Вычисления с малыми числами

Вычисления с малыми числами (а < 1) и с числами, мало отличающимися от единицы [c.60]

ВЫЧИСЛЕНИЯ С МАЛЫМИ ЧИСЛАМИ [c.69]

ВЫЧИСЛЕНИЯ с МАЛЫМИ ЧИСЛАМИ И С ЧИСЛАМИ, МАЛО ОТЛИЧАЮЩИМИСЯ ОТ ЕДИНИЦЫ [c.69]

IX. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ С МАЛЫМИ ЧИСЛАМИ И ЧИСЛАМИ, МАЛО ОТЛИЧАЮЩИМИСЯ ОТ ЕДИНИЦЫ [c.62]

При анализе полей течения типа, описываемого уравнением (7-3.2) (с малым числом е и вычислениями, проводимыми с точностью до первого порядка малости по е), можно вывести соотношения, связывающие некоторые интегралы (по интервалу О < S < оо) компонент тензора X и производные материальных функций основного течения. Такие соотношения называются соотношениями согласованности и могут быть получены при помощи постулата, что любое течение с предысторией постоянной деформации можно представить в виде суперпозиции подходящих малых возмущений и некоторого течения с предысторией постоянной деформации того же самого типа. Пусть /с и N определяют основное течение с предысторией постоянной деформации, а /с + еАг и N — возмущенное течение с такой же предысторией. Простые вычисления показывают, что возмущенное течение удовлетворяет уравнению (7-3.2), если G определяется в виде [c.274]

Изложенные три метода содержат внутри себя многие модификации и конкретизации, на которых мы не останавливались. Какой из методов применять в той или иной конкретной ситуации, определяется ситуацией и особенностями метода. Ясно, что решать, например, задачу с малым числом электронов с помощью статистического метода нецелесообразно. Вряд ли целесообразно решать задачу методом самосогласованного поля без наличия достаточно мощной ЭВМ и т.д. С помощью различных методов к настоящему времени рассчитано большое число атомов и ионов. Результаты вычислений находятся в удовлетворительном согласии с данными эксперимен юв. [c.283]

Для вычисления потребного диапазона регулирования необходимо учитывать, что при верхних числах об/мин нужны только малые подачи и применяются инструменты с малыми числами зубьев. Диапазоны регулирования подач и числа ступеней в универсальных станках приведены в табл. 4. [c.38]

Все результаты вычислений приведены в табл. 3.18, данные первых трех граф которой заимствованы из табл. 2.4. В связи с малым числом наблюдений объединяем интервалы 1-й со 2-м н 9-й с 10-м и 11-м. [c.82]

Модели объектов и сигналов представлены в книге главным образом параметрически, т. е, описываются скалярными или векторными разностными уравнениями, поскольку современные методы синтеза основаны именно на таком представлении. Описания объектов даются в компактном виде с малым числом параметров, а методы синтеза во временной области не требуют больших объемов вычислений и обеспечивают получение структурно оптимизируемых регуляторов. Модели объектов получены в результате применения методов оценивания параметров и могут быть непосредственно использованы для наблюдения или оценивания состояний. Непараметрические модели, такие, как переходные функции или частотные характеристики, представляемые в виде таблиц, указанными преимуществами не обладают. Их использование ограничивает возможности синтеза, в частности, это касается автоматизированного проектирования и адаптивных алгоритмов управления. [c.16]

Вычисление величины с, как разности между Ро и г , содержит в себе значительные неудобства, особенно в случае сравнительно небольшой кривизны бруса. Дело в том, что разность больших величии р и Гц очень мала, но должна быть вычислена точно, поскольку от этого непосредственно зависит результат подсчетов напряжения а но формуле (4.86). Поэтому величину Го приходится подсчитывать с большим числом знаков. [c.165]

