.1), в рамки которых укладываются соотношения упругости не только однонаправленных волокнистых композитов, но и композитных материалов других типов — армированных несколькими разнонаправленными семействами волокон, тканями и т.д. Широкий круг данных о тензорах эффективных жесткостей и податливостей таких композитных материалов представлен в ранее названных источниках. [c.34]

Считаем, что нагрузки, характер закрепления, компоненты тензоров упругости н температурпо1"1 жесткости не зависят от координаты Тогда, учитывая (1.15), (1.1G) и (8.1), нетрудно показать, что [c.50]

Природа всех объектов в теории оболочек тензорная. Действительно, недеформированная срединная поверхность с точностью до положения в пространстве определяется двумя тензорами — метрическим и тензором кривизн, обеспечивающими удовлетворение условиям Кодацци—Гаусса. Деформированная оболочка, при учете гипотезы о прямолинейной нормали элемента, определяется характером деформации срединной поверхности. Де юрмированная срединная поверхность, при условии задания недефэрмированной, определяется вектором перемещения или, по-другому,,— двумя тензорами — метрическим и кривизн деформированной срединной поверхности G , - Тензорную природу имеют деформации [как тангенциальная (мембранная) так и изгибная] , и напряжения или выражаемые через них погонные тангенциальные-(мембранные) усилия и моменты Л/ , Наконец, упругие свойства (упругие податливости или упругие жесткости) также имеют тензорную природу. [c.128]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

В силу симметричности тензора жесткости значения эффективных констант материала, рассчитанные по формуле (3.31), должны совпадать с их расчетными значениями по второй из формул (3.27), так как j3 x = = Sa 3- При соблюдении условий (3.26) это требование выполняется. Аналогичные (3.27), (3.31), (3.32) выражения для упругих констант слоистой среды приведены в работе [83]. [c.67]

Матрица податливости aij , 1, ) = = 1, 2,. .., 6, определяемая на участке dx, является обратной по отношению к матрице жесткости (В ,), компоненты которой тождественны соответствующим компонентам тензора жесткости [Втпп1] п, к, I = I, 2, 3 их вычисляют по общей методике расчета констант слоистой среды по формулам (3.33)—(3.36). Усредненные значения выражений, входящих в правые части этих формул, находят по зависимостям, аналогичным (3.43). При этом компоненты тензора жесткости каждого слоя Втпк1 в системе координат 123 рассчитывают по формулам пересчета констант материала при повороте главных осей упругой симметрии 1 3 вокруг оси 2 на угол 0. Необходимые для расчета компоненты матрицы жесткости 5 , 1,/ = 1, 2,. ... 6, в главных осях 1 23 выражают через упругие постоянные [c.91]

Тензоры С к К определяют упругие и демпфирующие силы. Силы, определяемые тензором Я, называют гироскопическими, а тензором В — псевдогироскопиче-скими, или циркуляционными. Симметричные тензоры С к К приводятся к главным осям, и для них могут быть определены главные жесткости и главные коэффициенты сил демпфирования [c.134]

Техническая теория продольных колебаний стержней. Под стержнем понимают одномерное упругое тело (два размера малы по сравнению с третьим), обладающее конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб. Пусть стержень, отнесенный к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, совершает продольные колебания. Параметры стержня являются функциями только одной продольной координаты X. По гипотезе плоских сечений любые точки, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси стержня, имеют одинаковые перемещения =-- и (х), 112= Н = 0. Все компоненты тензоров напряжений и деформаций, кроме Оц и считают пренебрежимо малыми. Выражения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии и потенциала внешних сил имеют вид [c.146]

Для определенности задачу длительной прочности сформулируем для ортотропных осесимметричных оболочек [116, 188] при отсутствии температурного воздействия (0 = 0). В этом случае в уравнениях (22.10), (22.11) необходимо всюду заменить компоненты тензора жесткости A i j соответствующими операторами которые находим по формулам (2.10), если в них величины с, Ес, Eah к = 2,. . ., т) считать операторами, определяемыми через интегральный оператор типа Волыерра, как указано в 2. Полученная в этом случае система интегро-дифференци-альных уравнений при стационарных граничных условиях с помощью принципа Вольтерра сводится к статической краевой задаче для упругих ортотропных оболочек. Ее решение при соответствующих краевых условиях определяет выражения для обобщенных смещений Uio, u i как функцию координаты х и операторов Aaifi- В общем случае это будут некоторые трансцендентные функции от операторов Аагм, расшифровка которых может быть осуществлена, если предварительно эти функции разложить в операторный ряд [172] по степеням соответствующих операторов. Расшифровку последних можно осуществить, если считать, например, что для каждого субструктурного элемента интегральные операторы Г являются операторами типа Эд — Работнова [169]. [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...