На рис. 8.35 и 8.36 даны экспериментальные значения скорости звука в насыщенных парах некоторых жидкостей. Сплошными линиями на рисунках изображены теоретические значения с по формуле (8.70). Как видно из сопоставления экспериментальных и вычисленных значений с, формула (8.70) хорошо согласуется с опытом, особенно для жидкостей с малым поверхностным натяжением (к числу которых принадлежат бензол, четыреххлористый углерод, диэтиловый эфир). Для воды (рис. 8,36) согласование [c.279]

Погрешность округления обусловлена тем, что любые вычисления на ЭВМ или ручные расчеты выполняются с ограниченным числом значащих цифр. При выполнении одной арифметической операции с числами погрешность округления лежит в пределах единицы младшего сохраняемого разряда. Так ЭВМ оперирует с числами, содержащими обычно 10—12 разрядов, поэтому погрешность единичного округления здесь А=10 °Э-10 пренебрежимо мала по сравнению с неустранимой погрешностью. При расчетах на ЭВМ могут выполняться миллиарды операций, однако если нет систематических причин для накопления погрешностей округления, то их увеличение происходит не слишком существенно, поскольку при различных операциях погрешности будут иметь разные знаки и компенсировать друг друга. Тем не менее если численный метод таков, что возникают систематические причины накопления погрешностей округления, то очень быстро суммарная погрешность возрастает до катастрофических размеров и сделает невозможным получение достоверного результата. Такие условия возникают, например, при вычитании близких по величине чисел. [c.55]

Рейнольдса в пограничном слое происходит перестройка течения, вызванная увеличением полной вязкости по сравнению с исходной молекулярной. Вычисленное изменение полной безразмерной вязкости (ij/ x = ф в пограничном слое в переходной области показано на рис. 7.11. В случае ламинарного режима (малые числа Re ) при сделанных предположениях вязкость постоянна в пограничном слое (ф = 1), с увеличением числа Re на графике функции ф возникает максимум, который достигает больших значений при турбулентном режиме течения. Существенной перестройке в переходной области подвергаются также профили скорости, результаты расчетов показаны на рис. 7.12. [c.263]

Слишком большое число основных единиц неизбежно Связано с большим числом фундаментальных постоянных в физических формулах, что затрудняет их запоминание и удлиняет вычисления. Кроме того, потребовалась бы огромная работа по установлению эталонов всех основных единиц. Точность, с которой устанавливались бы эти эталоны, бьша бы различной, вследствие чего отличались бы по точности и фундаментальные постоянные в формулах физических законов и определений. С другой стороны, слишком малое число основных единиц в такой степени ограничивает возможности построения производных единиц, что многие из последних неизбежно окажутся либо слишком большими, либо слишком малыми, а потому неудобными для практики. [c.41]

Для рессоры с большим числом листов при правильной её конструкции напряжения, вычисленные по формуле (25), мало отличаются от вызванных внешними вертикальными силами действительных напряжений в длинных листах. Практика показывает, что обычно расчёт по формуле (25) даёт существенную ошибку только при определении напряжений в двух последних листах рессоры. [c.732]

С увеличением числа циклов абсолютная величина неуравновешенных моментов убывает. Распределение прекращается, когда абсолютная величина неуравновешенных моментов становится достаточно малой. Вычисления ведутся в табличной форме. [c.128]

Наблюдается существенное уменьшение поверхностного трения у стенки даже для незначительных концентраций водорода. Темп уменьшения велик при малых величинах температуры свободного потока и большой величине температуры стенки, поскольку влияние числа Маха сравнительно невелико. Пунктирные линии обозначают результаты вычисления, при котором допускается, что физические характеристики постоянны и имеют одинаковое значение для основного потока и охладителя. Такие вычисления будут пригодны в случаях с небольшим числом Маха, незначительной разностью температур стенки и свободного потока и для газа-охладителя, 74 [c.74]

Так как полное сопротивление представляет собой интеграл от местных касательных напряжений, вычисленных по всей площади пластинки, включая зону у передней ее кромки, то теоретический коэффициент определяемый формулой (10-18), всегда будет содержать некоторую погрешность. Как показывает сравнение результатов вычислений по формуле (10-18) с экспериментом (рис. 10-6 [Л. 3]), эта погрешность становится пренебрежимо малой при числах Рейнольдса Rej>lO . Сопротивление плоской пластинки при очень малых числах Рейнольдса обсуждается далее в гл. 15. [c.214]

Числа, помещенные в трех последних строках этой таблицы, показывают, что приближенные значения с мало отличаются от точных значений, вычисленных по формуле (а). [c.486]

В случаях, где продольная ось арки мало отличается от веревочной кривой, построенной для действующих на арку вертикальных сил, удобно применять приближенный метод вычислений, указанный в 29. Он не только дает нам возможность с достаточной степенью точности найти искомые величины, которые нельзя было бы определить уравнениями статики, но, кроме того, показывает нам наиболее выгодное очертание продольной оси арки. Формулы, определяющие эти величины, как это мы видели на рассмотренных примерах, с трудом поддаются вычислениям даже если все входящие в них интегралы могут быть выражены в явной форме. Они особенно затруднительны в случаях очень пологих круговых арок, так как, чтобы обеспечить в них приближение до 1 %, необходимо производить вспомогательные вычисления над числами с семью десятичными знаками. Подобные формулы могут представлять некоторый интерес с точки зрения общих заключений, но для частных случаев выгоднее производить приближенные вычисления с помощью формул Симпсона. В 28 мы видели, что для получения практически удовлетворительных результатов нет необходимости разлагать арку на большое число клиньев. В случае симметричной арки для вычисления распора с четырьмя десятичными знаками достаточно разделить полуарку на восемь клиньев. Изгибающий момент в ключе получится с более значительной, но практически допустимой ошибкой. Все вычисления должны быть произведены над числами, в которых сохранились бы четыре знака. На изученных нами примерах мы видели, что необходимо делать детальные расчеты, в особенности тогда, когда дело идет о вычислении влияния собственного веса и постоянной нагрузки. Для подобных нагрузок веревочная кривая близка к кривой продольной оси арки и поправочные члены, [c.554]

А. А. Буштырковым (см. [5.1]). Все эти решения имеют приближенный характер, так как форма прогибов в них выбиралась с малым числом варьируемых параметров. Результаты вычислений даны таблично и графиками. В работе О. И. Теребушко [11,14] для границы устойчивости рекомендуется зависимость (2,1), в которой вместо верхних критических напряжений Ств, Яъ используются нижние критические значения. [c.184]

Результаты предшествующего параграфа, касающиеся возбужденных состояний, были получены с помощью эффективного гамильтониана (19.46), Напомним, что при выводе гамильтониана (19.46) мы имели в виду только вычисление энергии основного состояния системы. Пригодность этого гамильтониана для исследования вовбужденных состояний должна быть рассмотрена специально. Именно этим вопросом мы займемся в настоящем параграфе. Было найдено, что эффективный гамильтониан оказывается справедливым только для слабовозбужденных состояний, близких к основному состоянию, т. е. для состояний с малым числом фононов. Когда возбуждено много фононов, ни энергия возбужденного состояния, ни скорость звука не даются более гамильтонианом (19.46). [c.473]

Разложение давления на два слагаемых не вносит ограничений в полную систему уравнений, которая по-прежнему позволяет моделировать как медленные (по сравнению со скоростью звука) течения, так и распространение акустических волн. Однако при расчете движений с малым числом Маха появляются преимущества - введение второго масштаба для динамического давления порядка изменения этой величины позволяет преодолеть сингулярность решения при М 0. При этом точность вычисления градиента давления в компьютерном представлении не уменьшается в отличие от вычисления градиента по полному давлению, когда его переменная по пространству часть мала (порядка от полного давления). На основе уравнений (1.1)-(1.4) можно создавать эффективные численные алгоритмы с использованием неявных схем и проводить расчеты медленных течений с большим временным пшгом это уже сделано в случае совершенного газа [18, 19]. [c.84]

Вблизи среза сопла или в общем случае течения с отрывом необходимо принимать во внимание сглаживание разрыва скорости. Даже при малых характеристических числах Рейнольдса, вычисленных, скажем, по длине сопла, профиль скорости ламинарного потока сразу же за соплом имеет точку перегиба и является в высшей степени неустойчивым [686]. Следовательно, уместно рассматривать течение с отрывом в общем случае как задачу, включающую турбулентное смешение. Предлагаемый здесь анализ течения с отрывом потока с малой концентрацией частиц основан на методе Гёртлера [686], который получил следующее соотношение для двух смешивающихся потоков жидкости, имеющих скорости ПуП Оз при а = О и /1 > Па [c.382]

Вычисление же следующих поправок к формуле Стокса и правильное уточнение картины течения на близких расстояниях с помощью прямого решения уравнения (20,17) невозможно. Хотя сам по себе вопрос об этих уточнениях и не столь важен, выяснение своеобразного характера последовательной теории возмущений для решения задач об обтекании вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса представляет заметный методический интерес (S. Kaplun, Р. А. Lagerstrom, 1957 [c.95]

Как показал Фрелих, для исключения электронно-фононного взаимодействия из гамильтониана можно применять каноническое преобразование, при этом остается лишь взаимодействие между электронами, которое соответствует тому, которое было выведено методами теории возмущений. Если электронно-фононпое взаимодействие велико, то указанная операция не применима лишь для небольшого числа членов с малыми энергетическими знаменателями. При вычислении матричного элемента взаимодействия и колебательных частот эти члены не существенны, но в случае сверхпроводимости они важны. Так как эти члены нельзя рассмотреть методами теории возмущений, они оказывают сильное влияние на волновые функции. [c.756]

Чтобы найти частные производные этой функции напряжений, представим себе гладкую поверхность, координаты которой в узловых точках имеют вычисленные значения. Наклон этой поверхности в любой точке даст нам соответствуюш,ее приближенное значение касательного напряжения при кручении. Максимальные напряжения действуют в серединах сторон контура сечения. Чтобы получить некоторое представление о точности, которой можно добиться с принятым малым числом узловых точек сетки, найдем вызванные кручением напряжения в точке О (рис. 2). Для получения необходимого наклона рассмотрим некоторую гладкую кривую, имеющую в узловых точках на оси л вычисленные значения а, р и 7. Эти значения, деленные на /4G0б приведены во второй строке табл. 1.1. Остальные строки таблицы дают значения конечных разностей последовательно возрастакщего [c.519]

Кроме того, поскольку функция / ( i) на левой границе интервалов всегда отрицательна, для построения нового интервала достаточно проверить знак / (с) если / (с) <0, то с становится новой левой границей, если / (с) > О, то новой правой. Обратим внимание, что погрешность е следует задавать так, чтобы не слишком приблизиться к (п — 1)я при малых числах Bi и не вызвать переполнения порядка при вычислении tgjx. Логическая структура программы подробно пояснена в f(/jtj комментариях к тексту. [c.55]

Наконец, заметим, что независимо от того, использован ли метод начальных параметров в чистом виде или в комбинации с методом сил, в случае неоднопролетных балок при вычислениях возникают малые разности близких по значению величин, что связано либо с потерей точности, либо с необходимостью сохранения при вычислениях большего, чем при использовании других методов, числа значащих цифр. [c.226]

Самым простым и универсально применимым способом поиска максимума (минимума) функции / (х) одного аргумента х является полный перебор, именуемый пассивным методом поиска или одновременным (параллельным) поиском simultaneous sear h ). При небольшом числе k возможных значений х,-, i = 2,. . ., k аргумента х полный перебор состоит в вычислении или в определении путем эксперимента значений f (х) при всех х с последующим сопоставлением результатов. Если х — непрерывная величина (или дискретная с малым интервалом h между смежными значениями), то вычисления (эксперименты) выполняются в точках с интервалом hf, между ними (при дискретном аргументе кратно /г). Полный перебор уместен в случаях, когда число возможных значений k мало. [c.150]

Возможность существования особых точек (седловых, типа гребней и оврагов и т. д.), разрывности функционала и изменений переменных условных экстремумов на границах допустимых областей, многосвязности, многоэкстремальности функционала, ограничений типа неравенств, дискретность переменных и т. д. — все это приводит к практической непригодности аналитических методов оптимизации теплоэнергетических установок. Применение ЭВМ. и численных методов нелинейного программирования позволяет в основном преодолеть эти затруднения. При малом числе оптимизируемых переменных и при узких пределах их изменения отыскание глобального экстремума практически обеспечивает метод сплошного перебора на ЭВМ вариантов путем обхода в определенном порядке узлов многомерной сетки в пространстве независимых переменных и вычисление в каждой точке значений функций ограничений и функционала. При этом отбрасываются те точки, в которых ограничения не выполняются, а среди точек, для которых ограничения справедливы, выбирается точка с наименьшим (или наибольшим) значением функционала. При оптимизации по большому числу параметров применяются методы направленного поиска оптимума градиентные, наискорейшего спуска, покоординатного спуска (Л. 21]. [c.57]

При этих условиях вывод статистических распределений, основанный на применении формулы Стирлинга для вычисления Л , и gil, становится некорректным. Тем не менее, результаты, полученные вследствие применения этого метода — распределения Бозе - Эйнщтейна и Ферми - Дирака, так же как и распределение Максвелла -Больцмана при малых числах заполнения ячеек Ni/gi, оказываются верными. Это видно из сравнения следствий, вытекающих из этих формул, с экспериментом и подтверждается тем, что все три распределения могут быть выведены другими методами, отличными от метода ящиков и ячеек и не опирающимися на предположение о том, что числа Ni и gi велики по сравнению с единицей. Один из этих методов — общий метод Гиббса, приложимый не только к идеальным газам, но и к системам взаимодействующих частиц, будет подробно изложен в главе VI. Распределения Бозе - Эйнщтейна, Ферми - Дирака, Максвелла - Больцмана получаются при этом как частные случаи. [c.188]

Следует отметить, что если поршень движется без полной компенсации внутреннего давления р, то оно уже не будет одним и тем же по всей жидкости, так что равенство (3.4), строго говоря, уже не будет выполняться. Тем не менее у инженера часто бывает достаточно оснований пользоваться этим равенством, например, для оценки номинальной работы перемещения по индикаторной диаграмме, полученной на высокоскоростной поршне ой машине, причем в качестве индикатора служит прибор, автоматически строящий график зависимости давления от соответствующего ему объема. Существенное условие для допустимости таких вычислений состоит в том, чтобы число Маха, соответствующее локальной скорости газа, было в каждой точке внутри цилиндра в любой момент времени достаточно малым по сравнению с единицей (число Маха определяется как отношение локальной скорости движения газа к локальной скорости звука плчл 18.12.4). [c.54]

Предложенная методика вычисления несобственных интегралов позволяет эффективно применять МГЭ для решения задач теории упругости. Только корректное рассмотрение несобственных интегралов дает верное решение. Этот момент является основополагающим при чиспен-ной реализации МГЭ От того, как вычисляются интегралы с особенностями, зависит время счета, неравномерность разбиения границы и в конечном итоге достоверность получаемых результатов. Предложенная процедура гарантирует высокую точность решения с небольшим числом узловых точек и при малом времени счета. [c.63]

Обе формулы (86) и (87) и являются основою приближенного способа, который состоит в том, что вместо шарнирной цепи с 6e KvjHe4Ho большим числом бесконечно малых отдельных звеньев, заменяюь,ей непрерывный стержень, мы должны взять шарнирную цепь с небольшим числом звеньев. Вследствие этого диференциальные уравнения для непрерывной балки перейдут в уравнения в конечных разностях для шарнирной цепи. В остальных отношениях ход вычислений для определения критической нагрузки остается такой же, какой мы применили в первои параграфе этой главы. Как и там, мы сообщим шарнирной цепи, находящейся в равновесии, бесконечно малые возможные перемещения, совместные с граничными условиями, и напишем условия равновесия для [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...